精品解析：上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

交大附中高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题 1. 设全集，集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的补集、交集运算求解. 【详解】， 故答案为： 2. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的模，共轭复数，复数虚部的概念求解. 【详解】由，所以该复数的虚部为1. 故答案为：1. 3. 设向量，，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量在向量上的数量投影的定义求解. 【详解】因为，， 所以在方向上的数量投影为， 故答案为：1 4. 记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可. 【详解】是等差数列，设首项为，公差为， 又，， ，即， 解得：， 故答案为：. 5. 的二项展开式中的常数项为________； 【答案】-540 【解析】 【分析】展开式中的常数项则相乘的6项里面需要选3个与3个,再利用二项式公式求解即可. 【详解】二项展开式中的常数项为, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二项式定理求常数项的方法,属于基础题型. 6. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可. 【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h＝ .圆锥的体积V＝Sh＝. 故答案为： 【点睛】考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力. 7. 设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得到或，然后计算即可. 【详解】由题意得或， 等价于，解得， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 8. 函数的值域是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 9. 将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解 【详解】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 故有种分配方法. 故答案为：240 10. 双曲线的左焦点为F，A､B分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为______. 【答案】. 【解析】 【分析】先根据四边形为菱形，及双曲线的性质，求的度数，再根据双曲线的定义找的关系，最后由离心率的计算公式求结论. 【详解】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形， 所以，， 所以，所以，所以， 根据双曲线的定义可得， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关双曲线离心率的求解问题，对于求解圆锥曲线离心率的值或范围的解题方法如下： （1）一般不直接求出的值，而是根据题目给出的圆锥曲线的集合特征建立关于参数的方程组或不等式组，通过解方程组或不等组求得离心率的值或范围； （2）通常从两个方面入手研究，一是考虑几何关系，二是考虑代数关系； （3）注意用好定义. 11. 小东同学在山脚处的一条步行道上测量山顶的高度，他先在A点处测得山顶在自己的正北方，仰角为，随后他向正东方向走了2公里，此时测得山顶的仰角为，随后他通过计算得知，山顶的高度约为__________米（精确到1米） 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图，然后设出山顶的高度，在直角三角形中有勾股定理求解即可. 【详解】 如图，由题意可知，，，，，求， 设，在中，， 在中，， 在中，由勾股定理得：，所以解得， 所以山顶的高度为公里，约为米. 故答案为： 12. 已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数可得，判断的单调性，计算极值，作出的函数图象，根据直线与的图象有四个交点得出k的范围. 【详解】当时，， 令，可得：， 令， 则， 对于函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，. 所以，当时，，则上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 又因为当时，；当时，取得极小值； 当时，；当时，， 作出函数的大致图象如图所示： 因为函数恰有四个零点，所以直线与的图象有四个交点， 所以， 故答案为：. 二、选择题 13. “x是有理数”是“是整数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的概念即得. 【详解】若是有理数，如，则不是整数，所以是有理数不能推出为整数， 若为整数，则是有理数，所以为整数能够推出是有理数， 所以是有理数是为整数的必要非充分条件. 故选：B. 14. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求证其单调性即可得，最后利用对数函数的单调性即可. 【详解】令，则， 则在上单调递减，则， 即，即，即， 因为增函数，则. 故选：C 15. 设正方体表面上到顶点的距离等于的所有点组成的图形为，那么在正实数变化的过程中，不可能是（ ） A. 三段圆弧 B. 六段圆弧 C. 一个点 D. 三个点 【答案】D 【解析】 【分析】对不同长度的所构成的轨迹进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】由题意，设正方体边长为， 当时，图形由三段圆弧组成，分别位于三个相邻面上， A正确； 当（此处为正方形的对角线）时，图形由六段圆弧组成， 覆盖所有相邻面的边界，故B正确； 当（此处为正方形的对角线，为正方体的体对角线）时，除了三个点所在的正方形的对角线的点外，还有在其他三个面留下的圆弧， 故D错误； 当（此处为正方体的体对角线）时，恰好只过正方体中与点所对应的体对角线的点， 故C正确； 故选：D. 16. 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 三、解答题 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行的传递性及线面平行的判定定理即可证明； （2）取线段中点，由面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解. 【小问1详解】 因为分别为棱的中点， 所以，又因为， 所以， 平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 取线段中点，连接，则正三角形中有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，分别以向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 设直线与平面所成的角为， . 所以直线AM与平面PBC所成角正弦值为. 18. 已知. （1）求函数在区间上的最小值； （2）在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)先根据降幂公式辅助角公式化简函数然后结合正弦函数的性质可求出函数的最小值. (2)根据函数解析式求出角结合等腰的周长为6求出其它边长再计算面积. 【小问1详解】 ， 由于，所以， 由正弦函数性质可知，当即时， 函数在区间上取到最小值. 【小问2详解】 ， 所以或， 即或， 而B为三角形内角，所以或. 当时，等腰是等边三角形，周长为6， 所以边长为2，面积为； 时，等腰是等腰直角三角形，周长为6， 设直角边，所以， 所以，面积为. 综上，的面积为或. 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. （1）用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； （2）求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值 【小问1详解】 依题意，，. 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 20. 已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. （1）若椭圆的离心率为，求a的值； （2）若，求的面积的最大值； （3）已知，点，点，若直线AP、AQ分别与直线交于M、N两点.求的取值范围. 【答案】（1）3 （2）2 （3） 【解析】 分析】（1）根据离心率得到方程，求出； （2）设直线l的方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用表达出三角形面积，由基本不等式求出最大值； （3）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，进而得到直线AP的方程，求出，同理，计算出，求出取值范围. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，故， 解得； 【小问2详解】 时，，故，所以，， P、Q均不在x轴上，故直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为，，， 联立与得， 所以，是方程的两根， ， ，， 所以， 又，故的面积， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为2； 【小问3详解】 时，，所以，， 椭圆方程为， 设直线l的方程为，，， 联立与可得， 所以，是方程的两根， ，， 故， ， 又，故直线AP的方程为， 令得，故， 所以，同理可得， 所以 ， 所以的取值范围为. 21. 已知，. （1）时，求函数在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求t的取值范围； （3）时，已知，，曲线上不同的三点、、处的切线都经过点.证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数以及，再利用点斜式求方程即可； （2）研究函数的单调性，求出其最小值，使即可； （3）先求出切线方程，再将点代入，可得此方程有三个不同解，再构造函数，研究其单调性，使极大值，极小值，即可得出，再构造，证得即可. 【小问1详解】 时，，则，所以， 又， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 解，得，，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若在上恒成立，则，解得， 所以t的取值范围是. 【小问3详解】 时，，， 设切点坐标为，则斜率， 则切线方程为， 将点代入得，得， 因为曲线上不同的定点，，处的切线都经过点， 所以方程有三个不同的解，，， 令， 则， 解，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 欲使函数有三个不同的零点，则，， 即，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以时，，即，则， 所以， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题 1. 设全集，集合，，则__________. 2. 已知i是虚数单位，则复数虚部为__________. 3. 设向量，，则在方向上的数量投影为__________. 4. 记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 5. 二项展开式中的常数项为________； 6. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________. 7. 设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是__________. 8. 函数值域是__________. 9. 将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答） 10. 双曲线的左焦点为F，A､B分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为______. 11. 小东同学在山脚处的一条步行道上测量山顶的高度，他先在A点处测得山顶在自己的正北方，仰角为，随后他向正东方向走了2公里，此时测得山顶的仰角为，随后他通过计算得知，山顶的高度约为__________米（精确到1米） 12. 已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 二、选择题 13. “x是有理数”是“是整数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 15. 设正方体表面上到顶点的距离等于的所有点组成的图形为，那么在正实数变化的过程中，不可能是（ ） A 三段圆弧 B. 六段圆弧 C. 一个点 D. 三个点 16. 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知. （1）求函数在区间上的最小值； （2）在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. （1）用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； （2）求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 20. 已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. （1）若椭圆的离心率为，求a的值； （2）若，求的面积的最大值； （3）已知，点，点，若直线AP、AQ分别与直线交于M、N两点.求的取值范围. 21. 已知，. （1）时，求函数在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求t的取值范围； （3）时，已知，，曲线上不同的三点、、处的切线都经过点.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $