【专项练】平行线与标角法-北京版七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 平行线与标角法 中等题 1.(1)DE与BC平行,理由见解答 (2)80* 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定,掌握平行线的性质、判 定及三角形的内角和定理是解决本题的关键 (1)先说明。ECD-BCD,再说明 DEC+乙ACB-180*,利用平行线的判定得结论 (2)利用平行线的性质求出BFG-BDC,利用邻补角求出 ADC即可 【详解】(1)解:DE与BC平行 理由:.CD平分ACB, 则2/ECD-2/BCD-乙ACB ..DEC+2/ECD-180*. :. DEC+乙ACB-180*. :.DE/BC. (2)解:..DE/BC. :.乙EDC-乙BCD. ..乙FGB-/EDC. :./FGB-/BCD :FG/CD. :. BFG-乙BDC-100* . ADC-180*- BDC-80*. 困 题 2. 探究发现:证明见解析;学以致用:120;拓展应用:30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质,关键是通过作辅助线,构造平行线,把实际问题转 化为数学问题加以计算 探究发现:过点A作AK/E,根据两直线平行,同旁内角互补解答即可 学以致用:根据[探究发现的结论解答即可 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 拓展应用:过点4作AM/BC,根据平行线的判定与性质解答即可 【详解】证明:如图1,过点A作AK/E -F C B 图1 .AK/lEF, .乙AEF+/EAK-180* .EF/lBC,AKllEF, .AK/lBC. .乙ABC+ KAB-180*. .乙AEF+ EAK+乙ABC+ K4B-360 即乙4+乙AFF+乙4BC-360*; 学以致用:由乙4+乙AEF+乙4BC-360*; . B4E-360*-90*-150*-120* 故答案为:120; 拓展应用::AD1AE, .乙DAE-90*. :AH平分BAD, . BAH- H4D ACE-3/BAH-3 .乙B4C-2o+B. .AC平分乙BAE, . E4C- BAC-2a+B, . DAE- DAC+ CAE-2+2B-90* .乙HAC-2+B-45*. .AB1BC, .乙ABC-900. 过点A作AM/BC,如图5 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ............ M BHD 图5 .乙ABC+/BAM-180*, .乙B4M-90*. MAC= BAM- BAC-9 0$-$ +B-45^$-.M4D=M4B- BAD-90$-$ .乙E4M-乙E4D- M4D-2c .GF/lBC,AMllBC. .AM//GF, .乙GEA-/EAM-2 .乙AEF-180*-2a .乙AEC+ GEC-180*, GEC+ CEF-180* .AM/BC, .乙ACB= M4C-45*-a, .ECB-ECA+ 乙ACB-3+45*--2+45*. .GF/BC, .乙FEC-/ECB. :2a+45o-90*-a. .乙a-15) .乙GEA-2a-30*. (2)①点E的坐标为E(0.3); ②乙EM4-45* 【分析】本题是三角形综合题,考查的是平行线的性质,非负数的性质,掌握平行线的性质定 理是解题的关键. (1)连接OB,过点8分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为G,H,由非负性可求a,b,c的 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 值,再由S=S+S列出等式,即可求解 ②过点M作MN//AC,交y轴于点N,则乙NMA- OAM,ENM- DOC-90*,由EF//AB可 得 FEO- BDO.再由 BDO+ ODA=BAO+ AOD+ODA-180得出 BDO- B4O+乙AOD=BAO+90*,从而可得 FEO= BAO+90*,再由EM平分 FEO可得 EM4-乙EMN+乙NM4-45·. 【详解】(1)解:连接OB,过点s分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为G,H, [1-a-b-0 fa=-2 依题可得 {,解得 1b-3-0 2-3 .A(-2,0),B(23) .So=Soo+So 1 2 即2x3-2xD0+10xx2 2 2 .DO- 2. 点D的坐标为D(0). (2)解:①过点B作BH1OE, 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .S =S.oa .$-So0 1 1 13 33 :OE-OD+DE- :点E的坐标为E(0.3). ②过点M作MN/AC,交y轴于点N 则 NMA=OAM,ENM=DOC-90 .FF//AB . FEO-乙BDO BDO+ODA=BAO+ AOD+ODA-180$* BDO= B4O+ AOD=$B4O+90* . 乙FEO-/BAO+90 .EM平分乙FEO .<MEo- FE- BA40+45 2 ._EMV-180- ENM-MEO=90-( AO+45°)-45-_B.A :AM平分乙BAO 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .乙NMA-OAM-B.AO :EMA-EMN+NMA-45 * 4.(1)①48。 ②135。 【分析】(1)①过点E作EH||AB,然后利用平行线的性质得到乙PEH-乙MPE-42*, (QEH= EON,然后根据垂直的定义得到乙PEQ-90{,然后解题即可; ②过点G作GK/AB,然后利用平行线的性质解题即可 (2)分为当点G在线段PF上和点G在线段PF的延长线上两种情况,利用平行线的性质解题 即可; (3)分为MNIIKG,MNlIPK和MNIGP三种情况,画图,利用平行线的性质和三角形的外角 的性质解题即可. 【详解】(1)解:①过点E作EHIllAB, .AB//CD, .AB//CD//EH. .乙PEH-乙MPE-42*,QEH-EON. .PE1EO, .乙PEQ-90*, .QEH-EQV-90*-乙PEH-90*-42*-48*: ②过点G作GK/AB, .AB/lCD, .AB/CD/GK. .乙APG- PGK. OGK-180*- GOD ·乙MPE-42*,乙EON-48*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .EQD-180*-EQN-180*-48-132^* ·PF平分乙MPE交MN于点F,OG平分2DOE交直线PF于点G, $ $[G$= $G$K+ GKY=$ 4PF+180*$- G$D=$1^$*+180*-66^=13^$$ (2)解:如图,当点G在线段PF上时,过点E作EH/IAB, :AB/lCD, .AB/ICDlI EH. . PEH=MPE,OEH- EON=PEO-PEH-PEO- MPE$$ -B 过点G作GK/AB, .AB/lCD, .AB/CD/GK, . AP$G- $$[GK, $OGK=180*- GOD$$$$$ ·PF平分乙MPE交MN于点F,OG平分2DOE交直线PF于点G, . ; 如图,当点G在射线FP上时,过点G作GK/AB, .ABllCD, .AB//CD//GK. 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B (3)如图,当MNI|IKG时, PG$O=40{,MPE-2^* ·由(2) 得:MPF-21^{, GOD= ^{}, 又.MN与XG平行, . MNO- G$OD-61^$$$$$ .旋转时间为 /N 。 如图,当MVIIPK时, .MP/INO, . $MN-180*-MNO-180*-70*-1$ 10*$$$$$ 又· MPE-42*, MEP$=180$- P$MV- MPE=180{$-110$-42^$= 8$+ 又.MNlIP. .乙MNM- MEP-28* -旋转时间为28-7s; 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 0 当MWI|IPG时, $ MFP=18 0*-PMN- MPF=18 0*-110*- 1*=4$ :.MVlIPG. .乙MVM'- MFP-49*. 综上所述,满足条件的:的值为O)或7s或。. #### 【点晴】本题考查平行线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的有关计算,掌握平行线的 性质、三角形外角性质是解题的关键 5. 225“或5* 【分析】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的外角定理,解决本题的关 键是准确识图,熟练掌握平行线的性质 根据点N与点A,点?的位置分三种情况讨论,分别画出图形根据平行线的性质推导即可 【详解】解:①当点N在点P的右则时 设zPCW-a. :2PCV-1PNC, 乙 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .乙PNC=4 .ANC=4=2 AMC .乙AMC=2 .ABlICD, . AMC- MCD=2 ·乙ANC=乙AMC+NCM. . AMC= NCM=2 .PCM=PCN+NCM=3 .CP平分乙ACM . PCM- ACP-3. ACD=$ ACP+$MCD=6 +$ =$ $ AB//CD. BAC-120* . 乙ACD=180+-120+-60$ :8=60*, ##2 .= 2' PCM=3a=22.5*; ②当点N在点A的左侧时 MB 设 PCN-a, ACP-$, .CP平分乙ACM : PCM= ACP-B. :ACN= PCN- ACP=-B. :. PNC=4PCN=4 NMC-2 AB/CD. BAC-120*. . NMC= MCD=2 ACD=180*-BAC=$ 0* MCD= ACD- ACP=60*-2$ $ =60*-2,即:$-30{-B$$扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 平行线与标角法 中等题 1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,∠DEC+2∠ECD=180°. (1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由， (2)若∠FGB=∠EDC,且∠BFG=100°，求∠ADC的度数. 困难题 2. 【探究发现】 如图1，EF∥BC,点A在EF,BC之间，连接AE,AB.求证：∠4+∠AEF+∠ABC=360°. E -F 图1 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆"，如图2所示，点4是栏杆转动的支点，点 E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AE℉升起到如图3所示的位置，其示意图如图4 所示（AB⊥BC,EF∥BC,栏杆宽度忽略不计)，已知∠4EE=150°，填空：∠B4E=_ 度 图2 图3 图4 【拓展应用】 如图5，已知GF∥BC,点E在GF上，点A在GF,BC之间，AD⊥AB交BC于点D,过点A 扇学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 作AB⊥CD于点B,AH平分∠B4D,AC平分∠EAB,若∠AEC+∠GEC=180°，∠ACE=3∠B.H, 求∠GE4的度数. G BH D 图5 3.如图1，在平面直角坐标系中，△4BC三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(2,b),C(4,0),其 中a,b满足1-a-b+lb-3=0,AB与'轴交于点D. 图1 图2 图3 (1)求a,b的值及点D的坐标； (2如图2，E是轴上位于4B上方的一动点， ①连接AE,EB,OB,当。AEB和OEB的面积相等时，求点E的坐标； ②如图3，过点E作EF∥AB,EM平分∠FEO,AM平分∠R4O,求∠EM4的度数. 4.已知，AB∥CD,直线N交AB于点M,交CD于点N,(∠BN>∠DNM点E是线段N 上一点（不与从N重合），P、Q分别是射线B、D上异于端点的点，连接P驱、Q, PF平分∠MPE交N于点F,QG平分∠DE交直线PF于点G. B 图1 各用图 (1如图1，PE⊥EQ,∠PE=42°，点G在线段PF上. 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ①求∠EQN的度数； ②求∠PGQ的度数： (2)试探索∠PGQ与∠PBQ之间的数量关系； (3)已知∠PGQ=40,∠PE=42°，∠ND=70°.直线PE、GQ交于点K,直线MN从与直线 重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒4°，当MW首次与直线CD重合时，运动 停止，在此运动过程中，经过t秒，MW恰好平行于PG的其中一条边，请直接写出所有满 足条件的t的值. 5.如图，已知AB∥CD,∠B4C=120°，点M为射线AB上一动点，连接MC,作CP平分∠4CM 交直线AB于点P在直线AB上取点N,连接C,使∠WC-2∠AMC,当PC-PNc时， ∠PCM= D 6.【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动， 已知直线ABIl CD,点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连 按F、GF.直线1∥FG,直线1分别交AB、CD于M、N两点. M 图1 图2 图3 【探索发现】（1)如图1，求证：∠BN=∠FGC; 【深入探究】(2)如图2，求证：∠EFG=∠BN+∠MEF; 【拓广探索】(3)如图3，R平分∠FEB,GR平分∠FGD,过点F作FG的垂线交CD于点H, 连接MH,∠N-名RG,∠D-∠ABF=30°，求∠HN的度数.