精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2024-2025学年第二学期第二次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A B. C. D. 3. 已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ） A. 715种 B. 572种 C. 312种 D. 286种 6. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 设正方体的棱长为为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 设与所成的角为，则的最大值为 D. 当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 10. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ） A. 只有1人未参加服务的选择种数是30种 B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种 D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B C D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字0､2､5､7四个数可以组成__________个无重复数字的三位数． 13. 展开式中的项的系数为________．（用数字作答） 14. 设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式，且． （1）求的展开式中的第5项； （2）求的二项式系数最大的项． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 17. 已知数列前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 如图，、、为圆锥的三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸阳市实验中学2024-2025学年第二学期第二次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解. 【详解】，所以， 故选：C 2. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, . 因为可化为或，解得：0<x<2或x<0, 所以不等式的解集为. 故选:C 3. 已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆的左焦点为， 所以双曲线的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 故选：D 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系求数列的前几项，归纳数列满足关系，由此确定结论. 【详解】因为，， 所以， ， ， ，…， 可得， 则． 故选：A. 5. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ） A. 715种 B. 572种 C. 312种 D. 286种 【答案】D 【解析】 【分析】本题以《九章算术》中的粟米为背景，考查排列组合的应用，考查化归与转化的数学思想和应用意识． 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 6. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的恒成立，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故. 故选：A. 7. 现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案. 【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组， 共有种分配方法； 若名志愿者以形式分为四个服务小组， 共有种分配方法. 故共有种分配方法. 故选：C 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，当时，恒成立， 即，构造函数，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则对任意的恒成立，， 令，其中，则. ，所以函数在上单调递减； 又，所以. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 设正方体的棱长为为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 设与所成的角为，则的最大值为 D. 当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点与点重合，即可判断A，构造面面平行，即可判断B，将异面直线转化为相交直线所成的角，即可判断C，根据等体积转化，确定点的位置，即可判断D. 【详解】如图（1），当点与重合时，与所成的角是.故错误. 如图（2），易证平面平面，平面，所以平面，故B正确. 如图（3），因为，所以与所成的角为. 因为平面，所以，所以， 当点与（或重合时最大，此时最大，易得.故C正确. 如图（3），因为，所以当点与重合时三棱锥体积最大， 此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设外接球半径为，则， 所以，所以该三棱锥外接球的表面积为.故D正确. 故选：BCD. 10. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ） A. 只有1人未参加服务的选择种数是30种 B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种 D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 【答案】AD 【解析】 【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案. 【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法， 再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法， 故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误； 恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法， 再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法， 故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确， 故选：AD 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将的展开式的通项表示出来，然后将看作一个整体，可将原式表示成 ，根据所求式子，利用赋值法即可； A中将代入即可；B中求的系数，在中需求出的系数，在中需求出的系数，进而求得的系数；C中由题干可知，分别令，，得到的两式作差即可求出所求式子的值；D中有题干知，只需令即可. 【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确； 又，从而的展开式中的系数为，故选项错误； 令，得， 令，得， 两式相减得，所以，故选项C正确； 令得，故选项D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字0､2､5､7四个数可以组成__________个无重复数字的三位数． 【答案】18 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即得. 【详解】依题意，由数字0､2､5､7组成无重复数字三位数， 百位有3种选择，十位有3种选择，个位还有2种选择， 由分步乘法计数原理，可得所求三位数有个. 故答案为：18. 13. 展开式中的项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解. 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案： 14. 设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先结合导数研究函数的单调性，结合单调性把原问题转化为在上有两解，构造函数，，结合已知条件转化为研究函数的值域，利用导数可求. 【详解】由题可得：，当时，，所以在上单调递增， 若存在，使得在上的值域为，则，即在上有两解， 令，，则， 当时，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减，且，，， 所以要使在上有两解，则， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式，且． （1）求的展开式中的第5项； （2）求的二项式系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项； （2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解. 【小问1详解】 由，得，即，解得或（舍去）． 的二项式通项为， 当时，，所以的展开式中第5项为． 【小问2详解】 因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大， ，所以的二项式系数最大的项是． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】（1）72 （2）36 【解析】 【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解； （2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解. 【小问1详解】 先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． 【小问2详解】 若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻站法共有种． 17. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用即可求数列的通项公式； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 由题得， ∴当时，，得， 当时，， 两式作差得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得. ∴ 18. 如图，、、为圆锥的三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得成立； （2）根据题意求出圆锥的半径长和母线长，可求出、的长，然后过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为二面角的平面角，求出、的长，结合余弦定理可求出二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接、， 因为，为的中点，所以， 因为、均是圆锥的母线，所以，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以． 因为，所以， 因为为底面直径，为底面圆周上一点，，则， 由勾股定理可得，所以． 因为，，，所以，所以，， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，，所以，则， 所以，即，所以即为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以，则， 中，. 因此，二面角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算. 【小问1详解】 ∵，则， 若时，则，， 即切点坐标为，切线斜率， ∴切线方程为，即. 【小问2详解】 ∵，即， 整理得， 故原题意等价于对任意实数，都有恒成立， 构建，则， 注意到，则， 构建，则在上单调递增，且， 故在内存在唯一的零点， 可得当，则；当，则； 即当，则；当，则； 故在上单调递减，上单调递增，则， 又∵为的零点，则，可得且， ∴， 即在上的最小值为0， 故实数的取值范围. 【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题 (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$