精品解析：广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学（春考）试题

2024-2025学年度高二级期中考试数学科试题（春考） 一､选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可得出答案. 【详解】由集合，知． 故选：A. 2. 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由解析式可得，解出即可. 【详解】要使函数有意义，则满足，解得， 故函数的定义域为. 故选：A. 4. 下列函数中是奇函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，逐一分析选项即可. 【详解】对于A,定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；对于B,定义域为R，，是偶函数；对于C,定义域为R,，是非奇非偶函数；对于D,定义域为R，，是奇函数，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义及判定，属于中档题. 5. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式和指数不等式，求出解集，进而判断出答案. 【详解】，解得，，解得， 因为，但， 故“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 6. 设，，，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性即可判断出三个数的大小，得出结果. 【详解】根据对数函数和在都是单调递增函数可知， ，即； ，即； 可得. 故选：C 7. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的正余弦的定义可求得，，利用二倍角的正弦公式可求值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，，所以. 故选：A. 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果. 【详解】 ，由两角和的正弦公式，可知 故答案为：C 9. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算公式以及分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：A. 10. 若向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得. 【详解】由，可得， 所以，， 故选：D. 11. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 12. 某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为83分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质求解. 【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得 10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误； 对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为100.015400=60人， 故B错误； 对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分； 故C错误. 对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分. 故D正确. 故选：D. 二､填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为:. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题. 14. 是虚数单位，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】化简得到，即得解. 【详解】解：，所以. 故答案为： 15. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解； 【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为； 故答案为： 16. 已知，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 17. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】令直接计算即可. 【详解】令 所以 所以函数的单调递增区间为 故答案为： 18. 某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数. 【详解】由题意，应抽取的女生人数是人. 故答案为： 三､解答题：本大题共4个题目，第19-21题各10分，第22题12分，共42分.解答题须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 已知，α∈（，π），，β∈（π，）. （1）求cos（α+β）的值； （2）求tan2β的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求出，进而结合两角和的余弦公式求得答案； （2）由（1）求出，进而根据二倍角的正切求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， （2）由（1），则. 20. 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． （1）求甲队总得分为3分的概率； （2）求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，甲队得3分，即三人都回答正确，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分的概率； （2）记“乙队得分为1分”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率． 【小问1详解】 记“甲队总得分为3分”为事件A， 甲队得3分，即三人都回答正确， 其概率P(A)＝； 【小问2详解】 “乙队总得分为1分”为事件B. 乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误， 则P(B)＝ 由题意得事件A与事件B相互独立， 则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝. 21. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率（） 不超过1500元的部分 3 超过1500元至不超过4500元的部分 10 超过4500元至不超过9000元的部分 20 （1）试建立当月纳税款与当月工资、薪金（总计不超过12500元）所得的函数关系式； （2）已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为295元，那么他当月的工资、薪金所得是多少元？ 【答案】（1）；（2）该负责人当月工资、薪金所得是7500元. 【解析】 【分析】（1）根据公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表分段累计计算，从而得到当月纳税款与当月工资、薪金所得的函数关系式； （2）根据（1）可得当月的工资、薪金介于5000元元，然后代入第三段解析式进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，设当月工资、薪金为元，纳税款为元， 则， 即. （2）当月的工资、薪金所得是5000元时应纳税元， 当月的工资、薪金所得是8000元时应纳税元， 可知当月的工资、薪金介于5000元元， 由（1）知：， 解得：（元）， 所以该负责人当月工资、薪金所得是7500元. 【点睛】本题考查分段函数的解析式以及分段函数模型的实际应用，考查函数与方程思想． 22. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)如图所示，先由题意证明，，然后由线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面即可； (2)利用等体积转化，由题意等量关系可求出，易知PA的长等于三棱锥P-BCE底面BCE上的高，则利用棱锥的体积公式即可求出答案. 【详解】解：（1）如图所示，连接，由是菱形，且知是等边三角形. 因为是的中点，所以.又，所以. 又因平面，平面，所以.又，因此平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）由，可得由平面可得PA的长等于三棱锥P-BCE底面BCE上的高，则. 【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定，考查了棱锥体积的求解，考查了运算能力，属于一般难度的题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二级期中考试数学科试题（春考） 一､选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（　　） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中是奇函数的是 A. B. C. D. 5. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10 若向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 11. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 12. 某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为83分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 二､填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 不等式的解集是______. 14. 虚数单位，若，则__________. 15. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________. 16. 已知，则的最小值是______. 17. 函数的单调递增区间为______. 18. 某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人 三､解答题：本大题共4个题目，第19-21题各10分，第22题12分，共42分.解答题须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 已知，α∈（，π），，β∈（π，）. （1）求cos（α+β）的值； （2）求tan2β的值. 20. 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． （1）求甲队总得分为3分的概率； （2）求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率． 21. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率（） 不超过1500元的部分 3 超过1500元至不超过4500元的部分 10 超过4500元至不超过9000元的部分 20 （1）试建立当月纳税款与当月工资、薪金（总计不超过12500元）所得的函数关系式； （2）已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为295元，那么他当月的工资、薪金所得是多少元？ 22. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$