8.6.2 直线与平面垂直（第一课时）教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 (第一课时) 教案 一、教材分析 “直线与平面垂直 (第一课时) ”主要内容是直线与平面垂直的概念、判定定理以及直线与平面所成角的概念和计算。这部分知识是在学生学习了空间点、线、面的位置关系,特别是直线与直线的位置关系和平面与平面平行的相关知识之后进行的深入探究。直线与平面垂直是空间中一种重要的位置关系, 它不仅是后续学习平面与平面垂直的基础,也是研究空间几何体性质的关键内容。通过本节课的学习,学生能够进一步深化对空间几何的认识,体会从直观感知到逻辑推理的思维过程,培养空间想象能力和逻辑推理能力,在立体几何知识体系中起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 学生在之前已经学习了空间直线、平面的基本位置关系,对异面直线、平行关系等有了一定的理解,具备了一定的空间观念和观察能力。然而, 直线与平面垂直的概念较为抽象, 判定定理的发现和理解对学生的思维能力要求较高, 学生可能在从具体实例中抽象出概念、理解判定定理的条件以及在复杂图形中运用定理进行证明等方面存在困难。同时,求直线与平面所成角需要学生综合运用线面垂直的知识和平面几何的相关知识, 这对学生的知识整合能力和运算能力也提出了挑战。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过观察、实验、分析等方法,逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标(基于数学核心素养) 1. 数学抽象素养: 从生活实例和几何模型中抽象出直线与平面垂直的概念, 理解点到平面距离的概念,提升从具体到抽象的思维能力。 2. 逻辑推理素养:掌握直线与平面垂直的判定定理,能运用定理进行简单的逻辑推理, 证明直线与平面垂直的相关结论, 培养逻辑思维能力。 3. 直观想象素养:通过观察、实验等活动,直观感知直线与平面垂直的形象,能准确找出直线在平面上的射影,理解直线与平面所成角的概念,提升空间想象能力。 4. 数学运算素养:在求直线与平面所成角的过程中,涉及到解三角形等运算,通过练习提高学生的运算能力,确保计算的准确性和规范性。 四、教学重难点 1. 重点: 直线与平面垂直的概念、判定定理, 直线与平面所成角的概念及求法。 2. 难点: 直线与平面垂直判定定理的发现与理解, 在具体几何情境中准确找出直线与平面所成角并进行计算。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程 (40 分钟) (一) 情境导入 (5 分钟) 1. 展示日常生活中直线与平面垂直的图片, 如旗杆与地面、建筑物的柱子与地面等,引导学生观察这些实例,让学生直观感受直线与平面垂直的形象,提问学生:这些图片中直线与平面的位置关系有什么共同特点? 2. 以阳光下直立于地面的旗杆为例, 进一步引导学生思考: 随着时间变化, 旗杆 所在直线与其影子 所在直线是否保持垂直? 对于地面上不过点 的任意一条直线 ,旗杆 所在直线与 垂直吗? 通过这些问题,引发学生的兴趣,引出本节课对直线与平面垂直的学习。 (二) 新知讲解 (15 分钟) 1. 直线与平面垂直的概念 (4 分钟): 讲解直线与平面垂直的定义: 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直,就说直线 与平面 互相垂直,记作 。介绍直线 是平面 的垂线,平面 是直线 的垂面,它们唯一的公共点 是垂足。强调“任意一条直线”的含义,通过对比“任意”“所有”“无数条”直线,让学生理解其区别。展示直线与平面垂直的图形, 讲解画图时把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直, 帮助学生建立直观形象。 2. 点到平面的距离 ( 3 分钟 ) : 提问学生在同一平面内,过一点与已知直线垂直的直线的情况, 引导学生将这一结论推广到空间, 得出过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。讲解点到平面的距离的概念:过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段, 叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。通过在正方体模型中指出点到平面的垂线段和距离,帮助学生理解该概念。 3. 直线与平面垂直的判定定理 ( 5 分钟 ) : 拿出准备好的三角形纸片 ,过顶点 翻折纸片,得到折痕 ,将翻折后的纸片竖起放在桌面上( 、 与桌面接触)。提出问题: 折痕 与桌面垂直吗? 如何翻折才能使折痕 与桌面垂直? 为什么? 引导学生思考、讨论,得出 所在直线与桌面所在平面 垂直的充要条件是折痕 是边 上的高,此时直线 与平面 内的两条相交直线 、 都垂直。给出直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直。用符号语言表示为 。引导学生思考定理中“两条相交直线”能否改为“两条平行直线”或“无数条直线”,从向量角度解释原因,加深学生对定理条件的理解。 4. 直线与平面所成角的概念 ( 3 分钟 ) : 讲解直线与平面所成角的相关概念: 一条直线 与一个平面 相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点 向平面 引垂线 ,过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。结合正方体模型, 指出对角线 在不同平面上的射影,让学生直观理解射影的概念。说明一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ; 一条直线和平面平行,或者在平面内,它们所成的角是 ,直线与平面所成的角 的取值范围是 。 (三) 学以致用 (12 分钟) 1. 例 1 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 1: 求证: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。已知: 如图, ,求证: 。引导学生分析证明思路: 法 1: 根据线面垂直的判定定理,要证明 ,需证明直线 垂直平面 内的两条相交直线。在平面 内取两条相交直线 ,因为 ,所以 ,又因为 ,根据平行线的性质可得 ,从而得证。 法 2: 根据线面垂直的定义,要证明 ,需证明直线 垂直平面 内的任意一条直线。在平面 内任取一条直线 ,因为 ,所以 ,又 ,所以 , 从而得证。详细书写证明过程, 强调证明过程的逻辑性和规范性, 让学生理解两种证明方法的思路和依据。 2. 例 2 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 2 : 在正方体 中,求直线 和平面 所成的角。引导学生分析解题关键:找出直线 在平面 上的射影。 连接 与 相交于点 ,连接 。 证明 平面 : 因为 。 得出 ,又 ,所以 平面 ,进而 为斜线 在平面 上的射影, 为 与平面 所成的角。 在 中,设正方体棱长为 ,计算 ,根据三角函数求出 。总结求线面角的一般步骤:作(作出线面角)、证(证明所作的角是线面角)、指(指出线面角)、算(计算角的大小)。 (四)课堂练习(5 分钟) 布置练习题:课本 152 页第 2 题；课本 155 页第 3 题。让学生独立完成练习,教师巡视, 对学生的解题过程进行指导, 纠正错误。重点关注学生在运用线面垂直的判定定理和求线面角时出现的问题, 如证明过程不严谨、找射影不准确、计算错误等, 及时给予指导和反馈, 强化学生对本节课知识的理解和掌握。 (五)课堂小结(2 分钟) 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括直线与平面垂直的概念、点到平面的距离、 直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的概念及求法, 以及证明线面垂直的方法和求线面角的一般步骤。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系,明确本节课的核心内容和学习要点。 (六)布置作业(1 分钟) 1. 必做题: 完成课本 152 页第 2 题和 155 页第 3 题的书面作业, 巩固直线与平面垂直的概念、判定定理以及线面角的求法。 2. 选做题:思考在三棱锥中,如何判断一条侧棱与底面是否垂直；预习直线与平面垂直的性质,思考直线与平面垂直后会有哪些性质。 七、教学反思 在教学过程中,要充分利用生活实例和几何模型,帮助学生直观理解抽象的概念和定理。在讲解判定定理时, 通过实验操作引导学生发现定理, 培养学生的探究能力和逻辑思维能力。在练习环节,关注学生的解题情况,及时发现学生在理解和应用知识过程中存在的问题,针对问题进行个别辅导和集中讲解。根据学生的学习情况,灵活调整教学策略,如增加一些拓展性的练习或补充更多的实例,帮助学生更好地掌握本节课的知识, 提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$