精品解析：重庆市第二十九中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

重庆二十九中2024-2025学年度下期 高一年级数学半期测试题 （命题人：高二年级数学 备课组时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简z，然后根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第三象限. 故选：C. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法和模长运算的坐标表示计算即可. 【详解】， ， 两边平方后化简可得或. 故选：C 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因，所以， 故选：A． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数基本关系式来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得， . 故选：B 5. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 6. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可. 【详解】因为这组数据的平均数为， 所以这组数据的中位数只可能是m或7， 若这组数据的中位数是m，则，即， 若这组数据的中位数是7，则，即， 综上所述，m的取值范围为. 故选：B. 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案. 【详解】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，， ， 因为，所以，故， 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用三角函数线，可以比较有关于三角函数的式子的大小，本题关键点，设，得到，从而得到大小关系. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D. . 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B：因为的图象关于点对称，则， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C正确． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 由，得， 函数与图象在共9个交点， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围． 【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线. 由可得， 若与共线，则有，解得，所以与不共线时，. 综上，的取值范围为且. 故答案为：. 13. 已知是方程的两个实数根，则______． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据韦达定理以及正切的和差角公式可得，即可利用正弦二倍角公式以及相切互化齐次式求解. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以 因此 ， 故答案为： 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可； （2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； 【小问2详解】 由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 16. 已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值； （2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围； （3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解. 【小问1详解】 向量，， . 【小问2详解】 ， ， ，，， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为，解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 17. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1），60百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图区间频率和为求参数；设该样本的60百分位数为，由题意可得，即可求得该样本的60百分位数； （2）根据频率分布直方图求数学测试成绩的平均分即可. 【小问1详解】 由，解得； 设该样本的60百分位数为， 因为，，，，对应的频率分别为， 所以60百分位数在这组数据内， 由题意可得，解得， 所以该样本的60百分位数为. 【小问2详解】 数学测试成绩的平均值为分. 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】（1） （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出概率为. 【小问2详解】 ①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 19. 如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”； （2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”. 【详解】（1）因为，取， 则，，， 显然，即不能构成三角形的三边， 故函数不是“保三角形函数”. （2）①当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； ②当时，，所以最大. 由得，， 故，即能构成三角形的三边； ③当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； 综合①②③可知，函数是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆二十九中2024-2025学年度下期 高一年级数学半期测试题 （命题人：高二年级数学 备课组时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A 4 B. C. 4或 D. 2 3. 三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 11. 已知函数图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________ 13. 已知是方程的两个实数根，则______． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 16. 已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 17. 了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19. 如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$