专题13 比例（导图+10个重点速记+11个考点精讲+36道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （通用版）

2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题13 比例 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、比例的意义。 4 二、比和比例的关系。 5 三、比例的基本性质。 5 四、解比例。 5 五、成正比例的量。 5 六、成反比例的量。 5 七、正比例和反比例的区别。 5 八、比例尺的意义。 6 九、比例尺的分类。 6 十、比例尺的应用。 6 第三部分典例精讲 6 【考点一】比例的意义 6 【考点二】比例的基本性质 8 【考点三】正反比例的意义及辨识 9 【考点四】比例尺的意义 12 【考点五】解比例 13 【考点六】应用比例尺画图 17 【考点七】比例的应用 21 【考点八】比例尺的应用 23 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 25 【考点十】正比例的应用 30 【考点十一】反比例的应用 34 第四部分真题专练 36 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、比例的意义。 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 二、比和比例的关系。 三、比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 四、解比例。 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 五、成正比例的量。 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示y/x=k(一定） 2、正比例关系可以用图象来表示。正比例关系的图象是一条直线。 六、成反比例的量。 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示x×y=k(一定) 2、反比例关系可以用图象来表示。反比例关系的图象是一条光滑的曲线。 七、正比例和反比例的区别。 判定方法 公式 正比例 1、两种相关联的量 2、比值一定 =k（一定） 反比例 1、两种相关联的量 2、积一定 xy=k（一定） 八、比例尺的意义。 1、一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。 2、图上距离：实际距离=比例尺 九、比例尺的分类。 1、数值比例尺。 为了计算方便,一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。 2、线段比例尺。 在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 十、比例尺的应用。 1、已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 2、在比例尺计算中要注意单位间的换算：1公里=1千米=1×1000米=1×100000厘米 图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零； 千米换厘米，在千的基础上再加两个零。 第三部分典例精讲 【考点一】比例的意义 【典例一】下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】24∶18＝24÷18＝ A．10∶5＝10÷5＝2 2≠，所以10∶5不能与24∶18组成比例； B．0.6∶0.4＝0.6÷0.4＝ ≠，所以0.6∶0.4不能与24∶18组成比例； C．∶＝÷＝×＝ ＝，所以∶能与24∶18组成比例； D．15∶12＝15÷12＝ ≠，所以15∶12不能与24∶18组成比例。 故答案为：C 【典例二】能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C．∶5 D．5∶ 【答案】B 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，求出各比的比值，找出和题中比值相等的选项即可。 【解答】∶＝÷＝ A．5∶7＝5÷7＝； B．7∶5＝7÷5＝； C．∶5＝÷5＝； D．5∶＝5÷＝35。 故答案为：B 【点评】掌握比例的意义是解答题目的关键。 【典例三】下面各个比中，能和“”组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示两个比值相等的式子叫做比例，求出比值，找出与题中比值相等的选项即可。 【解答】＝＝ A．＝； B．＝； C．＝； D．＝。 故答案为：C 【点评】掌握比例的意义是解答题目的关键。 【典例四】下面（    ）能与组成比例。 A． B．1∶4 C．0.4∶2 【答案】A 【分析】若两组比的比值相等，则它们可以组成比例，据此选择即可。 【解答】＝ A．＝＝4 B．1∶4＝1÷4＝ C．0.4∶2＝0.4÷2＝0.2 故答案为：A 【点评】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。 【考点二】比例的基本性质 【典例一】如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝( )。 【答案】2 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，再根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答。 【解答】因为xy＝1 所以3a＝1，a＝ 6a＝6×＝2 如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝2。 【典例二】A的与B的相等，那么A∶B＝ ∶ 。 【答案】9 8 【分析】根据分数乘法的意义，可知A×＝B×，根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可得A∶B＝∶，再化简即可。 【解答】A×＝B× A∶B ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝9∶8 A的与B的相等，那么A∶B＝9∶8。 【典例三】在一个比例中，两个内项之积是1.8，其中一个外项是3，另一个外项是( )。 【答案】0.6 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；根据题意，两个内项之积是1.8，则两个外项之积也是1.8，已知其中一个外项，用两个外项之积除以已知一个外项，即可求出另一个外项，据此解答。 【解答】1.8÷3＝0.6 在一个比例中，两个内项之积是1.8，其中一个外项是3，另一个外项是0.6。 【典例四】一个比例的两个外项分别是2.5和4，其中一个内项是5，另一个内项是( )。 【答案】2 【分析】根据比例的基本性质：外项积等于内项积，用外项积除以其中一个内项，就是另一个内项。 【解答】2.5×4÷5 ＝10÷5 ＝2 另一个内项是2。 【点评】熟练掌握比例的基本性质是解题的关键。 【考点三】正反比例的意义及辨识 【典例一】下面的表格数据不小心被墨水打湿弄脏，如果x和y成正比例关系，那么原数是( )；如果x和y成反比例关系，那么原数是( )。 x 6 y 25 50 【答案】12 3 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此根据表格中给出的数列出对应的比例，并解比例即可。 【解答】如果x和y成正比例关系； 解：设弄湿的数是a。 6∶25＝a∶50 25a＝6×50 25a＝300 25a÷25＝300÷25 a＝12 如果x和y成反比例关系； 解：设弄湿的数是b。 50b＝25×6 50b＝150 50b÷50＝150÷50 b＝3 如果x和y成正比例关系，那么原数是12；如果x和y成反比例关系，那么原数是3。 【典例二】如果y＝5x，那么x和y成( )比例，如果＝，那么x和y成( )比例。 【答案】正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【解答】因为y＝5x，所以＝5，x和y的比值一定，成正比例关系； 因为＝，所以xy＝4×20＝80，x和y乘积一定，成反比例关系。 如果y＝5x，那么x和y成正比例，如果＝，那么x和y成反比例。 【典例三】x、y、z三个相关联的量，并有xy＝z。 (1)当z一定时，x与y成( )比例关系。 (2)当x一定时，z与y成( )比例关系。 (3)当y一定时，z与x成( )比例关系。 【答案】(1)反 (2)正 (3)正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】（1）xy＝z（一定），乘积一定； 当z一定时，x与y成反比例关系。 （2）由xy＝z，可得＝x（一定），比值一定； 当x一定时，z与y成正比例关系。 （3）由xy＝z，可得＝y（一定），比值一定； 当y一定时，z与x成正比例关系。 【典例四】如果3a＝4b，那么a∶b＝( )，如果y＝，x和y成( )比例。 【答案】4∶3 反 【分析】根据比例基本性质：内项积＝外项积，则3a＝4b可以看成a∶b＝4∶3；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】3a＝4b a∶b＝4∶3 如果y＝，则xy＝15，（一定），所以x和y成反比例。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 【考点四】比例尺的意义 【典例一】把一个直径是4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺( )。 【答案】20∶1 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解答】4毫米＝0.4厘米 8∶0.4 ＝（8×10）∶（0.4×10） ＝80∶4 ＝（80÷4）∶（4÷4） ＝20∶1 把一个直径是4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺20∶1。 【典例二】在一幅地图上，用3cm长的线段表示实际距离为60km，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶2000000/ 【分析】已知3cm长的线段表示实际距离为60km，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1km＝100000cm”，求出这幅地图的比例尺。 【解答】3cm∶60km ＝3cm∶（60×100000）cm ＝3∶6000000 ＝（3÷3）∶（6000000÷3） ＝1∶2000000 这幅地图的比例尺是1∶2000000。 【典例三】在一幅地图上，测得甲、乙两地的图上距离是20厘米，已知甲乙两地实际距离90千米，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶450000 【分析】先把90千米化成厘米，再根据关系式：比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答即可。 【解答】90千米＝9000000厘米 20∶9000000 ＝（20÷20）∶（9000000÷20） ＝1∶450000 所以，这幅地图的比例尺是1∶450000。 【典例四】儿童手表里的一种精密电子元件的实际长度是0.3毫米，画在图纸上是3厘米，这幅平面图的比例尺是( )。 【答案】100∶1 【分析】已知一种精密电子元件的实际长度和图上的长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1厘米＝10毫米”，求出这幅平面图的比例尺。 【解答】3厘米∶0.3毫米 ＝（3×10）毫米∶0.3毫米 ＝30∶0.3 ＝（30÷0.3）∶（0.3÷0.3） ＝100∶1 这幅平面图的比例尺是100∶1。 【考点五】解比例 【典例一】解方程或比例。 5x－36＝189    3y＋2.4y＝2.7    a∶＝75%∶ 【答案】x＝45；y＝0.5；a＝ 【分析】5x－36＝189，根据等式的性质1，方程两边同时加上36，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 3y＋2.4y＝2.7，先化简方程左边含有x的算式，即求出3＋2.4的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3＋2.4的和即可。 a∶＝75%∶，解比例，原式化为：a＝×75%，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【解答】5x－36＝189 解：5x－36＋36＝189＋36 5x＝225 5x÷5＝225÷5 x＝45 3y＋2.4y＝2.7 解：5.4y＝2.7 5.4y÷5.4＝2.7÷5.4 y＝0.5 a∶＝75%∶ 解：a＝×75% a＝× a＝ a÷＝÷ a＝× a＝ 【典例二】解方程或比例。          【答案】；； 【分析】（1）根据等式的基本性质1，等式两边同时减6，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，据此计算。 （2）根据等式的基本性质2，等式两边先同时乘6，再同时除以4，据此计算。 （3）根据比例的基本性质，把等式转化为一般方程，先计算等式两边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，据此计算。 【解答】 解： 解： 解： 【典例三】解方程。             5x－x＝10.4                     x－7×1.3＝8.9 【答案】x＝1；x＝2.6 x＝；x＝18 【分析】（1）根据比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把比例改写为0.5x＝，再利用等式的基本性质2，等式两边同时除以0.5即可求解； （2）先计算5x－x＝4x，再利用等式的基本性质2，等式两边同时除以4即可求解； （3）利用等式的基本性质2，等式两边同时除以即可求解； （4）先计算7×1.3＝9.1，再利用等式的基本性质1，等式两边同时加上9.1即可求解。 【解答】 解：0.5x＝ 0.5x＝ 0.5x÷0.5＝÷0.5 x＝×2 x＝1 5x－x＝10.4 解：4x＝10.4 4x÷4＝10.4÷4 x＝2.6 x＝ 解：x÷＝÷ x＝×2 x＝ x－7×1.3＝8.9 解：x－9.1＝8.9 x－9.1＋9.1＝8.9＋9.1 x＝18 【典例四】解下列方程或比例。 0.75x＋9＝24                  x∶∶ 【答案】x＝20；x＝42；x 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质； 0.75x＋9＝24，根据等式的性质1和2，两边同时－9，再同时÷0.75即可； x＋x＝49，先将左边合并成x，根据等式的性质2，两边同时÷即可； x∶＝∶3，根据比例的基本性质，先写成3x＝×的形式，两边同时÷3即可。 【解答】0.75x＋9＝24 解：0.75x＋9－9＝24－9 0.75x＝15 0.75x÷0.75＝15÷0.75 x＝20 x＋x＝49 解：x＝49 x÷＝49÷ x＝49× x＝42 x∶＝∶3 解：3x＝× 3x÷3＝÷3 x＝× x 【考点六】应用比例尺画图 【典例一】（1）A城市在B城市的南偏西40°方向900千米处，在图上标出A城市的位置。 （2）B城市在A城市的（    ）偏（    ）40°方向。 【答案】（1）见详解 （2）北；东 【分析】（1）已知比例尺为1∶30000000，A、B两城相距900千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两城的图上距离。 以B城市为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度和距离确定图中A城市的位置。 （2）A城市在B城市的南偏西40°方向上，是以B城市为观测点；B城市在A城市的方向是以A城市为观测点；根据位置的相对性可知，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同，据此解答。 【解答】（1）900千米＝90000000厘米 90000000×＝3（厘米） 如图： （2）B城市在A城市的北偏东40°方向。 【典例二】下面是一个卧室的平面图。在卧室的西北角放一张长2米、宽1.5米的床，请你在平面图上画出床的示意图。 【答案】见详解 【分析】看图，比例尺是1∶100，将实际长度乘比例尺，求出床的长和宽的图上距离。西北角在卧室的右上角，据此结合数据画图即可。 【解答】2米＝200厘米，1.5米＝150厘米 长：200×＝2（厘米） 宽：150×＝1.5（厘米） 如图： 【点评】本题考查应用比例尺画图，求出图上的长、宽值是解题的关键。 【典例三】小青从大门出发，先向正北方向走400m到游泳馆，1小时后向正东方向走600m到羽毛球馆观看比赛，45分钟后又向南偏东30°方向走400m到篮球馆。请你先确定下图中的比例尺，再画出小青出行的路线图。 【答案】见详解 【分析】假设图上1cm代表实际距离100m，则数值比例尺为1∶10000，以大门为观测点，在大门正北方向截取400÷100＝4个单位长度，终点处标注游泳馆； 以游泳馆为观测点，在游泳馆正东方向截取600÷100＝6个单位长度，终点处标注羽毛馆； 以羽毛馆为观测点，在羽毛馆南偏东30°方向截取400÷100＝4个单位长度，终点处标注篮球馆，据此解答。 【解答】 【点评】先确定比例尺再根据方向、角度、距离确定各场所的位置。 【典例四】放学后，苹苹从学校向正西方向走200米来到超市，再向正北方向走200米来到文化宫，然后向西偏南30°方向走200米来到书店，最后向东偏南45°方向走150米回到家中。根据苹苹放学回家的行走路线画出线段图。 【答案】图见详解 【分析】根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，找准观测点，把实际距离转化成图上距离，结合方向角度画图即可。 【解答】200米＝20000厘米 20000× ＝2（厘米） 150米＝15000厘米 15000× ＝1.5（厘米） 作图如下： 【点评】此题考查了路线图的画法，找准方向以及图上距离，认真作图即可。 【考点七】比例的应用 【典例一】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【答案】525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【解答】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 【典例二】兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【答案】能到。 【分析】耗油量∶汽车行驶的路程＝汽车每行驶1千米的耗油量（一定），因为耗油量和汽车行驶的路程的比值是一个定值，所以耗油量和汽车行驶的路程成正比例关系。设460千米耗油x升，根据这个列比例解答。 【解答】解：设460千米耗油x升。 100x＝8×460 100x＝3680 100x÷100＝3680÷100 x＝36.8 40＞36.8 答：能到达外婆家。 【典例三】一辆运货汽车从甲地到乙地，平均每小时行72千米，5小时到达。回来时空车原路返回平均每小时行80千米，需要几个小时？（用比例解） 【答案】4.5个小时 【分析】由题意可知，去时和返回的路程不变，根据速度×时间＝路程，则速度和时间成反比例，据此列比例解答即可。 【解答】解：设x小时能够返回原地。 80x＝72×5 80x＝360 80x÷80＝360÷80 x＝4.5 答：需要4.5个小时。 【点评】本题考查用比例解决实际问题，明确速度和时间成反比例是解题的关键。 【典例四】小兰的身高1.5米，她的影长是2.4米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4米，这棵树有多高？（用比例解） 【答案】2.5米 【分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是小兰的身高与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵树的高为x，组成比例，解比例即可。 【解答】解：设这棵树的高为x米。 1.5∶2.4＝x∶4 2.4x＝1.5×4 2.4x＝6 2.4x÷2.4＝6÷2.4 x＝2.5 答：这棵树有2.5米高。 【点评】此题考查用比例的知识解应用题，设出未知数，组成比例然后解比例。 【考点八】比例尺的应用 【典例一】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两城之间的图上距离是6厘米。客、货两车分别从甲、乙两城同时出发相向而行，客车的速度是80千米/时，客、货两车的速度比是5∶4，两车出发后几时相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】分析题目，图上的1厘米表示实际的60千米，据此求出甲、乙两城的实际距离是多少千米，再根据客、货两车的速度比是5∶4，用客车的速度除以5求出一份是多少，再乘货车的速度对应的份数即可得到货车的速度，最后根据相遇时间＝总路程÷（客车的速度＋货车的速度）列式解答即可。 【解答】60×6＝360（千米） 80÷5×4 ＝16×4 ＝64（千米/时） 360÷（80＋64） ＝360÷144 ＝2.5（小时） 答：两辆汽车出发后2.5小时相遇。 【典例二】河源是“山水一色、人文秀美”旅游的好胜地。2024年春节，淘气一家到河源旅行，在比例尺为1∶2000000的地图上量了家到河源的图上距离是8厘米，淘气爸爸以每小时80千米行驶，多少小时能到河源？ 【答案】2小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出淘气家到旅游景区的路程，再用路程除以速度，求出多少小时能到河源，据此解答即可。 【解答】8÷ ＝8×2000000 ＝16000000（厘米） 16000000厘米＝160千米 160÷80＝2（小时） 答：淘气爸爸以每小时80千米行驶，2小时能到河源。 【典例三】在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是5cm，一辆汽车从甲地到乙地行驶了8时，这辆汽车的平均速度是多少？ 【答案】31.25千米/时 【分析】首先根据比例尺的定义求出甲、乙两地的实际距离，然后根据数量关系式：路程÷时间＝速度，解答即可。 【解答】5÷＝25000000（厘米） 25000000厘米＝250千米 250÷8＝31.25（千米/时） 答：这辆汽车的平均速度是31.25千米/时。 【点评】此题考查比例尺在实际生活中的应用，以及对关系式“路程÷时间＝速度”的掌握情况。 【典例四】在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是12厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇。已知甲车的速度是每小时70千米，求乙车的速度。 【答案】80千米 【分析】已知图上距离÷比例尺＝实际距离，求出实际距离，再根据“路程÷相遇时间＝速度和”，再用速度和减去甲车的速度即可求出乙车的速度。 【解答】12÷ ＝12×5000000 ＝60000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷4－70 ＝150÷70 ＝80（千米） 答：乙车的速度是每小时80千米。 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 【典例一】北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 【答案】（1）1∶40000000；（2）28种；（3）210千米 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数据代入计算即可； （2）从北京出发，前往香港，全程共8个站点，每两个站点间需要一种车票。从第1站出发，可到其余7站，有7种；从第2站出发（已和第1站算过），可到其余6站，有6种；依此类推，从第7站出发，可到第8站，有1种。将这些情况数相加即得单程车票种数，即单程一共需要设计（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）种不同的车票； （3）根据路程÷时间＝速度，560÷4＝140（千米），求出淘气乘的车每小时比智慧老人乘的车多行了140千米，再用淘气乘的车每小时行的千米数减140千米，即可求出智慧老人乘的车每小时行多少千米。 【解答】（1）2240千米＝224000000厘米 5.6∶224000000＝1∶40000000 答：这幅地图的比例尺是1∶40000000。 （2）7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程一共需要设计28种不同的车票。 （3）350－560÷4 ＝350－140 ＝210（千米） 答：智慧老人乘的车每小时行210千米。 【典例二】下面是某街区的平面图。 （1）把这幅平面图的线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 （2）平安公园位于广场正东8千米处，请用△在图中标出它的位置。 （3）小玲的家位于平安公园北偏西的5千米处，请用在图中标出她家的位置。 【答案】（1）1∶200000    （2）（3）见详解 【分析】（1）观察线段比例尺，图上1厘米表示实际2千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离比，化简即可将线段比例尺改写成数值比例尺。 （2）地图上按上北下南左西右东确定方向，实际千米数÷图上1厘米表示的千米数＝图上厘米数，据此确定平安公园的位置。 （3）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 【解答】（1）1厘米∶2千米＝1厘米∶200000厘米＝1∶200000 把这幅平面图的线段比例尺改写成数值比例尺是1∶200000。 （2）（3）8÷2＝4（厘米）、5÷2＝2.5（厘米） 【典例三】看图做一做。 （1）体育馆在书店的北偏东（    ）方向（    ）米处。 （2）商场在书店南偏西30°方向400米处，请在图中标出商场的位置。 （3）将图中的线段比例尺改为数值比尺是（              ）。 【答案】（1）50°；600 （2）见详解 （3）1∶20000 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离200米； 以书店为观测点，书店与体育馆的图上距离是3厘米，相当于实际距离（200×3）米，根据方向、角度和距离，确定体育馆的位置。 （2）以书店为观测点，在书店的南偏西30°方向上画400÷200＝2厘米长的线段，即是商场。 （3）根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，将线段比例尺改写成数值比例尺，注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】（1）200×3＝600（米） 体育馆在书店的北偏东50°方向600米处。 （2）如图： （3）1厘米∶200米 ＝1厘米∶（200×100）厘米 ＝1∶20000 图中的线段比例尺改为数值比尺是1∶20000。 【点评】本题考查方向与位置的知识、比例尺的意义以及运用比例尺画图，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 【典例四】填一填，画一画。 （1）公交公司距区政府的图上距离是（    ）cm；已知实际距离是800m，此图的比例尺是（    ）。 （2）张阿姨从医院经过区政府走到商场，如果她每分走80米，需要（    ）分。 （3）笑笑家在区政府的南偏东30°方向400米处，在图中标出笑笑家的位置。 【答案】（1）4；1∶20000； （2）15； （3）作图见详解 【分析】（1）先测量出公交公司到区政府的图上距离，再用图上距离比实际距离即可求出比例尺； （2）测量出从医院到商场的图上距离，再根据比例尺求出实际距离，再根据时间＝路程÷速度，求出张阿姨需要的时间即可； （3）先根据比例尺求出笑笑家到区政府的图上距离，再根据方向和距离确定物体位置的方法，以区政府为观测点，在图上标出笑笑家的位置即可。 【解答】（1）测量出公交公司到区政府的图上距离是4cm；因为800m＝80000cm，则此图的比例尺为4∶80000＝1∶20000 （2）因为测量出从医院到商场的图上距离6cm，6×20000＝120000（cm），120000cm＝1200m，1200÷80＝15（分钟），所以如果她每分走80米，需要15分； （3）400m＝40000cm，40000×＝2（cm） 如下图： 【点评】此题考查了比例尺＝图上距离∶实际距离的灵活应用以及根据方向和距离确定物体位置的方法，注意以谁为观测点。 【考点十】正比例的应用 【典例一】一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 …… 产品数量/个 51 102 153 204 …… （1）生产产品的时间和产品数量成 比例关系。 （2）照这样计算，33分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正　 （2）561个 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）由上一题可知，生产产品的时间和产品数量成正比例关系，那么产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【解答】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例关系。 （2）解：设33分钟生产个产品。 ＝ 3＝51×33 3＝1683 ＝1683÷3 ＝561 答：33分钟生产561个产品。 【典例二】一辆汽车行驶的路程与耗油情况如表所示。 路程/千米 20 40 60 80 … 耗油量/升 1.8 3.6 5.4 7.2 … （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，汽车行驶240千米耗油多少升？（用比例解） 【答案】（1）正；（2）21.6升 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）设照这样计算，汽车行驶240千米耗油x升，根据汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系，列比例解答即可。 【解答】（1）1.8÷20＝0.09 3.6÷40＝0.09 5.4÷60＝0.09 7.2÷80＝0.09 耗油量÷路程＝0.09（一定），商一定，所以汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系。 （2）解：设照这样计算，汽车行驶240千米耗油x升。 x∶240＝1.8∶20 20x＝240×1.8 20x＝432 20x÷20＝432÷20 x＝21.6 答：照这样计算，汽车行驶240千米耗油21.6升。 【典例三】一台碾米机碾米情况如下表： （1）把上表中相对应的点描在下图中，再顺次连接。 工作时间（时） 0 1 2 3 4 5 加工数量（吨） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 （2）工作时间与加工数量成什么比例？为什么？ （3）现在碾米8吨，需要几小时？ 【答案】（1）如图： （2）正比例；工作时间与加工数量的比值一定 （3）16小时 【分析】（1）根据画折线统计图的方法，把表中相对应的点描在图中，再顺次连接即可。 （2）算出工作时间与加工数量的比，如果比值一定，则成正比例，据此解答。 （3）根据1小时碾米0.5吨，用8÷0.5即可。 【解答】（1）如图： （2）1∶0.5＝2∶1＝3∶1.5＝4∶2＝5∶2.5＝2 工作时间与加工数量的比值一定，工作时间与加工数量成正比例。 （3）8÷0.5＝16（时） 答：碾米8吨，需要16小时。 【点评】此题考查了学生根据信息分析问题、解决问题的能力。 【典例四】某造纸厂造纸吨数和造纸时间如下表。 造纸时间/时 0 1 2 3 4 5 6 … 造纸吨数/吨 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … （1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系？为什么？ （2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 （3）该造纸厂4.5小时可以造纸（    ）吨，造3.75吨纸需要（    ）小时。 【答案】（1）成正比例关系；见详解 （2）见详解 （3）2.25；7.5 【分析】（1）判断造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系，就看它们的比值是否一定，根据表中的数据求比值判断。 （2）根据表中的数据，在图中描点，连线即可。 （3）根据“造纸吨数＝每小时造纸吨数×造纸时间”求出4.5小时可以造纸的吨数；根据“造纸时间＝造纸吨数÷每小时造纸吨数”求出造3.75吨纸需要的时间。 【解答】（1）造纸吨数与造纸时间成正比例关系。 因为0.5∶1＝1∶2＝1.5∶3＝2∶4＝2.5∶5＝3∶6＝…＝0.5（一定），比值一定，所以造纸吨数与造纸时间成正比例关系。 （2）如图： （3）0.5×4.5＝2.25（吨） 3.75÷0.5＝7.5（小时） 该造纸厂4.5小时可以造纸2.25吨，造3.75吨纸需要7.5小时。 【点评】本题考查正比例关系的辨识，正比例图象的绘制，根据正比例关系解决实际问题。 【考点十一】反比例的应用 【典例一】小东家的客厅是正方形的，用边长0.6米的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.5米的方砖铺地，需要多少块？ 【答案】144块 【分析】正方形面积＝边长×边长，据此先求出一块边长0.6米方砖的面积，再乘100块求出客厅的面积。小东家客厅的地面面积一定，则方砖的面积与需要的块数成反比，据此求解。 【解答】解：设用边长是0.5米的方砖铺地，需要x块。 0.5×0.5x＝0.6×0.6×100 0.25x＝36 0.25x÷0.25＝36÷0.25 x＝144 答：用边长是0.5米的方砖铺地，需要144块。 【典例二】学校举行方阵团队体操表演，如果每列16人，要排27列。如果每列多2人，要排多少列？（用比例知识解） 【答案】24列 【分析】用每列站的人数乘列数，计算出参加方阵团队体操表演的总人数，总人数是一定的，也就是说每列站的人数和列数的乘积一定，因此每列站的人数和列数成反比例关系，设如果每列多2人，要排x列，列出式子即可解答。 【解答】解：设要排x列。 答：要排24列。 【典例三】打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如表。 每分打字个数（个 120 100 75 60 所需时间（分 25 30 40 50 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）见详解 （2）20分 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。 【解答】（1）每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。 （2）解：设打完这篇稿子需要x分。 150x＝60×50 150x＝3000 x＝20 答：打完这篇稿子需要20分。 【点评】本题考查了正、反比例的辨认和应用。掌握正、反比例的意义，判断出相关联的两种量成什么比例是解题的关键。 【典例四】输液时，一小瓶葡萄糖液均匀滴落，每分滴数与所需时间的关系如下。 每分滴数/滴 30 40 50 60 … 时间/分 40 30 … （1）请把上表补充完整。 （2）每分滴数与所需时间这两个量是否成正比例或反比例？为什么？ 【答案】（1）24；20 （2）成反比例；理由见解析。 【分析】（1）观察统计表可知，一小瓶葡萄糖液的滴数是一定的，即总滴数＝每分钟滴的滴数×滴的时间；根据表中每分钟滴30滴、40滴时所用的时间，皆可求出一小瓶葡萄糖液的总滴数，据此即可求出每分钟滴50滴、60滴的所用时间。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。据此解答。 【解答】由分析可知： （1）30×40＝1200（滴） 1200÷50＝24（分） 1200÷60＝20（分） （2）成反比例，因为30×40＝40×30＝1200（一定），每分滴数与所需时间的乘积一定，所以每分滴数与所需时间这两个量成反比例。 【点评】本题主要考查反比例的辨识及实际应用，通过统计表获取信息的意识。 第四部分真题专练 一、填空题 1．一幅地图中某两地的图上距离5厘米表示实际距离15千米，这幅图的比例尺是( )。 2．有两支蜡烛，当第一支燃去，第二支燃去时，剩下的部分一样长。第一支蜡烛和第二支蜡烛原来的长度比是( )。 3．A÷B＝，则A与B的最简单的整数比是( )，B是A的( )倍。若A和B是两种相关联的量，且A÷B＝。则A与B成( )比例关系。 4．东东沿着直尺的方向将橡皮筋拉紧（如图，AC是橡皮筋示意图，B是橡皮筋上的一点）。如果点A的位置固定不变，沿着原来的方向将橡皮筋拉长，使点C的位置在15cm处，此时点B的位置在( )cm处。 5．如果（a、b均不为0），那么a和b成( )比例。 6．如表，如果x与y成正比例，那么“？”处应填 ；如果x与y成反比例，那么“？”处应填 。 x 2 5 y 40 ？ 7．在＝中，x和y成( )比例；在＝中，m和n成( )比例。 8．十四五期间，宁波至宁海城际轨道项目列入计划计划表信息显示，宁波至宁海城际轨道全长约49公里。如果画在比例尺为1∶500000的地图上，应画( )厘米。 9．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，其中一个外项是，另一个外项是( )。 10．小店区政府在实验小学( )( )°方向( )米处。在距学校北偏西方向600米处有一个核酸检测点，它到实验小学的图上距离是( )厘米。 二、选择题 11．如图，阴影部分的面积是大长方形的，小长方形的，大长方形和小长方形的面积之比是（    ）。 A．5∶4 B．3∶2 C．4∶3 12．如果，那么x与y成（    ）。 A．反比例 B．正比例 C．没有关系 D．无法比较 13．幸福小学的圆形花坛，按1∶100缩小后画在图纸上，直径是2cm。花坛的实际占地面积是（    ）m2。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 14．下面（    ）组中的两个比不可以组成比例。 A．6∶8和12∶16 B．3∶9和5∶7 C．5∶8和∶ D．∶和12∶3 15．一种机器零件实际长2mm，画在图纸上的长度是5cm，则这张图纸的比例尺是（    ）。 A．250∶1 B． C． D．1∶25 16．下列x和y成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 17．下面几组相关联的量中，成正比例的是（    ）。 A．看一本书，每天看的页数和看的天数 B．购买人教版小学六年级下册数学课本，购买的数量和总价 C．修一条路，已修的长度和未修的长度 D．正方形的边长和它的面积 18．如果，那么（    ）。 A．5∶3 B．3∶5 C．5∶1 D．1∶5 19．甲乙两座城市之间相距210千米，而在一幅地图上，这两地之间距离正好是王老师的一“拃”（手张开后大拇指和中指指尖之间的距离），这幅地图的比例尺可能是（    ）。 A．1∶10000 B．1∶1000000 C．1∶10000000 D．1000000∶1 20．如果12A＝5B，那么A∶B＝（    ）。 A．60∶1 B．1∶60 C．12∶5 D．5∶12 三、计算题 21．解方程。            3.2x－4×3＝52 22．求未知数。 x－x＝45           ∶x＝0.6∶ 23．解方程或比例。                   四、操作题 24．（1）画出图形按2∶1放大后的图形； （2）画出图形绕点顺时针旋转90°后的图形。 25．小明新家附近要修建图书馆，体育场和文化宫。现在以小明新家为观测点，根据下面信息在平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在小明新家西偏北45°，距离小明新家600米处。 （2）体育场在小明新家东偏南30°，距离小明新家450米处。 （3）文化宫在小明新家正南方向300米处。 五、解答题 26．打一篇文稿，每小时打800字，需要6小时。改进方法后，只用了5小时，每小时打多少字？（用比例知识解答） 27．从一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量的A地到B地的距离为1.8厘米，A地到B地的实际距离是多少千米？ 28．南京市出租车的计价标准如下：3千米以内（含3千米）9元；超过3千米，超过部分按每千米2.4元（不足1千米的按1千米计算）收费。问小明从家出发，乘坐出租车到图书馆，需要付多少元车费？（比例尺为1∶250000） 29．印刷厂装订一批图书，原计划每天装订500本，刚好30天可以完成；实际只用25天就完成了任务，实际平均每天装订多少本图书？（用比例知识解答） 30．小丽读《童年》，原计划每天读24页，20天读完。实际读的时候，由于提高了阅读速度，前3天就读120页，照这样计算，可以比原计划提前几天读完这本书？（用比例解） 31．一辆汽车从甲地开往乙地，开出2.4小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要4.2小时。甲地到乙地有多少千米？（用比例解） 32．（1）图书馆在学校（    ）偏（    ）（    ）°的方向上，距离是（    ）米。 （2）学校在书店（    ）偏（    ）（    ）°的方向上，距离是（    ）米。 （3）小尼家在学校东偏南20°约600米处，请标出小尼家的位置（保留作图痕迹）。 33．按要求画一画，填一填。（图中每个小方格的边长表示1厘米）     （1）如果有一个D点，并且顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形，请画出图形并标出D点，并用数对（    ）表示。 （2）请将图形M绕点O顺时针旋转90°得到图形N，请画出旋转后的图形N，然后将图形N按2∶1比例放大，得到图形W，请再画出放大后的图形W。 34．小明步行从家出发，向南偏东30°方向走400米到超市，再往正西方向走到学校。线路按图上所示比例画下来。请结合已知信息解答下列问题： （1）超市到学校的图上距离是3厘米，实际距离是多少米？ （2）根据路线图写出小明从学校出发按原路回家步行的过程（写出方向、角度与路程）。 35．给一间长9m、宽6m的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下表。 每块地砖的面积/cm2 900 1800 3600 所需地砖的数量/块 600 300 150 （1）所需地砖数量与每块地砖的面积成（    ）比例关系。 （2）如果采用边长50厘米的方砖铺这间教室，需要多少块方砖？（用比例的方法解答） 36．某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 产量/吨 0 4 8 12 16 20 24 （1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。 （2）根据表中数据，在下图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）这台榨油机4.5时可以榨（    ）吨油；榨70吨油需要（    ）时。 参考答案 1．1∶300000/ 【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出这幅图的比例尺即可。 【解答】15千米＝1500000厘米 5厘米∶1500000厘米 ＝（5÷5）∶（1500000÷5） ＝1∶300000 这幅图的比例尺是1∶300000。 【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意单位要统一。 2．10∶9 【分析】第一个蜡烛燃去，可知第一根蜡烛还剩（1－）；第二个蜡烛燃去，第二根蜡烛还剩（1－）；再根据“剩下的部分一样长”，由此可知，第一个蜡烛的长度×（1－）＝第二根蜡烛的长度×（1－）；再写成比例的形式，即可。 【解答】第一支蜡烛×（1－）＝第二支蜡烛×（1－） 第一支蜡烛×＝第二支蜡烛× 第一支蜡烛∶第二支蜡烛＝∶ ＝（×45）∶（×45） ＝20∶18 ＝（20÷2）∶（18÷2） ＝10∶9 第一支蜡烛和第二支蜡烛原来的长度比是10∶9。 【点评】解决此题的关键是先求出两支蜡烛剩下的分率，再根据比例的基本性质和比的基本性质进行解答。 3．6∶7 正 【分析】根据除法、分数和比的关系可知，A÷B＝A∶B；＝6∶7，由此求出A与B的最简单的整数比； A÷B＝，B＝A÷，进而求出B＝A；据此求出B是A的多少倍； 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断A和B 成什么比例。 【解答】A÷B＝ A∶B＝6∶7 A÷B＝ B＝A÷ B＝A× B＝A A÷B＝（一定），A和B成正比例。 A÷B＝，则A与B的最简单的整数比是6∶7，B是A的倍。若A和B是两种相关联的量，且A÷B＝。则A与B成正比例关系。 【点评】利用除法、分数与比的关系，正比例意义和辨识、反比例意义和辨识进行解答。 4．10 【分析】因为橡皮的弹性一定，所以原来B、C点的位置和拉长后B、C点的位置存在正比例关系，所以设此时点B的位置在xcm处，即可算出答案。 【解答】解：设此时点B的位置在xcm处。 6∶9＝x∶15 9x＝6×15 9x＝90 9x÷9＝90÷9 x＝10 【点评】此题考查了正比例关系以及解比例的应用。 5．正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】因为，所以a∶b＝，a和b的比值一定，则a和b成正比例。 【点评】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。 6．100 16 【分析】根据成正比例的量及成反比例的量的意义解答。 【解答】解：设？处的数字为a，得： 如果x与y成正比例，则：2∶40＝5∶a，解得a＝100； 如果x与y成反比例，则：2×40＝5×a，解得a＝16。 所以成正比例的时候？处填100；成反比例的时候？处填16。 【点评】两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系。 7．反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看相对应的两个量是比值一定，还是乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】因为＝，所以xy＝12（一定），乘积一定，所以x和y成反比例。 因为＝，所以＝（一定），比值一定，所以m和n成正比例。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看相对应的两个数是比值一定，还是乘积一定，再作判断。 8．9.8 【分析】求图上距离是多少厘米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”代入数值，计算即可。 【解答】49公里＝4900000厘米 4900000×＝9.8（厘米） 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离∶实际距离，灵活变形列式解决问题。 9． 【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，另一个外项＝两个内项的乘积÷其中一个外项，再根据最小的质数为2，即可求得。 【解答】分析可知，最小的质数是2。 2÷＝ 【点评】掌握比例的基本性质是解答题目的关键。 10．南偏东 20 200 6 【分析】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。 观察可知，图上1厘米表示实际100米，看600米包含几个100米，图上就是几厘米，据此分析。 【解答】600÷100＝6（厘米） 小店区政府在实验小学南偏东20°方向200米处。在距学校北偏西方向600米处有一个核酸检测点，它到实验小学的图上距离是6厘米。 【点评】在确定夹角时，要根据方向来确定，比如北偏东，就是把正北方向对应量角器上的0°刻度线。 11．B 【分析】根据题意可知：大长方形的面积×＝小长方形的面积×；再把此式根据比例的基本性质改写成比例，即大长方形的面积∶小长方形的面积＝；最后根据比的基本性质把化成最简单的整数比。 【解答】＝＝3∶2。 所以大长方形和小长方形的面积之比是3∶2。 故答案为：B 【点评】把等式ax＝by改写成比例时（a，b，x，y均不为0），相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 12．A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此选择。 【解答】因为，所以xy＝24（一定），乘积一定，所以x与y成反比例关系。 故答案为：A 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 13．A 【分析】图上距离÷比例尺＝实际距离，据此代入数据求出直径实际是多少米，再根据圆的面积＝π×半径的平方解答即可。 【解答】2÷＝200（cm） 200cm＝2m 2÷2＝1（m） 3.14×12＝3.14（m2） 实际占地面积是3.14m2。 故答案为：A 【点评】熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系以及圆的面积的计算方法是解题的关键。 14．B 【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此分别计算出两外项的积和两内项的积，等于说明能组成比例，不等于就说明不能组成比例；据此解答即可。 【解答】A．8×12＝96，6×16＝96，因为96＝96，所以能组成比例； B．3×7＝21，9×5＝45，因为21≠45，所以不能组成比例； C．5×＝1，8×＝1，因为1＝1，所以能组成比例； D．×3＝，×12＝，因为＝，所以能组成比例。 故答案为：B 【点评】本题主要考查比例基本性质的灵活运用。 15．C 【分析】比例尺＝图上零件长∶实际零件长，根据题意代入数据可直接得出这幅图纸的比例尺。 【解答】5cm＝50mm 50∶2 ＝（50÷2）∶（2÷2） ＝25∶1 ＝ 这张图纸的比例尺是25∶1。 故答案为：C 【点评】本题考查了比例尺的意义，注意单位要统一。 16．D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【解答】A．可得，即和的比值一定，所以和成正比例，但x和y并不成反比例； B．，x和y的和一定，所以x和y不成比例； C．由可得，x与y的比值一定，所以x与y成正比例，但x和y并不成反比例； D．，x和y的乘积一定，符合反比例的意义，所以x和y成反比例； 故答案为：D 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 17．B 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。据此判断即可。 【解答】A．因为每天看的页数×看的天数＝这本数的页数（一定），它们的乘积一定，所以每天看的页数和看的天数成反比例； B．因为总价÷数量＝单价（一定），它们的比值一定，所以购买的数量和总价成正比例； C．因为已修的长度＋未修的长度＝这条路的长度（一定），已修的长度和未修的长度的和一定，所以它们不成比例； D．因为正方形的面积÷它的边长＝它的边长，它们的比值不一定，所以正方形的边长和它的面积不成比例。 故答案为：B 【点评】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。 18．A 【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则a和3同为比例的外项，b和5同为比例的内项，据此解答。 【解答】分析可知，如果，那么a∶b＝5∶3。 故答案为：A 【点评】掌握比例的基本性质是解答题目的关键。 19．B 【分析】根据比例尺的意义∶比例尺是图上距离和实际距离的比，代入数据，进行解答即可。 【解答】210千米＝21000000厘米，一“拃”大约是21厘米， 21∶21000000＝1∶1000000 故答案为：B 【点评】此类题做题的关键是：利用比例尺的意义，代入数据计算即可。 20．D 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 把12A＝5B改写成一个外项是A，一个内项是B的比例，则和A相乘的数12就作为比例的另一个外项，和B相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可。 【解答】因为12A＝5B，所以A∶B＝5∶12。 故答案为：D 【点评】解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项。 21．x＝32；x＝6；x＝20 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时减去2，再根据等式的性质2，两边再同时乘4； （2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，根据等式的性质2，两边再同时乘2； （3）先计算出4×3＝12，根据等式的性质1，两边同时加上12，再根据等式的性质2，最后两边再同时除以3.2。 【解答】（1） 解：2＋x－2＝10－2 x＝8 4×x＝8×4 x＝32 （2） 解：0.5x＝ 0.5x＝3 2×0.5x＝3×2 x＝6 （3）3.2x－4×3＝52 解：3.2x－12＝52 3.2x－12＋12＝52＋12 3.2x＝64 3.2x÷3.2＝64÷3.2 x＝20 22．x＝144；x＝0.5 【分析】x－x＝45，先将左边合并成x，根据等式的性质2，两边同时÷即可； ∶x＝0.6∶，根据比例的基本性质，先写成0.6x＝×的形式，两边同时÷0.6即可。 【解答】x－x＝45 解：x＝45 x÷＝45÷ x＝45× x＝144 ∶x＝0.6∶ 解：0.6x＝× 0.6x＝0.3 0.6x÷0.6＝0.3÷0.6 x＝0.5 23．x＝2；x＝ 【分析】（1）把百分数化成小数，先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.2求解； （2）根据比例的基本性质，原式化成x＝，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解； 【解答】 解： 0.2x＝0.4 0.2x÷0.2＝0.4÷0.2 x＝2 解： x＝ x＝ x＝ 24．见详解 【分析】（1）将图形A的各个边长扩大到原来的2倍即可； （2）把图B绕点O顺时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数，即可得到旋转后的图形。 【解答】如图所示： 【点评】本题考查图形的放大与图形的旋转，图形的放大关键是明确放大的图形的各个边长的长度。 25．（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）根据图上距离＝实际距离×比列尺，代入数据，求出图书馆与小明家的图上距离，再以小明家为观测点，画出图书馆的位置； （2）计算出体育场与小明家的图上距离，再以小明家为观测点，画出体育场的位置； （3）计算出文化宫与小明家的图上距离，画出文化宫的位置。 【解答】（1）600米＝60000厘米 60000×＝2（厘米） 见下图。 （2）450米＝45000厘米 45000×＝1.5（厘米） 见下图 （3）300米＝30000厘米 30000×＝1（厘米） 见下图 【点评】根据图上距离与实际距离换算，以及根据方向、角度和距离确定物体位置的知识进行解答。 26．960字 【分析】由题意可知，这份文稿的总字数不变，每小时打的字数×需要的小时数＝这份书稿的总字数（一定），则每小时打的字数和需要的小时数成反比例，据此解答。 【解答】解：设每小时打x字。 5x＝800×6 5x＝4800 5x÷5＝4800÷5 x＝960 答：每小时打960字。 27．108千米 【分析】要求A、B两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算即可。 【解答】1.8÷ ＝1.8×6000000 ＝10800000（厘米） 10800000厘米＝108千米 答：A地到B地的实际距离是108千米。 28．49.8元 【分析】小明从家出发，乘坐出租车到图书馆的图上距离是（5＋3）厘米，根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出从小明家到图书馆的实际距离为20千米，超过3千米有（20－3）千米，用超过的距离乘超过部分的收费标准2.4元，即可求出超出部分收费的车费，再加上9元，即可求出需要付多少元车费。 【解答】（5＋3）÷ ＝8×250000 ＝2000000（厘米） 2000000厘米＝20千米 （20－3）×2.4＋9 ＝17×2.4＋9 ＝40.8＋9 ＝49.8（元） 答：需要付49.8元车费。 【点评】此题的解题关键是掌握图上距离和实际距离之间的换算以及分段收费的解决方法。 29．600本 【分析】由题意可知，图书的总数量不变，每天装订的本数×需要的天数＝图书总数量（一定），实际每天装订的本数×实际需要的天数＝原计划每天装订的本数×原计划需要的天数，据此解答。 【解答】解：设实际平均每天装订x本图书。 25x＝500×30 25x＝15000 x＝15000÷25 x＝600 答：实际平均每天装订600本图书。 【点评】本题主要考查反比例的应用，找出两种相关联的量成反比例关系是解答题目的关键。 30．8天 【分析】前3天就读120页，计算出实际每天读的页数，每天读的页数×天数＝这本书的总页数（一定），根据这个等量关系可列出比例，求出实际读的天数，据此解答。 【解答】解：设实际x天读完这本书。 120÷3＝40（页） 20－12＝8（天） 答：照这样计算，可以比原计划提前8天读完这本书。 【点评】解答本题的关键是找出等量关系，根据等量关系列出比例。 31．315千米 【分析】由题意可知：汽车行驶的速度是一定的，即汽车行驶的路程与时间的比值是一定的，则汽车行驶的路程与时间成正比例，据此即可列比例求解。 【解答】解：设甲地到乙地有x千米， 180∶2.4＝x∶4.2 2.4x＝180×4.2 2.4x＝756 2.4x÷2.4＝756÷2.4 x＝315 答：甲地到乙地有315千米。 【点评】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 32．（1）南；西；15；200 （2）东；南；30；800 （3）图见详解 【分析】（1）在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，注意观测点是学校。根据图上距离和比例尺的关系确定实际距离。 （2）根据位置的相对性可知：位置相对的两个物体所在的方向相反、角度相同、距离不变。 （3）根据实际距离和比例尺的关系确定图上距离。再根据方向确定小尼家的位置。 【解答】（1）1×200＝200（米） 图书馆在学校南偏西15°的方向上，距离是200米。 （2）4×200＝800（米） 因为书店在学校的西偏北30°方向800米处，所以学校在书店东偏南30°的方向上，距离是800米。 （3）600÷200＝3（厘米） 作图如下： 【点评】本题主要考查图上距离、实际距离与比例尺之间的关系，并会根据方向的描述确定物体的位置。 33．（1）图形见详解，（6，1） （2）见详解 【分析】（1）根据平行四边形的特点，对边平行且相等，据此标出D点；再根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答即可； （2）把图形M绕点O顺时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数，即可得到图形N；将图形N的各个边长扩大到原来的2倍就可得到图形W。 【解答】（1）如图所示： 点D用数对（6，1）表示。 （2）如图所示： 【点评】本题考查旋转，明确旋转中心，旋转角度和旋转方向是解题的关键。 34．（1）600米； （2）小明从学校出发，向正东方向走600米到达超市，再往超市北偏西30°方向走400米到家 【分析】（1）由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离200米，根据比例尺的意义把线段比例尺转化为数值比例尺，再利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出图上3厘米代表的实际距离； （2）根据“上北下南，左西右东”确定方向，超市在学校的正东方向，小明家在超市的北偏西30°方向，最后根据两地之间的距离描述路线图，据此解答。 【解答】（1）1厘米∶200米＝1厘米∶20000厘米＝1∶20000 3÷＝60000（厘米） 60000厘米＝600米 答：实际距离是600米。 （2）分析可知，小明从学校出发，向正东方向走600米到达超市，再往超市北偏西30°方向走400米到家。 【点评】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。 35．（1）反比例 ；（2）216块 【分析】（1）根据数量关系判断两个量的商（比值）一定还是乘积一定，如果商（比值）一定就成正比例，如果乘积一定就成反比例。 （2）先根据正方形面积＝边长×边长求出面积，然后根据每块地砖面积与所需地砖数量的反比例关系列式即可解答。 【解答】（1）900×600＝540000（cm2） 1800×300＝540000（cm2） 3600×150＝540000（cm2） 由此可知，所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例关系； （2）方砖面积：50×50＝2500（cm2） 解：设需要x块方砖。 2500x＝900×600 2500x＝540000 x＝216 答：需要216块方砖。 【点评】此题主要考查学生对正反比例的判定和解比例的应用。 36．（1）成正比例；原因见详解； （2）见详解 （3）18；17.5 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答； （2）根据统计表格的数据绘制统计图； （3）根据题意可知，每小时可榨4吨，用4.5×4，求出4.5小时榨出的油的质量；再用70÷4，求出70吨需要的时间。 【解答】（1）＝＝＝＝＝＝4（一定），生产时间与产量成正比例； 答：生产时间与产量成正比例。 （2） （3）4.5×4＝18（吨） 70÷4＝17.5（时） 【点评】利用正比例意义和辨别、正比例的图像的画法，利用正比例解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$