精品解析：安徽省芜湖市南陵县春谷中学2024-2025学年下学期期中考试九年级数学试卷

九年级下期中考试（数学试卷） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 近日《哪吒之魔童闹海》登顶全球影史单一市场票房榜，并不断迈上新台阶，哪吒的大热以及冲击全球票房榜的过程体现了中国文化的传承与创新，彰显文化自信．根据预计2025年3月20日《哪吒之魔童闹海》票房达亿人民币，则亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，确定a与n的值是解题的关键．据此判断即可． 【详解】解：亿， ． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘法和加法的相关计算，根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、和合并同类项可进行排除选项． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，故原计算正确； C、，故原计算错误； D、，故原计算错误； 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进行判断即可．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选B． 5. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的底面周长=扇形的弧长，据此列等式求出r的值． 【详解】解： ，解得r=10c． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算． 6. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解，如图，设甲中三个开关为A、B、C，乙中两个开关为D、E， 画树状图如下， 一个有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮的结果有，，共有2种， ∴小灯泡发亮的概率为. 故选：B 7. 如图，菱形中，为对角线，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．连接交于点O，由菱形的性质可得出，，，设，根据题意则，，利用勾股定理可得出，代入求值即可得出答案． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， 设， 根据题意则，， 在中，， 在中，， ∴， 即 解得∶ (负值舍去)， ∴，即， 故选∶B． 8. 已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则，再求出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 二、填空题（每空4分，共20分） 11. 分解因式：_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13. 已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 14. 在边长为5正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接， （1）若时，_____ （2）的最小值为_____ 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出，分为当点E在的上方时，和当点E在的下方时，根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解．由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当点E在的上方时， 若，则， ∵， ∴， ∴； 当点E在的下方时， 若，则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． （2）∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至，使， ∵是中点，是中点， ∴为的中位线， ， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，过点作于， ∵为正方形，边长为 5， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质定理，勾股定理，最短线段问题，直角三角形的性质，圆周角定理，二次根式的性质等知识点，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 三、解答题（共90分） 15. 先化简再求值，其中是方程的实根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确进行分式化简是解题关键．首先进行括号内的运用，并将除法转化为乘法，再根据分式的性质进行化简，结合题意易知，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 是方程的实根， ， 原式． 16. 某公司销售A，两种设备，第一季度共卖出2400台．第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了120台．第一季度两种设备各卖了多少台？ 【答案】第一季度A种设备卖了2000台，种设备卖了400台 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； 设第一季度A种设备卖出了台，则种设备卖出了台，根据“第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了120台”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，． 【详解】解：设第一季度A种设备卖出了台，则种设备卖出了台，根据题意得 解得， （台）， 答：第一季度A种设备卖了2000台，种设备卖了400台． 17. 某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_____； （2）猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中的等式，可以写出第7个等式； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和乘法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立． 【小问1详解】 解：根据题意得，第7个等式为： 【小问2详解】 解：第个等式为：，理由如下， 证明：左边 右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】 19. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 20. 某学校在学生的课余时间安排一些课外社团活动，一共分为四种：唱歌，跳舞，相声，以及体育活动．开展了一段时间后，为了咨询学生对活动的满意度，学校决定从全校参与社团的800名学生中抽取部分学生进行调查，以其结果作为参考标准．现绘制了两幅统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：选择跳舞的人数为______，选择相声人数的百分率为______． （2）扇形统计图中“唱歌”的学生人数所对应的圆心角度数为______． （3）请你估计全校参加社团的学生中对相声、唱歌满意的总人数． （4）老师在唱歌的同学中选出了6名唱歌较为优秀者参加学校组织的才艺比赛，其中男生2人，女生4人．比赛需要进行抽签两两上场来配合比赛．请你通过列表或者画树状图的方法求第一次抽签时抽到一男一女的概率． 【答案】（1）14，24% （2） （3）320人 （4） 【解析】 【分析】（1）由跳舞和体育的人数和所占比例可求出抽取的人数，再求解即可； （2）根据“唱歌”的学生人数的占比乘以，即可求解； （3）用样本估计总体即可得解； （4）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 （人） （人） 故答案为：14； 【小问2详解】 扇形统计图中“唱歌”的学生人数所对应的圆心角度数为， 故答案为：． 【小问3详解】 （人） 所以，估计全校参加社团的学生中对相声、唱歌满意的总人数为320人 【小问4详解】 列表如下， 男1 男2 女1 女2 女3 女4 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男1女3 男1女4 男2 男2男1 男2女1 男2女2 男2女3 男2女4 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女1女3 女1女4 女2 女2男1 女2男2 女2女1 女2女3 女2女4 女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2 女3女4 女4 女4男1 女4男2 女4女1 女4女2 女4女3 总共有种等可能情况，满足一男一女的有种情况，； 恰好有1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接， （1）求证： （2）最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 【答案】（1） 证明：在矩形中， 设运动时间为，则，， ， 又， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据点E、F的运动速度可得，即可证； （2）由（1）可得，推出点落在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，此时可求出；作，利用相似三角形，可求出； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，即， 故点落在以为直径的圆弧上，如图， 令中点为，运动时间为， 当点、、共线时，取最小值， ， ， ， 作， 则， ∴，， ，即， 解得：秒． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，涉及知识点较多，较为复杂；其中第（2）问判断出B、P、G共线时，取最小值． 22. 抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． （1）求抛物线的解析式： （2）求面积的最大值； （3）点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求先求出，，过P作轴于F，则点F坐标为，再根据表示出，最后利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当点Q在的下方时，和当点Q在的上方时，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，证明，得到．进而得到方程或，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点、代入解析式得，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 在中，当时，，则， 由题意得，点P的坐标为， 过P作轴于F，则点F坐标为． ∴ ， ∵， 当时，面积的最大值为． 【小问3详解】 解：由题意可知，点Q的横坐标为1， 当点Q在的下方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，解得 ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 当点Q在的上方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， 同理可得：， ∴． ∵，， ∴，解得， ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 综上所述：或 23. 已知在正方形中，，点分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，连接交于点，若，求证：； （2）如图2，连接，，若，求的长； （3）如图3，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ，即； （2） （3） 解：如图，连接交于点， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）根据正方形的性质证明即可解题； （2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得到，设，，可得，列方程，进而求出的长； （3）连接交于点，推导，即可得到，即，根据和等量代换即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是正方形，， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 如图， ， ， ， 同理可得， ， 设，， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下期中考试（数学试卷） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 近日《哪吒之魔童闹海》登顶全球影史单一市场票房榜，并不断迈上新台阶，哪吒的大热以及冲击全球票房榜的过程体现了中国文化的传承与创新，彰显文化自信．根据预计2025年3月20日《哪吒之魔童闹海》票房达亿人民币，则亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 6. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，为对角线，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，若，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每空4分，共20分） 11. 分解因式：_____ 12. 已知，则___________． 13. 已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 14. 在边长为5正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接， （1）若时，_____ （2）的最小值为_____ 三、解答题（共90分） 15. 先化简再求值，其中是方程的实根． 16. 某公司销售A，两种设备，第一季度共卖出2400台．第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了120台．第一季度两种设备各卖了多少台？ 17. 某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_____； （2）猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 19. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 20. 某学校在学生的课余时间安排一些课外社团活动，一共分为四种：唱歌，跳舞，相声，以及体育活动．开展了一段时间后，为了咨询学生对活动的满意度，学校决定从全校参与社团的800名学生中抽取部分学生进行调查，以其结果作为参考标准．现绘制了两幅统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：选择跳舞的人数为______，选择相声人数的百分率为______． （2）扇形统计图中“唱歌”的学生人数所对应的圆心角度数为______． （3）请你估计全校参加社团的学生中对相声、唱歌满意的总人数． （4）老师在唱歌的同学中选出了6名唱歌较为优秀者参加学校组织的才艺比赛，其中男生2人，女生4人．比赛需要进行抽签两两上场来配合比赛．请你通过列表或者画树状图的方法求第一次抽签时抽到一男一女的概率． 21. 如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接， （1）求证： （2）最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 22. 抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． （1）求抛物线的解析式： （2）求面积的最大值； （3）点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 23. 已知在正方形中，，点分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，连接交于点，若，求证：； （2）如图2，连接，，若，求的长； （3）如图3，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $