精品解析：上海市建平中学西校2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024学年度第二学期初二年级数学学科期中考试 一、选择题 1. 直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于二项方程的是（ ） A B. C. D. 3. 下列方程没有实数根个数是（ ） （1） （2） （3） （4）， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 某灾区恢复生产，计划一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一张平行四边形纸片折一次，折痕平分平行四边形的面积，那么这样的折法有（ ） A. 无数种 B. 4种 C. 2种 D. 1种 二、填空题 7. 若一次函数y=kx﹣（2k+1）是正比例函数， 则k的值为________ ． 8. 将直线向下平移个单位，则得到的新直线的解析式为______． 9. 八边形的内角和为________度． 10. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 11. 若，则______． 12. 一次函数与坐标轴围成的三角形面积是______． 13. 用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是__________． 14. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的对角线是___________条. 15. 如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E是的中点，连接，若，的周长等于8，则平行四边形的周长等于__________． 16. 平行四边形一组邻边长和，其中一边上的高是，则另一边上的高是______． 17. 若一次函数满足时，，那么这个一次函数的解析式为______． 18. 在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为________． 三、简答题 19. 解关于的方程：． 20. 解方程：． 21. 解方程组: 22. 解方程组： 四、解答题 23. 已知直线平行于直线，且与直线的交点在轴上，求这个一次函数的解析式． 24. 在平行四边形中，分别以为边向平行四边形内作等边三角形和等边三角形，连接．求证：四边形是平行四边形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形为平行四边形，A、B、C的坐标分别是，，，点D在第一象限．回答以下问题： （1）D点的坐标为______． （2）将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形，那么它的四个顶点的坐标分别是：（______），（_____），（______），（______）； （3）平行四边形与四边形重叠部分的面积是______． 26. 某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40 000元购进A型号电脑的数量与用30 000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题： （1）A，B型号电脑每台进价各多少元？ （2）若每台A型号电脑售价为2 500元，每台B型号电脑售价为1 800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y(单位：元)与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36 000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台． 27. 点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度第二学期初二年级数学学科期中考试 一、选择题 1. 直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴， 故选：C． 2. 下列方程中，属于二项方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x,这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二项方程，故本选项错误； B、，是二项方程，故本选项正确； C、，不是二项方程，故本选项错误； D、，不是二项方程，故本选项错误； 故选：B． 3. 下列方程没有实数根的个数是（ ） （1） （2） （3） （4）， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． 利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（）∵， ∴，方程没有实数根， （）∵， ∴， ∴， 解得：，， 经检验是原方程的解， （）∵， ∴， ， 经检验是原方程的增解， ∴原分式方程无解， （）∵， ∴，方程没有实数根， 综上：方程没有实数根的个数是个， 故选：． 4. 某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设实际种了天，则原计划需要天，根据题意，实际每天种的亩数=原计划每天种的亩数=3，列分式方程即可． 【详解】设实际种了天，则原计划需要天，根据题意，得 ． 故选A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 5. 平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，解题的关键是利用三边关系确定范围． 根据平行四边形对角线互相平分求出两对角线的一半，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，即， ∴， 故选：． 6. 一张平行四边形纸片折一次，折痕平分平行四边形的面积，那么这样的折法有（ ） A. 无数种 B. 4种 C. 2种 D. 1种 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积， 则这样的折纸方法共有无数种． 故选：A． 二、填空题 7. 若一次函数y=kx﹣（2k+1）是正比例函数， 则k的值为________ ． 【答案】-0.5. 【解析】 【分析】让x的系数不为0，常数项为0列式求值即可． 【详解】∵y=kx-（2k+1）是正比例函数， ∴k≠0，-（2k+1）=0， 解得k=-0.5， 故答案为-0.5． 【点睛】考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0． 8. 将直线向下平移个单位，则得到的新直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握函数图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据一次函数平移规律“上加下减”即可求解． 【详解】解：∵直线向下平移个单位， ∴得到的新直线的解析式为， 故答案为：． 9. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 10. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键． 根据算术平方根的非负性得出，根据方程无实数解求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴如果方程无实数解，则， ∴， 故答案为：． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意得出，然后解出不等式组即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 一次函数与坐标轴围成的三角形面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由得，当时，；当时，，即坐标轴的交点为，，然后用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由得，当时，；当时，； ∴一次函数与坐标轴的交点为，， ∴坐标轴围成的三角形面积是， 故答案为：． 13. 用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】如果设，那么 ，原方程变为：y - -2=0，方程两边乘最简公分母y，可以把分式方程转化为整式方程． 【详解】解：设， 原方程变为y--2=0， 方程两边都乘y得． 故原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为． 【点睛】本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数． 14. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的对角线是___________条. 【答案】9 【解析】 【分析】先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：（n−2）×180°＝360°×2，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为： ，求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ∵该多边形的内角和是外角和2倍， ∴（n−2）×180°＝360°×2， 解得：n＝6， ∴这个多边形的对角线的总条数为：， 故答案为9． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线条数问题，解答本题的关键在于根据该多边形的内角和是外角和2倍求出多边形边数． 15. 如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E是的中点，连接，若，的周长等于8，则平行四边形的周长等于__________． 【答案】20 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到为的中位线，利用三角形的中位线性质得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴，， ∵，的周长等于8， ∴，则， ∴， ∴平行四边形的周长等于， 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． 16. 平行四边形一组邻边长和，其中一边上的高是，则另一边上的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟知直角三角形中斜边最长，高的长度应该小于斜边的长度是解题的关键． 先确定平行四边形的高是对应的哪条底，然后再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：的高对应底边是， ， ∴另一边上的高是， 故答案为：． 17. 若一次函数满足时，，那么这个一次函数的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意分当，；，，当，；，待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵一次函数一次函数，时，， ∴当，；，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当，；，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：或． 18. 在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，一次函数的性质；分两种情况讨论，将，分别绕点顺时针和逆时针旋转，点在上，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，点在上时， 过点作轴于点， 依题意， 又 ∴ ∴ ∴ ∵，则 设，则， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴； 如图所示，将绕点顺时针旋转，点在上时， 同理可得， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 三、简答题 19. 解关于的方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照移项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴． 20. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，掌握解解方程的方法及步骤是解题的关键． 方程两边乘以，转化为一元二次方程方程，然后解一元二次方程方程并检验即可． 【详解】解： ， ∴，， 经检验：和原方式方程的解， ∴原方程的解为，． 21. 解方程组: 【答案】或； 【解析】 【分析】由代入消元法，消去一个未知数x，得到关于y的一元二次方程，然后用公式法解出y的值，然后计算出x，即可得到方程组的解. 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①，得， 整理得：， ∵， ∴用求根公式法，得 ， 解得：，； ∴，； ∴方程组的解为：或； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键. 22. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程组，令，则原方程组可化为，解方程组得到，，则可得到，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程组可化为， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程组的解． 四、解答题 23. 已知直线平行于直线，且与直线的交点在轴上，求这个一次函数的解析式． 【答案】这个一次函数的解析式为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由直线平行于直线可得，又直线的交点在轴上，则交点坐标为，然后代入直线，求出的值即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴根据两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相等，即， 由直线的交点在轴上，当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴直线过点，代入得：，则， ∴这个一次函数的解析式为． 24. 在平行四边形中，分别以为边向平行四边形内作等边三角形和等边三角形，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．分别证明、，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵、等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形为平行四边形，A、B、C的坐标分别是，，，点D在第一象限．回答以下问题： （1）D点的坐标为______． （2）将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形，那么它的四个顶点的坐标分别是：（______），（_____），（______），（______）； （3）平行四边形与四边形重叠部分的面积是______． 【答案】（1） （2），，， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和平移的性质即可得到答案； （1）根据平行四边形对边平行且相等可得轴，据此求解即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）设交于E，交于F，则两个平行四边形重叠的部分为平行四边形四边形，求出的长和点到的距离即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵，且点D在点A右侧， ∴点D的坐标为，即； 小问2详解】 解：∵将平行四边形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形， ∴，，，； 【小问3详解】 解：如图所示，设交于E，交于F，则两个平行四边形重叠的部分为平行四边形四边形（）， ∵，轴，， ∴点 到的距离为， ∵将平行四边形先向右平移个单位长度，·再向下平移个单位长度，得到新的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 26. 某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40 000元购进A型号电脑的数量与用30 000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题： （1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？ （2）若每台A型号电脑售价为2 500元，每台B型号电脑售价为1 800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y(单位：元)与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36 000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？ （3）在（2）问条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台． 【答案】（1）每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；（2），有三种方案；（3）捐赠A，B型号电脑总数最多是5台． 【解析】 【分析】（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）若A型号电脑x台，则B型号电脑台，根据题意列出y与x的关系式；根据题意可列出关于x的一元一次不等式组，求解即可得到方案； （3）根据（2）得到最大利润，优先购买B型号电脑，即可求解． 【详解】（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为元， 由题意，得，解得：a=2000， 经检验a=2000是原方程的解，且符合题意， 2000－500=1500（元）． 答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元． （2）由题意，得 y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000， ∵，解得， ∵x是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案． （3）∵利润，随x的增大而增大， ∴当时可获得最大利润，最大利润为（元）， 若要使捐赠A，B型号电脑总数尽可能多，则优先购买B型号电脑，可购买5台， 所以捐赠A，B型号电脑总数最多5台． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理解题意并列出方程或不等式组是解题的关键． 27. 点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$