精品解析：2025年四川省南充市中考模拟预测数学试题

2025届初中学业水平模拟测试 数学试题 注意： 1．数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 5．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，分析即可． 【详解】A.选项中，“爱”字不是轴对称图形，不符合题意； B.选项中，“我”字不是轴对称图形，不符合题意； C.选项中，“中”字是轴对称图形，符合题意； D.选项中，“华”字不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 3. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图形，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：在此正方体上与“传”字相对的面上的汉字是“文”． 故选：C． 4. 为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩（满分20分）绘制成下表：关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） 成绩/分 15 16 17 18 19 20 人数/人 6 8 5 4 A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的定义，掌握平均数、中位数、众数、方差对数据的影响是解题的关键． 由题目已知可得，据此可以判断一定不随x，y的变化而变化的是众数，中位数． 【详解】解：由题目已知，随机抽取的是30名学生的跳远成绩，根据图表可知：， ∴， ∴一定不随x，y的变化而变化的是众数，中位数， 故选：A． 5. 小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，由作图可知，即得四边形是菱形，再根据菱形的性质解答即可，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别列出等式即可获得答案． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意， 可列方程组为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意正确列出等式是解题关键． 7. 如图，在正五边形中，经过，两点的分别与，相切于点，，连接，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 根据切线性质求出，再求出五边形内角，根据四边形内角和，即可求出，再根据圆周角定理求出即可解答． 【详解】解：如图，连接、， 、与相切， ， 五边形是正五边形， ， ∴， ， 故选：B． 8. 如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则． 利用数轴上点分别表示数，，，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 9. 下表是小林填写的实践活动报告的部分内容：根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，） 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据三角函数的概念，在中，求得的值，根据题意得到的值，在中，求得的值，从而得出的值． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， 故选：B． 10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与几何综合，由函数图象可判断①②；根据点的坐标平移规律可判断③；可证明点在直线上，利用函数图象找到点直线上与原函数图象的交点个数即可判断④． 【详解】解：①由图象可知，当时，有最大值，故①正确； ②当时，或，故②不正确； ③将函数的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；将函数的图象向左平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；∴③正确； ④令，， ∴， ∴点在直线上． 函数的图象如图所示： 由图象可以看出，它们有三个交点， ∴符合要求的点共有3个，故④正确． 综上，有①③④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，有理数的乘方运算，根据零指数幂，有理数的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：0． 12. 据网络平台数据显示，截至2025年3月17日，电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房已突破亿．这部电影自2025年春节档上映以来，表现一直非常出色，持续刷新多项纪录，成为首部跻身全球票房前五的亚洲电影．数据“亿”用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示方法，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点 向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为：． 13. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果数为2， ∴能让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 14. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题综合运用了折叠的性质、直角三角形的性质，根据折叠可得，，熟练运用折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 15. 定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数． 【详解】解：， 将不等式组化简得， 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个， 故答案为：． 16. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，其内部形成一个较小的正方形．设直线交大正方形的两边于点，，若，．下列四个结论：①；②；③点，是线段的三等分点；④．其中正确的结论是________．（只填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理求线段长度，熟练掌握锐角三角函数及相似三角形的判定与性质是解题的关键，①在中，利用锐角三角函数即可得到答案；②结合①可得到的值，从而得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到的长；③过作交延长线于点，由于为等腰直角三角形，进而可求得，根据，可证得，则，进而求得，即点，不是线段的三等分点；④由③可知：，即可得到答案． 【详解】解：①由题意可知：， ∵， ∴在中，， ∴①正确； ②∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴②正确； ③如图，过作交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，不是线段的三等分点， ∴③不正确； ④由③可知：， ∴④正确． 综上，正确有是①②④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算： （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， 于点，于点， ， 在与中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）结合菱形性质用“角角边”证明，由全等三角形性质得后即可得证； （2）结合菱形性质、勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的性质． 19. 为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己最喜欢的一类．根据调查结果，绘制了如下的统计图（未完成），请解答下列问题： （1）填空：此次共调查了________名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为________度；学校采用的调查方式是________（选填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）将条形统计图补充完整； （3）通过调查发现，文史类书籍最受欢迎．基于此，学校计划从热爱文史类书籍的4名优秀学生（两男两女）中随机抽取2名学生，担任阅读推广队宣讲员，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 【答案】（1）200，126，抽样调查 （2） 解：补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及画树状图计算概率，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）根据文史类的人数除以占的百分比求出调查的学生总数，进而求出小说类的百分比，乘以360即可求出占的圆心角，判断调查的方式即可； （2）求出生活类与小说类的人数，补全条形统计图即可； （3）列树状图，利用概率公式即可解答． 【小问1详解】 解：此次调查的学生总人数为（名）， 选择“生活类”的学生人数为（名）， 选择“小说类”的学生人数为（名）， 图2中“小说类”所在扇形的圆心角为， 学校采用的调查方式是抽样调查， 故答案分别为：200，126，抽样调查； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：记两名男生为男1，男2，两名女生为女1，女2，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中抽到至少有1名是女生有10种可能的情况， 所以所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）的值为0或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为0或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求解析式，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合一次函数与反比例函数的图象交于点，，先求出，故，然后把代入进行求解，即可作答． （2）先理解题意，则作点关于轴的对称点，结合，易得，再求出直线的解析式为，然后把代入进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数解析式得：， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点， 连接交轴于，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，则， ∴， ∴点的坐标为． 22. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）的半径为，阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解； （2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，， 由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即的半径为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，由特殊三角函数值求角度，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元 （2）当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元 【解析】 【分析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元，根据用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； 【小问2详解】 解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 24. 在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点． （1）如图1，与线段始终相等的线段是________； （2）如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1）与线段始终相等的线段是 （2） 解：的大小是定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，，，四点共圆，圆心为的中点， ∴， 即：的值为，是定值； （3） 【解析】 【分析】此题考查了，解题的关键是． （1）由正方形的性质得到，，然后证明出，即可得到； （2）根据题意证明出点，，，四点共圆，得到，进而求解即可； （3）设，则，勾股定理得出，表示出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 与线段始终相等的线段是，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 即：的值为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； 【小问3详解】 解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初中学业水平模拟测试 数学试题 注意： 1．数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 5．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 4. 为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩（满分20分）绘制成下表：关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） 成绩/分 15 16 17 18 19 20 人数/人 6 8 5 4 A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 5. 小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正五边形中，经过，两点的分别与，相切于点，，连接，，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下表是小林填写的实践活动报告的部分内容：根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，） 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，， A. B. C. D. 10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 据网络平台数据显示，截至2025年3月17日，电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房已突破亿．这部电影自2025年春节档上映以来，表现一直非常出色，持续刷新多项纪录，成为首部跻身全球票房前五的亚洲电影．数据“亿”用科学记数法可表示为________． 13. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________． 14. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则________． 15. 定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 16. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，其内部形成一个较小的正方形．设直线交大正方形的两边于点，，若，．下列四个结论：①；②；③点，是线段的三等分点；④．其中正确的结论是________．（只填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 19. 为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己最喜欢的一类．根据调查结果，绘制了如下的统计图（未完成），请解答下列问题： （1）填空：此次共调查了________名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为________度；学校采用的调查方式是________（选填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）将条形统计图补充完整； （3）通过调查发现，文史类书籍最受欢迎．基于此，学校计划从热爱文史类书籍的4名优秀学生（两男两女）中随机抽取2名学生，担任阅读推广队宣讲员，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标． 22. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和阴影部分的面积． 23. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 24. 在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点． （1）如图1，与线段始终相等的线段是________； （2）如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $