山东省聊城市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

2024一2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写 到答题卡和试卷规定的位置上 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不 按以上要求作答的答案无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求。 1.小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方 案共有 A.18种 B.9种 C.3种 D.6种 2.已知函数f(x)=f' -2x,则f(1)= A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.(2x- )”的展开式中的常数项为 √x A.-60 B.60 C.-160 D.160 4.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=12a2-1,P(X=1)=3一7a,则实数a的值为 A号 B号 c号 5.已知函数f(x)及其导函数f'(x)均为R上的连续函数，且函数y=xf'(x)的图象如图所 示，则 A.一3是f(x)的极小值点 B.0是f(x)的极小值点 C.f(-3)是f(x)的最大值 D.f(x)不存在最大值 高二数学试题第1页（共4页） 6.某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参 会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有 A.630种 B.360种 C.240种 D.180种 7.已知函数fx)=9+ax若对任意的1k,∈[受，当，>，时，都有 x1f(x,)一x2f(x2)>0,则实数a的取值范围为 A.[0,+o∞) B.(0,十∞) C.2,+o) &c+c+c++c唱+c A.26+1 B.216 C.215+1 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A.若f(x)=2,则f(x)=2lnx B.若f(x)=x√丘，则f'(4)=3 C.若f(x)=n(5x+2),则lim f1+Ax)-f1-Ax2_ △x 7 D.若f'(x。)=0,则x。一定是函数f(x)的极值点 10.盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A 为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝 球”，则 AP(B)-号 B.P(BIA)=2 C.P(CIA)+P(CIA)=1 D.P(BUCIA)=7 11.已知x1,x2∈(0，十m),且x1<x2,若x1e=x2e,则 A.x2>1 B.x1+x:<2 C.Inz:+Inz2<0 D.x:-Inz:>1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.从1,2,3,4,5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数 为 .(用数字作答) 13.某小学生在一次手工课上，把体积为216cm的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再 把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为 cm'. 14.已知函数fx)=严，若关于x的不等式fG(x)十a)>0的解集中有且只有三个整数，则 实数a的取值范围是 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品 (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率： (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列 16.(本小题满分15分) 设通数f)=+生+ax+6. (1)若曲线y=f(x)在点(0，b)处的切线方程为(2-b)x十y十a=0,求a,b的值： (2)讨论f(x)的单调性。 17.(本小题满分15分) 已知m∈R,(x十m)(2x-1)°=a。十a1x+a2x2+…十a,x’,且a2=208.求： (1)m的值； (2)a1十a2+十a,的值 (3)a1+2a2+…十9a,的值 高二数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 人工智能中的大语言模型Deepseek(以下简称Deepseek)能自动从多种来源收集和整合数 据，从而大大提高工作效率.但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代.某单位因受 到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核， 每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过 方可重新上岗.假设小李通过第一、二，三次理论考核的概率分别为p,1一p,p,每次理论考 核是否通过相互独立，小李不会主动弃权， (1)若p=p。时，小李通过三次理论考核的概率最大，求p。的值： (2)当p为(1)中确定的。时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未 能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗：若实操考核 未通过，则淘汰.已知小李通过实操考核的概率为了求： (1)小李参加考核的次数的分布列： (ⅱ)小李重新上岗的概率. 19.(本小题满分17分) f(x)≥kx, 若函数f(x)与g(x)在区间I上满足：存在实数k,使得对任意x∈I,都有 则称k g(x)≤kx, 为f(x)和g(x)在I上的同步斜率.已知f(x)=e一l,g(x)=sinx,h(x)=aln 1十x 1-x (1)验证1是否为f(x)和g(x)在[0，+o)上的同步斜率； (2)若1是h(x)和g(x)在区间(0,1)上的同步斜率，求实数a的取值范围： n2十n 3)证明：当≥2且a∈N时，含<1+h“生 高二数学试题第4页（共4页） 2024一2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1-4 ACBA 5-8 CBDD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.24 13.216 14.(1-5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤 15.解：(1)记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”， 1分 5×4×410 则P(A)= 3分 9×8×7631 (2)X的可能取值为0,1,2,3. 4分 P(X=0)= C5 c 42 000卡00年带8书市市中书布年专年年年年华年年中华华年号 6分 P(X=1)= CC 10 C 21 8分 P(X=2)= cic 10分 C 14 P(X=3)= C 1 21 12分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 5 10 5 P 1 42 21 14 21 13分 16.解：(1)由题意得f'(x)=3x2+(a十3)x十a,所以f'(0)=a,…2分 又曲线y=f(x)在点(0，b)处的切线方程为(2-b)x十y十a=0, a=-(2-b), a=-1, 所以 解得 5分 b=-a, b=1. (2)由(1)知f'(x)=3x2+(a+3)x+a=3(x+号)x+1),… 6分 ①当-号<-1，即a>3时x∈(-0，一号)时，f(x)>0,fx)单调递增： 高二数学试题参考答案第1页（共4页） x(-号，-1)时，fx)<0,f(x)单调递减： x∈（一1，十0）时，f'(x)>0,f(x)单调递增；…9分 ②当-号=-1，即a=3时，f(x)≥0恒成立，f(x)单调递增；… 11分 ③当-号>-1，即a<3时，x∈(-0，-1)时，f(x)>0,f(x)单调递增x∈(-1，-号)时， f(x)<0,f(x)单调递减x∈(-号，+m)时，f(x)>0,f(z)单调递增。…14分 综上， 。>3时，fx)在区间(-0，一号)和(-1，十w)上单调递增，在区间(-号-1)上单调递减： a=3时，f(x)在区间（一o,十o)上单调递增； Q<3时，f(x)在区间(-0，-1)和(-号，十o)上单调递增，在区间（一1，一号上单调递减。 15分 17.解：(1)(2x一1)°的展开式的通项公式为Tk+1=C28-x8-(一1)， 1分 令8-k=1,得=7，所以Tg=C82x(-1)7=一16x,…3分 令8-k=2,得k=6,所以T7=C822x2(-1)6=112x2,…5分 所以a2=-16十112m=208,解得m=2.…7分 (2)令x=1,得a0十a1十…十ag=3,… 8分 令x=0,得a0=2,… 9分 所以a1十a2十…十ag=a0十a1十…十ag-a0=3-2=1.…l0分 (3)对(x十2)(2x-1)8=a0十a1x十a2x2+…十agx9两边分别求导，得 (2x-1)8+16(x+2)(2x-1)7=a1十2a2x+…+9agx8,…13分 令x=1,得a1十2a2十…十9ag=49.…15分 18.解：(1)小李通过三次理论考核的概率为f(p)=p(1一p)p=p2(1一p),p∈[0,1]，… 2分 则f'(p)=2p(1一p)-p2=p(2-3p),… 3分 当p∈0，子)时，f'(p)>0,fp)单调递增； 当pE(号，1D时，f'(p)<0,f(p)单调递减， ………5分 所以当p=,=号时，小李通过三次理论考核的概率最大。 6分 (2)由1知p=导 (1)设小李参加的所有考核的次数为X,则X的可能取值为1,3,4，…7分 高二数学试题参考答案第2页（共4页） 当小李第一次理论考核未通过时，X=1, P(X=1)= ，94999091555555499 8分 当小李第二次理论考核未通过或通过三次理论考核时，X=3, 、所以PX=3》号X号十号×3X号-2…………10分 当小李第三次理论考核未通过时，X=4, 11分 所以小李参加考核的次数X的分布列为 X 1 3 4 P 16 2 3 27 27 ……12分 (ⅱ)小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率为P,= ……………13分 小李第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率为P2= ………15分 小李通过三次理论考核的概率为P,=号× × ,24 31 久空2万，。。。*中*牛“””*””””””””””””*·”··*”·+ 16分 、3 42426 所以小李重新上岗的概率P=P,+P,+P,=27+81+27=81 17分 19.(1)解：1是f(x)和g(x)在[0，十∞)上的同步斜率，… …1分 证明如下： 由题意知，只需证x∈[0，十∞)时，sinx≤x≤e一l. 令F(x)=e-x-1,则F'(x)=e-1, 所以x≥0时，F'(x)≥0，F(x)在[0，十o）)上单调递增，…2分 又因为F(0)=0,所以x≥0时，F(x)≥0，即e一1≥x在[0，十oo)上恒成立.…3分 令G(x)=sinx一x,则G'(x)=cosx-l≤0恒成立，所以G(x)在[0，十o)上单调递减，… ……………………4分 又因为G(0)=0,所以G(x)≤0，即sinx≤x, 所以x∈[0，十∞)时，sinx≤x≤e-l, 即1是f(x)和g(x)在[0，十o)上的同步斜率.…5分 高二数学试题参考答案第3页（共4页） (2)解：由题意知x≤h(x)恒成立， 1+x 令Hx)=aln12-z=a(ln1+x)-h1-x》-x,则Hx)20在区间0,1D上恒成立， 6分 …7分 1-x2 当2a-1≥0即a>≥2时，H'(x)>0在区间（0,1上恒成立， 所以H(x)在区间(0,1)上单调递增，H(x)>H(0)=0,符合条件；…8分 当2a-1<0,即a<2时z∈(0W1-2a)时，H'(x)<0, H(x)在区间(0，√1一2a)上单调递减，…… 9分 所以存在xo∈(0,1-2a),使H(xo)<H(0)=0,不符合条件.…10分 综上，a的取值范围为[？，十∞ ，……11分 (3)证明：令e=1,由(2)知x<血吉在区间(0，上恒成立，………正 当m≥2且n∈N时，e0,D,令x-,得片< n+1 n-1 =ln(n+1)-ln(n-1).… …14分 所以安}=1+号+…+号 <1+In3-Inl+In4-In2+In5-In3+...+Inn-In(n-2)+In(n+1)-In(n-1) =1-1n2+Inn+In(n+1) =1n生 即当n≥2且n∈N时，2。 17分 高二数学试题参考答案第4页（共4页）