精品解析：山东省济南旅游学校2024-2025学年高二下学期期中学习质量检测数学试题

2024-2025学年度高二数学期中考试卷 考试范围：2023级；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 的展开式中的第五项为（ ） A. B. C. 35 D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 36种 4 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 7. 设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 10. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ） A. 任意站成一排，有120种排法 B. 学生不相邻，有24种排法 C 教师相邻，有48种排法 D. 教师不站在两边，有72种排法 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则______. 13 已知，则______. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题 15. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中A、B两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中A、B、C三道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中A、B两道工序都不能放在第三和第六位置，C道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序? 注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示 16. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. （1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？ （2）求学生甲答对的题数X的分布列. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上最小值是，求的值. 18. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11. （1）求n的值； （2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差； （3）求上述展开式中所有偶数项的系数和. 19. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二数学期中考试卷 考试范围：2023级；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知, 则， 故选：A 2. 的展开式中的第五项为（ ） A. B. C. 35 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理直接列式求得答案. 【详解】的展开式中的第五项为. 故选：D 3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解. 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看作一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式； 为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式； 注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式. 故安排这5名同学共有：种不同的排列方式. 故选：C 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入计算可得. 【详解】由，可得，又，所以，解得. 故选：A. 5. 某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，计算出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为， 第三次答对，概率为， 记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，， 由条件概率公式可得. 故选：B． 6. 已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来，应用对立事件的概率求法得、，再应用全概率公式求解答出第二问的概率. 【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选：B 7. 设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由原函数与导函数的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先负后正，符合要求，故A正确； 对于选项B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于选项C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于选项D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误； 故选：D 8. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 9. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据事件的相关概念可判断ABC，计算出可判断D. 【详解】因为事件与事件可以同时发生，故A错误； 事件包含事件，所以事件与事件不是相互独立事件，故B错误； 因为，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 10. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ） A. 任意站成一排，有120种排法 B. 学生不相邻，有24种排法 C. 教师相邻，有48种排法 D. 教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则______. 【答案】##0.9 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】由分布列的性质得，，且，解得， . 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】25 【解析】 【分析】写出展开式通项，应用分类得出代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由，可得或或或， 故展开式中含的系数为. 故答案为：. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题 15. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中A、B两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中A、B、C三道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中A、B两道工序都不能放在第三和第六位置，C道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序? 注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示 【答案】（1）288 （2）144 （3）252 【解析】 【分析】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，再将其余的4道工序全排列，由分步乘法计数原理即可求解； （2）相邻问题捆绑法即可求解； （3）特殊元素特殊位置优先处理即可. 【小问1详解】 先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同排法， 再将其余4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 小问2详解】 先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 【小问3详解】 ①若A安排在第五位置，则 B有3种安排方法，余下的有种安排方法， 合计有种加工顺序； ②同理，若 B被安排在第五位置，也有72种加工顺序； ③若A、B两道工序都不被安排在第五位置，则 A、B可选第一、二、四位置中的两个即有种方法， C有余下四个位置中除第五位置的三个位置可选，有3种方法， 余下的有种方法，合计有种加工顺序， 综上所述共有加工顺序. 16. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. （1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？ （2）求学生甲答对的题数X的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解. （2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列. 【小问1详解】 学生甲恰好答对两题的概率. 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入求导，令即可得到其极值； （2）求导得，再对分和讨论即可； （3）求导得，再对分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，令，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 则其在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 18. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11. （1）求n的值； （2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差； （3）求上述展开式中所有偶数项的系数和. 【答案】（1） （2）1023 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指定两项的二项式系数建立方程求解参数即可. （2）利用二项式性质得到二项式系数之和，利用赋值法得到各项系数之和，再作差即可. （3）利用赋值法再作差求解偶数项的系数和即可. 【小问1详解】 因为二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11， 所以，得到，解得. 【小问2详解】 由二项式性质得二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为. 【小问3详解】 令， 则 所以 19. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断函数的单调区间，进而得到极值； （2）参变分离不等式，构造函数，利用导数求的最大值即可得a的范围. 【小问1详解】 当时，．令，则. 时，单调递增， 时，单调递减， 的增区间为，减区间为； 则在处取得极大值，为，无极小值. 【小问2详解】 由在上恒成立，故， 设，则．令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值， 故，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$