第13讲 反比例函数的图像与性质（7个知识清单+16类热点题型讲练+分层练习）- 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第13讲 反比例函数的图像与性质 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01判断（画）反比例函数图象.............................................................................................................................................4 题型02已知反比例函数的图象，判断其解析式..........................................................................................................................6 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标.........................................................................................................................9 题型04已知双曲线分布的象限，求参数范围.............................................................................................................................13 题型05判断反比例函数的增减性...............................................................................................................................................15 题型06判断反比例函数图象所在象限.......................................................................................................................................18 题型07已知反比例函数的增减性求参数....................................................................................................................................20 题型08比较反比例函数值或自变量的大小................................................................................................................................22 题型09已知比例系数求特殊图形的面积...................................................................................................................................25 题型10求反比例函数解析式........................................................................................................................................................30 题型11反比例函数与几何综合....................................................................................................................................................33 题型12根据图形面积求比例系数（解析式）...............................................................................................................................39 题型13一次函数与反比例函数图象综合判断...........................................................................................................................42 题型14一次函数与反比例函数的交点问题...............................................................................................................................46 题型15一次函数与反比例函数的实际应用...............................................................................................................................52 题型16一次函数与反比例函数的其他综合应用........................................................................................................................56 分层练习.........................................................................................................................................................................................62 夯实基础.........................................................................................................................................................................................62 能力提升.........................................................................................................................................................................................83 知识点1．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点2．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点3．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点4．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点6．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点7．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型01判断（画）反比例函数图象 1．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）下列函数图像中，属于反比例函数图像的是（    ） A．   B． C．   D．   2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 3．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）在下图中，画出反比例函数的图象．    题型02已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（　　） A． B． C． D． 5．（八年级下·江苏苏州·期末）若点，在同一个反比例函数的图像上，则的值为 ． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．（八年级下·江苏苏州·期末）下列各点中，与点(－3,4)在同一个反比例函数图像上的点是 A．(2,－3) B．(3,4) C．(2,-6) D．(－3,－4) 8．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 题型04已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．（八年级下·江苏泰州·期末）若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024八年级下·江苏·专题练习）若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为 ． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 题型05判断反比例函数的增减性 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）若，则下列函数：①；②；③；④中，y随x增大而增大的函数是 （填序号） ． 15．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点，一次函数的图象与轴的交点为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据反比例函数的图象，当时，直接写出的取值范围：______ ． 题型06判断反比例函数图象所在象限 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数的图象经过两点，当时，，请写出一个符合条件的的值 ．（只需写出一个即可） 18．（八年级下·江苏·期中）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下平移一个长度单位得到，也可以由正比例函数的图像向左平移一个长度单位得到． （1）函数的图像与反比例函数有什么关系？ （2）请根据图像，直接写出的的取值范围； （3）已知点在反比例函数的图像上，且．试比较与的大小关系． 题型07已知反比例函数的增减性求参数 19．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是 ． 21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 题型08比较反比例函数值或自变量的大小 22．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）已知点、都在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 24．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 题型09已知比例系数求特殊图形的面积 25．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 26．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线交轴于点，与双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），是线段上的点（不与、重合）过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为，的面积为，的面积为，则、、的大小关系为 ． 27．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 题型10求反比例函数解析式 28．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图像经过点，则以下坐标所表示的点不在该反比例函数图像上的是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 30．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且，求反比例函数和一次函数的表达式． 题型11反比例函数与几何综合 31．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ． 33．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数y（k≠0）的图象相交于，B两点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图像写出不等式的解集； (4)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 题型12根据图形面积求比例系数（解析式） 34．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 35．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 36．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 题型13一次函数与反比例函数图象综合判断 37．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．  B．  C．   D．   38．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    39．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 题型14一次函数与反比例函数的交点问题 40．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 41．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，函数的图象与正比例函数的图象交于点，将函数的图象向下平移2个单位，得到直线L．垂直于y轴的直线与函数的图象分别交于点，，且与直线L交于点，若，则的取值范围是 ． 42．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A、B两点，与x轴交于点C，已知点A，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式，并在图中画出一次函数的图象； (2)D为y轴上一点，若△ABD的面积为6，求点D的坐标； (3)根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集． 题型15一次函数与反比例函数的实际应用 43．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 44．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 题型16一次函数与反比例函数的其他综合应用 45．（22-23八年级下·江苏南京·期末）我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 46．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是 ． 47．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 夯实基础 一、单选题 1．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（　　） A．0＜m＜3 B．m＜3 C．m≤3 D．m＞3 2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（）. A．函数图象分别位于第一、三象限 B．函数图象经过点（-3，-2） C．随的增大而减小 D．函数图象关于原点成中心对称 3．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点A作AC⊥x轴垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（   ） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 5．正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 6．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（  ） A．B． C．D． 7．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　） A．y B．y C．y D．y 8．如图，点P是y轴正半轴上的一动点，过点P作轴，分别交反比例函数与的图象于点A，B，连接OA，OB，则以下结论：①；②；③的面积为定值；④是等腰三角形，其中一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为 . 10．若反比例函数的图象上有两点，，则 （填“”或“”或“”）． 11．如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积为 ．    12．双曲线y1，y2在第一象限的图象如图，y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴与C，若△AOB的面积为1，则y2的解析式是 . 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2．写出一个函数，使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为 ． 14．（2013年四川自贡4分）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1= ，Sn= ．（用含n的代数式表示） 三、解答题 15．已知关于x的反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 16．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 17．已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 18．在同一坐标系中，某反比例函数的图像与其正比例函数的图像相交于、两点，点在第二象限，且点的横坐标为－1，作轴，垂足为，已知的面积为2. （1）写出该反比例函数的关系式； （2）求出点的坐标； （3）若点的坐标为，求的面积. 19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，若菱形的周长为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于菱形的面积，求点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOC的面积． 能力提升 一、单选题 21．已知点在反比例函数的图象上，其中（m为实数），则这个函数的图象在第（ ）象限． A．一 B．二 C．一、三 D．二、四 22．如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 23．设有反比例函数，、为其图像上的两点，若时，，则的取值范围是 . 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图像经过点，则的值为 ． 三、解答题 25．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，请你分别求出一次函数和反比例函数的表达式. 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 反比例函数的图像与性质 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01判断（画）反比例函数图象.............................................................................................................................................4 题型02已知反比例函数的图象，判断其解析式..........................................................................................................................6 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标.........................................................................................................................9 题型04已知双曲线分布的象限，求参数范围.............................................................................................................................13 题型05判断反比例函数的增减性...............................................................................................................................................15 题型06判断反比例函数图象所在象限.......................................................................................................................................18 题型07已知反比例函数的增减性求参数....................................................................................................................................20 题型08比较反比例函数值或自变量的大小................................................................................................................................22 题型09已知比例系数求特殊图形的面积...................................................................................................................................25 题型10求反比例函数解析式........................................................................................................................................................30 题型11反比例函数与几何综合....................................................................................................................................................33 题型12根据图形面积求比例系数（解析式）...............................................................................................................................39 题型13一次函数与反比例函数图象综合判断...........................................................................................................................42 题型14一次函数与反比例函数的交点问题...............................................................................................................................46 题型15一次函数与反比例函数的实际应用...............................................................................................................................52 题型16一次函数与反比例函数的其他综合应用........................................................................................................................56 分层练习.........................................................................................................................................................................................62 夯实基础.........................................................................................................................................................................................62 能力提升.........................................................................................................................................................................................83 知识点1．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点2．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点3．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点4．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点6．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点7．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型01判断（画）反比例函数图象 1．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）下列函数图像中，属于反比例函数图像的是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】D 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据反比例函数的图象进行判断． 【详解】解：根据反比例函数的图象是双曲线可知D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）在下图中，画出反比例函数的图象．    【答案】见解析 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据列表描点连线画函数图象即可． 【详解】解：列表如下： ... ... ... 1 2 4 ... 反比例函数的图象如下．    【点睛】本题考查了画反比例函数图象，掌握描点法画函数图象的方法是解本题的关键． 题型02已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，代入求出的值，根据纵横坐标的积等于，逐项判定即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ， A、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意； B、，∴点在反比例函数图象上，故此选项符合题意； C、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意； D、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的点坐标的特征为：纵横坐标的积为常数． 5．（八年级下·江苏苏州·期末）若点，在同一个反比例函数的图像上，则的值为 ． 【答案】－6 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据反比例函数中，k=xy为定值即可得出结论． 【详解】解：∵点A（-4，3）、B（a，2）在同一个反比例函数的图象上， ∴（-4）×3=2a， 解得a=-6． 故答案为-6． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限； (2) 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解； （2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标，再由一次函数可求得点，则，解此方程求出n即可． 【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．（八年级下·江苏苏州·期末）下列各点中，与点(－3,4)在同一个反比例函数图像上的点是 A．(2,－3) B．(3,4) C．(2,-6) D．(－3,－4) 【答案】C 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】先根据反比例函数中的特点求出k的值，再对各选项进行逐一检验即可． 【详解】∵反比例函数过点(−3,4)， ∴k=(−3)×4=−12， A. ∵2×3=6≠−12，∴此点不与点(−3,4)在同一个反比例函数图象上，故本选项错误； B. ∵3×4=12≠−12，∴此点不与点(−3,4)在同一个反比例函数图象上，故本选项错误； C. ∵2×-6=−12，∴此点与点(−3,4)在同一个反比例函数图象上，故本选项正确； D. ∵(−3)×(−4)=12≠−12，∴此点不与点(−3,4)在同一个反比例函数图象上，故本选项错误． 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于求出k的值 8．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先把代入，得，从而得，再把代入，求出k值即可； （2）由反比例函数的对称性可知，根据图像即可求得不等式的解集； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点的坐标和，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数的对称性可知， 不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，轴于D， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得，解得， 直线的解析式为， 令得， 设交x轴于F，过点A作轴于E，如图， ， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形，勾股定理，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．数形结合是解题的关键． 题型04已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．（八年级下·江苏泰州·期末）若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象经过的象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二，四象限， ∴， ∴； 故选：． 11．（2024八年级下·江苏·专题练习）若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得的值是解题的关键．由题意得即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， ， 解得：或， ， ， ． 故答案为：4． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： （2）把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型05判断反比例函数的增减性 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 14．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）若，则下列函数：①；②；③；④中，y随x增大而增大的函数是 （填序号） ． 【答案】①②④ 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，对于反比例函数反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；对于一次函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，加粗求解即可． 【详解】解：①当时，的函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，故①符合题意； ②当时，，则中，y随x增大而增大，故②符合题意； ③当时，则中，y随x增大而减小，故③不符合题意； ④当时，，的函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，故④符合题意； 故答案为：①②④． 15．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点，一次函数的图象与轴的交点为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据反比例函数的图象，当时，直接写出的取值范围：______ ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】由一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数解析式； 根据一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可； 求得时的反比例函数的函数值，然后观察图象即可求得． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积、反比例函数的性质，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ，解得， ， 反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， ， 反比例函数解析式为； （2）令，则， 解得， ， ， 的面积； （3）当时，， 观察图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型06判断反比例函数图象所在象限 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数 的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在象限． 【详解】解： ， 反比例函数 的图象位于第一、三象限． 故选：A． 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数的图象经过两点，当时，，请写出一个符合条件的的值 ．（只需写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到图象经过二， 四象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：反比例函数的图象过二，四象限， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2（答案不唯一） 18．（八年级下·江苏·期中）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下平移一个长度单位得到，也可以由正比例函数的图像向左平移一个长度单位得到． （1）函数的图像与反比例函数有什么关系？ （2）请根据图像，直接写出的的取值范围； （3）已知点在反比例函数的图像上，且．试比较与的大小关系． 【答案】（1）向左平移1个单位后，得到了；（2）；（3）或时；时 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】（1）根据函数图象平移的规律可得答案． （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数的增减习惯，即可得出结论． 【详解】解：（1）向左平移1个单位后，得到了 （2）如图, 由图得 （3）∵反比例函数的图象的每一条曲线都是单调递减， ①或时 ②时 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-平移，熟练掌握图象平移的规律是解题的关键． 题型07已知反比例函数的增减性求参数 19．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 先判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的符号，进而可得出结论． 【详解】解：、两点在双曲线上，且， ∴双曲线分居在第一、第三象限， ，解得． 故选：C． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小， ∴， 解得：； （2）将代入中，得：， ∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：． 将代入得：， 解得：． 题型08比较反比例函数值或自变量的大小 22．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）已知点、都在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先把各点代入反比例函数的解析式，求出a、b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点、都在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质可得反比例函数，图象在第一、三象限，然后根据每个象限上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：反比例函数， 图象在第一、三象限，随的增大而减小， 点、都在反比例函数的图象上， 点与点都在第三象限， ， ． 故答案为：． 24．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，当时，图象经过二、四象限，并在每个象限内y随x的增大而增大． （1）将点代入，求出，将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴点坐标为， 将点代入， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，反比例函数图象在第三象限， ∴时，最大，当时， 最小， ∴当时，的取值范围是． 题型09已知比例系数求特殊图形的面积 25．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 26．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线交轴于点，与双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），是线段上的点（不与、重合）过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为，的面积为，的面积为，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及的几何性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．设、分别交双曲线于、，连，，根据反比例函数的性质得到，而，，即，，即可得到正确答案． 【详解】解：如图，设、分别交双曲线于、，连，， ， 而，，即，， ∴． 故答案为：． 27．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 题型10求反比例函数解析式 28．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图像经过点，则以下坐标所表示的点不在该反比例函数图像上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，根据反比例函数图像上的点的横纵坐标的乘积为，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：； ∵， 故点，，均在反比例函数的图像上，不在反比例函数的图像上， 故选D． 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】5 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键． 将点代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：5 30．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且，求反比例函数和一次函数的表达式． 【答案】反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，即可求出反比例函数的解析式；再求出点P关于直线的对称点为的坐标，进而求出一次函数的解析式． 【详解】解：将、代入反比例函数中，得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为；，， 过点P作于点E，并延长交于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的横坐标为， ∴,， 将点，代入直线的解析式得， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 题型11反比例函数与几何综合 31．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，由四边形是正方形，得，轴，设，则，，，再根据中点坐标可得，最后代入解析式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，轴， 设，则，，， ∵是中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，， 故选：． 32．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合问题， 先作，设点，结合的面积可表示，进而得出点的坐标，再根据两个点都在反比例函数的图象上得出等式，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点D，如图所示， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴设点． ∵的面积为9， ∴， 即， ∴点，． ∵点C是的中点， ∴点C的横坐标为， ∴． ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 33．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数y（k≠0）的图象相交于，B两点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图像写出不等式的解集； (4)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解， （4）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， 解得， ∴， 把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题意得方程组， 解得，， ∴， 设一次函数交y轴于点C， 令中，则， ∴， ∴， ∴ ； （3）从图像看，不等式的解集就是一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围． ∴解集为或． （4）解：如图，由题意得，， 过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E， 则， ∴，， 当点在点A的左侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 当点在点A的右侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 综上所述：点M的坐标为或． 题型12根据图形面积求比例系数（解析式） 34．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键设出点的坐标．设，则，用表示出，的坐标，利用面积求出即可解答． 【详解】解：设，， 则， ， ，， ， ， 解得， ． 故选：C． 35．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 36．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 题型13一次函数与反比例函数图象综合判断 37．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示：   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示：   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示：     反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 38．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 39．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 题型14一次函数与反比例函数的交点问题 40．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 41．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，函数的图象与正比例函数的图象交于点，将函数的图象向下平移2个单位，得到直线L．垂直于y轴的直线与函数的图象分别交于点，，且与直线L交于点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数图象的平移问题，先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入正比例函数中求出解析式，进而根据一次函数图象的平移规律求出直线L的解析式，根据垂直于y轴的直线与函数的图象分别交于点，，且与直线L交于点，可得，则可推出，再根据函数图象求解的取值范围即可得到答案． 【详解】解：把代入中得，解得， ∴， 把代入中得：，解得 ∴， ∵将函数的图象向下平移2个单位，得到直线L， ∴直线L解析式为， ∵垂直于y轴的直线与函数的图象分别交于点，，且与直线L交于点， ∴， ∴， ∴ ∵， 由函数图象可知当时，才能满足， ∴ ， 故答案为：． 42．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A、B两点，与x轴交于点C，已知点A，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式，并在图中画出一次函数的图象； (2)D为y轴上一点，若△ABD的面积为6，求点D的坐标； (3)根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集． 【答案】(1)，，图见解析 (2)或 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、画一次函数图象 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解． （1）由点坐标，通过待定系数法可得反比例函数解析式，从而可得点坐标，进而求解． （2）设直线与轴交点为，由直线解析式可得点坐标，根据求的长即可得到答案． （3）根据各象限内直线与双曲线的交点坐标求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 反比例函数解析式为， 将代入得， 点坐标为， 将，代入得 ，解得， ， 图象如下： （2）解：设直线与轴交点为， 将代入得， 直线与轴交点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴ 点坐标为或． （3）解：由图象可得或时，． 题型15一次函数与反比例函数的实际应用 43．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 44．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 【答案】(1)，； (2)不在，理由见解析；． 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值； （2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上； 设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解． 【详解】（1）当时，． ∴． 当时，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴点的坐标为． ∴． ∴． （2）不在，理由如下： ∵点在上，当时，， ∴点的坐标为． ∵反比例函数为，当时，， ∴点不在反比例函数的图像上， 延长交轴于点，如图，      由得：，， 设所在的直线为, 将、代入得: ，解得：， ∴设所在的直线为， 令，则，解得：， ∴点， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解． 题型16一次函数与反比例函数的其他综合应用 45．（22-23八年级下·江苏南京·期末）我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，，图象在第三象限； 当时，，图象在第二象限； 当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第一象限． ∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误； ②∵为分母， ∴， ∴函数图象与轴无交点，②正确； ③当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误； ④设点（）为函数图象上任意一点， 则，， ∴点在函数的图象上， ∴图象关于原点成中心对称，④正确； ⑤当时，设， 则 即：当， ∴当时，随的增大而增大，⑤正确． 综上所述：正确的结论有②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 46．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】不等式的性质、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】先把不等式化为当时，不等式变为；当时，不等式变为．再画函数与的图像，再利用函数图像解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，不等式一定不成立； 当时，不等式变为； 当时，不等式变为． 画函数与的图像如下：    ∴当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 综上： 解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，画函数图像，利用函数图像解不等式，熟练的运用数形结合的思想解题是关键． 47．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①8；②；③ 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题的关键． （1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解； （2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两个点为点、，则即可求解；③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图，在y轴上，，，，为顶点的正方形，据图得出结论：． 【详解】（1）如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 在、、、四个点中，只有点不在正方形的边上， 故选：C． （2）①如下图当反比例函数过点时，符合题设条件， 则， 故答案为：8； ②如图，设符合条件的两个点为点、， 则， 解得：，（不合题意舍去）； ③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图， 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即． 夯实基础 一、单选题 1．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（　　） A．0＜m＜3 B．m＜3 C．m≤3 D．m＞3 【答案】B 【分析】由反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，可得3−m＞0，即可求常数m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限， ∴3−m＞0 ∴m＜3 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键． 2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（）. A．函数图象分别位于第一、三象限 B．函数图象经过点（-3，-2） C．随的增大而减小 D．函数图象关于原点成中心对称 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图像与性质即可判断. 【详解】A. 函数图像分别位于第一、三象限    正确； B. 函数图像经过点（-3，-2），（-3）×（-2）=6，正确； C. 在各象限内，随的增大而减小，故错误；     D. 函数图像关于原点成中心对称，正确. 故选C. 【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质. 3．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点A作AC⊥x轴垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】依据点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝1，可得OC＝，再根据CD垂直平分AO，可得OB＝AB，再根据△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OC+AC进行计算即可． 【详解】解：∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AC⊥x轴， ∴AC×OC＝， ∵AC＝1， ∴OC＝， ∵OA的垂直平分线交x轴于点B， ∴OB＝AB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝+1， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握． 4．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（   ） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数一次函数的交点关于原点对称是解题关键．根据一次函数过原点，的长度最小可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，当m的值由4逐渐减小到时，线段的长度先变小，再变大，当一次函数过原点时，的长度最小， 线段的长度有最小值． 故选：D． 5．正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解． 【详解】解：解方程组，得：或， 即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，， ∵，， ∴，， ∴， 即：四边形的面积是2． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解． 6．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（  ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 7．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】C 【分析】连接OP，根据平行线的判定定理得到AP∥OB，求得S△APO=S△ABP=2，设双曲线的解析式为，于是得到结论． 【详解】解：连接OP， ∵PA⊥y轴于点A，OB⊥y轴， ∴AP∥OB， ∴S△APO=S△ABP=2， 设双曲线的解析式为， ∴， ∴双曲线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． 8．如图，点P是y轴正半轴上的一动点，过点P作轴，分别交反比例函数与的图象于点A，B，连接OA，OB，则以下结论：①；②；③的面积为定值；④是等腰三角形，其中一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设P的坐标为，过点A、B作轴于点C、轴于点D，分别求出C、D的坐标，根据OA、OB、AB的长度即可判断． 【详解】解：设P的坐标为， 过点A、B作轴于点C、轴于点D， 令y=m分别代入，， ∴，， ∴，，， ∴，故①正确； ，， ∴，但，故②错误； 的面积为：，故③正确； 由勾股定理可知：，， ∵， ∴OA、OB、OA三边不一定相等，故④错误； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，勾股定理等知识． 二、填空题 9．写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为 . 【答案】y=(答案不唯一) 【详解】根据反比例函数的性质，只需要当k＞0即可，答案不唯一. 故答案为y=(答案不唯一). 10．若反比例函数的图象上有两点，，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像和性质，根据可得出反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大． ∵ ∴， 故答案为：． 11．如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积为 ．    【答案】 【分析】设，根据题意得，由点在双曲线上，得，即，、两点纵坐标相等，且点在双曲线上，则，，再根据求解． 【详解】解：如图，设点的坐标为，则点的坐标为． 点在双曲线上， ，解得， 又点在双曲线上，且纵坐标为，所以点的坐标为，，则 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法．注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数． 12．双曲线y1，y2在第一象限的图象如图，y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴与C，若△AOB的面积为1，则y2的解析式是 . 【答案】y2= 【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为1.5，进而得出△CBO面积为2.5，即可得出y2的解析式． 【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C， ∴S△AOC=×3=1.5， ∵S△AOB=1， ∴△CBO面积为2.5， ∴k=xy=5， ∴y2的解析式是：y2=． 故答案为y2=． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出△CAO的面积为1.5，进而得出△CBO面积为2.5是解决问题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2．写出一个函数，使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为 ． 【答案】，（0＜k≤4）(答案不唯一） 【详解】试题分析：由图象可知过B点时图象与正方形只有一个公共点，此时k值最大 ∵正方形OABC的边长为2， ∴B点坐标为（2，2）， 当函数（k≠0）过B点时，k=2×2=4， ∴满足条件的一个反比例函数解析式为． 故答案为，（0＜k≤4）（答案不唯一） 考点：1、反比例函数；2、正方形 14．（2013年四川自贡4分）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1= ，Sn= ．（用含n的代数式表示） 【答案】 4 【详解】当x=2时，P1的纵坐标为4， 当x=4时，P2的纵坐标为2 当x=6时，P3的纵坐标为， 当x=8时，P4的纵坐标为1， 当x=10时，P5的纵坐标为：， … ∴； ； ； … ． 三、解答题 15．已知关于x的反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入反比例函数中，求出m的值，即可得出这个函数的解析式； （2）分别求出当时，当时y的值，从而得出y的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：当时，， 当时，， ∵ ∴反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大， ∴当时， y的取值范围为． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式． 16．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得； （2）根据反比例函数的增减性即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点代入得：， 解得； （2）由（1）得：反比例函数的解析式为， 在每一象限内，随的增大而增大， 均在反比例函数的图象上，且， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键． 17．已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）k=3；（2）k＜1；（3）不在；理由见解析． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k-1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【详解】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2， 解得k=3； （2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）∵k=13，有k﹣1=12， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数的图象上， 将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数的图象上． 18．在同一坐标系中，某反比例函数的图像与其正比例函数的图像相交于、两点，点在第二象限，且点的横坐标为－1，作轴，垂足为，已知的面积为2. （1）写出该反比例函数的关系式； （2）求出点的坐标； （3）若点的坐标为，求的面积. 【答案】（1）;（2）点坐标为;（3）. 【分析】（1）根据，求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）根据反比例函数的对称性求B点坐标；（3） 【详解】（1）根据题意，，，.. 设反比例函数的解析式为，则.反比例函数解析式为. （2）直线是正比例函数，经过点，反比例函数的图像关于原点对称，点坐标为. （3）. 【点睛】考核知识点：正比例函数与反比例函数.理解两者相关性质是关键. 19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，若菱形的周长为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于菱形的面积，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）P的坐标为或. 【分析】（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出OD的长，由菱形四条边相等，求出OC的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的长，确定出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出解析式； （2）分两种情况考虑：若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，求出菱形的面积即为三角形PBO面积，根据BO的长，利用三角形面积公式求出P的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，同理确定出P′坐标即可． 【详解】(1)连接AC，交x轴于点D， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB， ∵菱形的周长为20，B(−6,0)， ∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3， 在Rt△COD中,根据勾股定理得：， ∴C(−3,−4)， 把C坐标代入反比例解析式得：k=12， 则反比例解析式为； （2）分两种情况考虑： 若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO， ∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6， ∴S菱形ABCO=， ，OB=6， ∴=8， 把y=8代入反比例函数解析式得：， 此时P坐标为； 若P′在第三象限反比例图象上,连接OP′,BP′， 同理得到= -8， 把y=−8代入反比例函数解析式得：， 此时P′， 综上，P的坐标为或. 【点睛】本题考查反比例函数综合题.（1）要求反比例函数的解析式，只需要求出该函数图象上的一个点的坐标即可，所以解决此问的关键就是利用菱形的性质去求C点坐标；（2）以BO为底，则P点距离x轴的距离（即P点的纵坐标的绝对值）即为三角形的高，故P点的位置有两处，掌握分类讨论思想在本题中非常重要. 20．如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOC的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣；所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）6． 【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，根据正弦求出AD=4，根据勾股定理求出DO=3，再求出点A的坐标为（﹣3，4），再求反比例函数的解析式，从而求出B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式；（2）令y=0，即-x+2=0，解得x=3，得C点坐标为（0，3），即OC=3，S△AOC=•AD•OC． 【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图 ∵sin∠AOE=，OA=5， ∴sin∠AOE===， ∴AD=4， ∴DO==3， 而点A在第二象限， ∴点A的坐标为（﹣3，4）， 将A（﹣3，4）代入y=，得m=﹣12， ∴反比例函数的解析式为y=﹣； 将B（6，n）代入y=﹣，得n=﹣2； 将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得 ， 解得， ∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）在y=﹣x+2中，令y=0， 即﹣x+2=0， 解得x=3， ∴C点坐标为（0，3），即OC=3， ∴S△AOC=•AD•OC=•4•3=6． 【点睛】反比例函数和一次函数的综合. 能力提升 一、单选题 21．已知点在反比例函数的图象上，其中（m为实数），则这个函数的图象在第（ ）象限． A．一 B．二 C．一、三 D．二、四 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，先配方即可得到a的范围，进而可得出，从而可以判断函数的图象所在的象限． 【详解】解：∵， 又∵点在反比例函数的图象上 ∴， ∴这个反比例函数的图象在一、三象限， 故选∶C 22．如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数的性质判断即可．在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为，且保持不变． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积为6，第二个图形中阴影部分面积为3，第三个图形中阴影部分面积为6，第四个图形中阴影部分面积为12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，解题关键是能够理解并熟练运用反比例函数的系数k的几何意义． 二、填空题 23．设有反比例函数，、为其图像上的两点，若时，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由时，可得y1>0，y2<0，由x1<0可确定反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质即可得答案. 【详解】∵时，，、为反比例函数图像上的两点， ∴y1>0，y2<0， ∴的图象在二、四象限， ∴k<0. 故答案为k<0 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于y=(k≠0)，当k>0时，图象值一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图像经过点，则的值为 ． 【答案】30 【分析】首先根据翻折变换的性质，可得DE=BD；然后设点D的坐标是，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值． 【详解】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点 ∴AE=AB=， DE=BD， ∴OE= 设点D的坐标是， 则CD=b，， ∵， ∴ 解得： ∴点D的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图像上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键． 三、解答题 25．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，请你分别求出一次函数和反比例函数的表达式. 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为. 【分析】一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，把P点的坐标代入两个解析式，求得n,m的值，即可解答． 【详解】∵一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点， ∴且， ∴，， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式. 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组的解集． 【答案】（1），；（2）C，． 【分析】（1）已知点A（2，1）在函数y=x+m和反比例函数的图象上，代入即可求得m和k的值； （2）求得一次函数的解析式令y=0，求得x的值，即可得点C坐标，根据图象直接判定不等式组0＜x+m≤的解集即可． 【详解】（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上， ∴2+m=1即m=﹣1， ∵A（2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴， ∴k=2． （2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1， ∴点C的坐标是（1，0）， 由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，不等式与函数的关系，解题的关键是求出反比例函数，一次函数的解析式，利用数形结合解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$