第11讲 分式方程（7个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第11讲 分式方程 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分式方程的定义................................................................................................................................................................3 题型02解分式方程........................................................................................................................................................................5 题型03根据分式方程解的情况求值............................................................................................................................................7 题型04列分式方程.......................................................................................................................................................................10 题型05分式方程的行程问题.......................................................................................................................................................13 题型06分式方程的工程问题.......................................................................................................................................................14 题型07分式方程的经济问题.......................................................................................................................................................16 题型08分式方程和差倍分问题...................................................................................................................................................19 题型09分式方程的其它实际问题...............................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础........................................................................................................................................................................................24 能力提升........................................................................................................................................................................................38 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01分式方程的定义 1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 3．（八年级下·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 题型02解分式方程 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级·江苏淮安·阶段练习）方程的解为 ． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) 题型03根据分式方程解的情况求值 7．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 题型04列分式方程 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 12．（八年级下·江苏镇江·期中）为了城市绿化建设，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？ (1)小明设原计划有人参加植树活动，请你完成他的求解过程； (2)小红设原计划每人栽棵树，则由题意可得方程为： ．（不需要求解） 题型05分式方程的行程问题 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）我国自主研发的五代隐形战机“歼20”的最大飞行速度是大飞机“C919”最大飞行速度的3倍，两架飞机均以最高速飞行1500千米，“歼20”比“C919”快1小时，求“歼20”最大飞行速度． 题型06分式方程的工程问题 16．（2024八年级下·江苏·专题练习）某施工队计划修建一个长为米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的倍修建，结果比原计划提前两周完成任务，若设原计划一周修建隧道米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 18．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 题型07分式方程的经济问题 19．（江苏苏州·中考真题）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为(    ) A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 21．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 题型08分式方程和差倍分问题 22．（八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（八年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 个． 24．（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 题型09分式方程的其它实际问题 25．（八年级下·江苏南京·阶段练习）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 27．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 夯实基础 一、单选题 1．方程的解是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 2．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ） A．x=6 B．x=5 C．x=k D．无法确定 4．解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：2x-(x+1)=1，这一变形过程体现的数学思想主要是（    ） A．类比思想 B．转化思想 C．方程思想 D．函数思想 5．分式方程＝2的解为        (    ) A．x＝ B．x＝l C．x＝ D．x＝ 6．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 7．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D．2 8．欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（    ） A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克岁索 D．个克罗索 二、填空题 9．若关于的方程有增根，则m的值是 ． 10．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 小时 11．某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车的速度，设汽车的速度是x千米/小时，根据题意列方程 ． 12．代数式与代数式的值相等，则x＝ ． 13．已知分式方程无解，则的值为 14．若关于的分式方程有正整数解，则整数 ． 三、解答题 15．（1）； （2）． 16．解分式方程 (1) (2) 17．解下列方程： （1）； （2）． 18． 有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍．第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天？ 19．解分式方程： (1) (2) 20．回答下列问题． (1)因式分解：． (2)解分式方程：． 能力提升 一、单选题 21．若分式方程 有增根，则增根是(    ) A．x=1 B．x=1或x=0 C．x=0 D．不确定 22．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的的所有值的和是（     ） A．-2 B．-4 C．-7 D．-8 二、填空题 23．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为 元； 24．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 25．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围． 26．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 分式方程 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分式方程的定义................................................................................................................................................................3 题型02解分式方程........................................................................................................................................................................5 题型03根据分式方程解的情况求值............................................................................................................................................7 题型04列分式方程.......................................................................................................................................................................10 题型05分式方程的行程问题.......................................................................................................................................................13 题型06分式方程的工程问题.......................................................................................................................................................14 题型07分式方程的经济问题.......................................................................................................................................................16 题型08分式方程和差倍分问题...................................................................................................................................................19 题型09分式方程的其它实际问题...............................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础........................................................................................................................................................................................24 能力提升........................................................................................................................................................................................38 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01分式方程的定义 1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 2．（23-24八年级下·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 【答案】 【知识点】分式方程的定义、数字类规律探索 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 3．（八年级下·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【答案】③④⑤⑦,详见解析 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程； 方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 方程⑨属于无理方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型02解分式方程 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 去分母得，， 解得：． 检验：， 是原方程的解． 故选：B． 5．（24-25八年级·江苏淮安·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)原方程无解． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可； （2）先把分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可； 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解： ∴， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 题型03根据分式方程解的情况求值 7．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴能使y有正整数解的a为：0， ∴所有满足条件的整数a的值之和为：0． 故选：A． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集、解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）解：方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 题型04列分式方程 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题与分式方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时得出方程，进而得出答案． 【详解】解：设型机器人每小时搬运建筑材料，则型机器人每小时搬运的建筑材料， 根据题意可得：； 故选：D 11．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为，则轿车的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设大巴车的速度为，列方程得， 故答案为：． 12．（八年级下·江苏镇江·期中）为了城市绿化建设，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？ (1)小明设原计划有人参加植树活动，请你完成他的求解过程； (2)小红设原计划每人栽棵树，则由题意可得方程为： ．（不需要求解） 【答案】(1)实际有45人参加了这次植树活动 (2) 【知识点】分式方程的其它实际问题、列分式方程 【分析】（1）设原计划有人参加植树活动，则实际参加人数为人，根据原计划每人植树棵数减去实际每人植树棵数等于2，列方程求解即可； （2）设原计划每人栽棵树，则实际每人栽棵树，根据实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，列出方程即可． 【详解】（1）解：设原计划有人参加植树活动，则实际参加人数为人． 根据题意得：， 解得． 经检验：是方程的解， 所以． 则． 答：实际有45人参加了这次植树活动； （2）解：设原计划每人栽棵树，则实际每人栽棵树， 根据题意得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解本题的关键在根据题意找出等量关系并列出分式方程，注意在解分式方程时要检验． 题型05分式方程的行程问题 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程、分式方程的行程问题 【分析】设小亮的速度为，则小明的速度为，根据时间路程速度结合小明比小亮提前分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：分钟小时， 设小亮的速度为，则小明的速度为， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）我国自主研发的五代隐形战机“歼20”的最大飞行速度是大飞机“C919”最大飞行速度的3倍，两架飞机均以最高速飞行1500千米，“歼20”比“C919”快1小时，求“歼20”最大飞行速度． 【答案】“歼20”最大飞行速度为3000． 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的实际运用，解题的关键是找出题干中的等量关系．设“C919”的最大飞行速度为x，则“歼20” 的最大飞行速度为，根据“歼20”比“C919”快1小时建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设“C919”的最大飞行速度为x，则“歼20” 的最大飞行速度为， 根据题意得：，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：“歼20”最大飞行速度为3000． 题型06分式方程的工程问题 16．（2024八年级下·江苏·专题练习）某施工队计划修建一个长为米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的倍修建，结果比原计划提前两周完成任务，若设原计划一周修建隧道米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设原计划一周修建米，根据第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的倍修建，即每周可修建米，结果比原计划提前两周完成任务，根据时间关系可得出关于的分式方程． 【详解】 解：设原计划一周修建米，则一周后每周可修建米，结果比原计划提前两周完成任务， 得：． 故选：D． 17．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 【答案】6 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】首先设规定的工期是天，则乙队单独施工需要天，根据题意可得等量关系：甲、乙两队的工作效率乙的工作效率，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲和乙工作效率，再找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 18．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设A型号机器人每小时搬运原料， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B型号机器人每小时分别搬运， 答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料． 题型07分式方程的经济问题 19．（江苏苏州·中考真题）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】先找出本题等量关系为两人买的笔记本数量，再根据等量关系列出方程． 【详解】找到等量关系为两人买的笔记本数量． 故选A 【点睛】本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于找出等量关系． 20．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 【答案】0.2/ 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，再结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验，即可求出A款电动汽车平均每公里充电费用． 【详解】解：设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验该解是原方程的解， ∴A款电动汽车平均每公里充电费用为（元）． 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 21．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为100元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，根据购买“滨滨”和购买“妮妮”的费用分别为8000元和5600元，且“滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 题型08分式方程和差倍分问题 22．（八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】理解题意：今有漆三斗，设分出x斗漆去得(换)油，所以余下漆(3- x)斗，因为漆三得油四，所以x斗漆得油x斗，根据油四和(huo， 即调和)漆五，可以列方程为． 【详解】∵今有漆三斗，分出x斗漆去得(换)油， ∴余下漆(3- x)斗， ∵漆三得油四， ∴x斗漆得油x斗， ∵油四和(huo， 即调和)漆五， ∴列方程为： 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程，解题的关键是理解题意，假设未知数，找出等量关系，列分式方程． 23．（八年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 个． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设乙每小时做零件个，则甲每小时做零件个，由题意：甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙每小时做零件个，则甲每小时做零件个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 即乙每小时做零件个． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案． 【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 题型09分式方程的其它实际问题 25．（八年级下·江苏南京·阶段练习）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的其它实际问题 【详解】解：第一块试验田的面积为：， 第二块试验田的面积为：， 方程应该为：， 故选：C． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先表示出原分数的分母，再列出等量关系即可． 【详解】解：原分数的分子为 原分数的分母为 依题得． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 【答案】（1）红球占40%，黄球占60%；（2）盒中红球有40个；（3）16 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】此题考查了分式方程的应用等知识，理解题意，正确列式是解题的关键． 推测计算：（1）50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，分别列式计算即可；（2）先求出总球数，再乘以对应的百分比即可求出答案； 拓展延伸：先求出白球所占的比例，据此列分式方程进行求解即可． 【详解】解：推测计算：（1）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次， ∴红球所占百分比为， 黄球所占百分比为， 答：红球占，黄球占； （2）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次， ∴总球数为，. ∴红球数为， 答：盒中红球有个． 拓展延伸：∵共试验50次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为，. 设盒子中共有白球x个，则 解得：． 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故白球的个数是16个．. 夯实基础 一、单选题 1．方程的解是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】D 【分析】先去分母，分式方程两边乘以x（x+2），再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：去分母得：2（x+2）=x， 去括号，移项合并得：x=-4， 经检验x=-4是分式方程的解． 原方程的解是x=-4 故选D． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 2．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分式方程乘以，即可得到答案. 【详解】去分母得：，故选D． 【点睛】本题考查去分母，解题的关键是掌握通分. 3．若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ） A．x=6 B．x=5 C．x=k D．无法确定 【答案】B 【详解】试题分析：根据分式方程的增根的定义即可判断. 由题意得增根是x=5，故选B. 考点：本题考查的是分式方程的增根 点评：解答本题的关键是熟练掌握分式方程的增根是使原方程的分母等于0的根. 4．解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：2x-(x+1)=1，这一变形过程体现的数学思想主要是（    ） A．类比思想 B．转化思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想． 【详解】∵解分式方程时，去分母，把原方程转化为整式方程， ∴这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B. 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．分式方程＝2的解为        (    ) A．x＝ B．x＝l C．x＝ D．x＝ 【答案】D 【详解】试题解析：去分母，得 解得： 经检验：是原方程的解. 故选D. 6．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 【答案】A 【详解】，去分母， 得，化简得，当时， ， 方程有整数根，的值是整数， 当时，，方程的根； 当时，，方程的根(增根，舍去)； 当时，，方程的根；当时， ，方程的根(增根，舍去)，综上所述，的值为3或5． 7．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加即可得. 【详解】解不等式，得， 由于不等式组只有四个整数解，即只有4个整数解， ∴， ∴； 解分式方程，得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴a≤2且a≠1， ∴且a≠1， ∴符合条件的所有整数为：-1，0，2， 和为：-1+0+2=1， 故选C. 【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键. 8．欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（    ） A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克岁索 D．个克罗索 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程解应用题．根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求得这两名农妇各带来多少个鸡蛋，再计算出第一个农妇每个鸡蛋的单价即可． 【详解】解：设第一个农妇带来个鸡蛋，第二个妇女带了个．由题意得： ． 解得：， 检验：当时，，符合题意． ． 即第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋． ∴第一个农妇的鸡蛋价格为：个克罗索． 故选：B． 二、填空题 9．若关于的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-m= x-1， 由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1， 把x=1代入整式方程得：1-m=0，即m=1； 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 10．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 小时 【答案】1.8 【分析】设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可． 【详解】解：设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时， 根据两人对话可知：甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：，解得：或， 经检验：或是原方程的解， 不合题意，舍去， 故答案为：1.8小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系． 11．某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车的速度，设汽车的速度是x千米/小时，根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】根据汽车的速度是x千米/小时，则自行车的速度是，根据题意，自行车比汽车多走40分钟列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程得应用，读懂题意，找准等量关系是解本题的关键． 12．代数式与代数式的值相等，则x＝ ． 【答案】7 【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母 ， 去括号号 ， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．已知分式方程无解，则的值为 【答案】2或7/7或2 【分析】先去分母，方程两边同时乘以(x-1)化成整式方程：7-m=(m-2)(x-1)，然后再分整式方程无解或整式方程有解，但是该解使得分式方程分母为0两种情况讨论即可． 【详解】解：方程两边同时乘以(x-1)得到整式方程：7-m=(m-2)(x-1)， 当m=2时，上述整式方程无解，此时分式方程必无解； 当m≠2时，上述整式方程的解为 ∵分式方程无解， ∴，解得m=7, 经检验，7是方程的解， 综上所述，的值为2或7． 故答案为：2或7 【点睛】本题考查了分式方程的解法及分式方程无解时求参数的值，本题属于基础题，熟练掌握分式方程无解的概念是解题的关键． 14．若关于的分式方程有正整数解，则整数 ． 【答案】2或/或2 【分析】先去分母解整式方程得，根据分式方程有正整数解，得到的值为1或2或4，且，由此求出答案． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 解得， ∵分式方程有正整数解， ∴的值为1或2或4，且， 解得或， 故答案为：2或． 【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键． 三、解答题 15．（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）原分式方程无解 【分析】（1）先给方程两边同时乘以去分母化为整式方程，然后求出整式方程的解并检验即可解答； （2）先给方程两边同时乘以去分母化为整式方程，然后求出整式方程的解并检验即可解答． 【详解】解：（1）方程两边乘，得、 化简得，解得．经检验，是原方程的解．所以原方程的解是． （2）方程两边乘得，， 解得．检验：当时，，因此 不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键，最后的检验是解答本题的易错点． 16．解分式方程 (1) (2) 【答案】(1)x=1 (2)无解 【分析】（1）首先方程两边同时乘x(x+3)去分母，再解整式方程即可求得； （2）方程两边同时乘(x-2) 去分母，再解整式方程即可求得． 【详解】（1）解：左右两边同时乘以x（x+3）得：4x= x+3， 解得：x=1． 检验：当x=1时，x（x+3）0， 所以x=1是原方程的解； （2）解：左右两边同时乘以(x-2) 去分母得：3=x+1+3(x-2)， 解得：x=2， 检验：当x=2时，x-2=0， x=-3是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，一定要注意解分式方程必须检验． 17．解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）两边同乘（x−2），得：3＋x＝−2（x−2）， 去括号得：3＋x＝−2x＋4， 移项合并得：3x＝1， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）两边同乘（x−1）（x＋1），得：−4＝−1， 去括号得：＋2x＋1−4＝−1， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的增根， 则原方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍．第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天？ 【答案】大车20天，小车30天. 【分析】设大卡车单独运一堆煤要x天，则小卡车单独运一堆煤要天，把工作量看成“1”，根据“大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半”，列出分式方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设大卡车单独运一堆煤要x天，则小卡车单独运一堆煤要天，根据题意得： ， 解得：x=20， 经检验，x=20是分式方程的解， =×20=30． 答：大卡车单独运一堆煤要20天，则小卡车单独运一堆煤要30天． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程，解方程时要注意检验． 19．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】(1) 先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可； (2) 先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以得， 解这个整式方程，得， 检验：将代入最简公式分母， 原分式方程的解为． （2）将方程两边同时乘以得： ， 解这个整式方程，得：， 将代入， 所以是增根， 所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查的是分式方程的求解，解题的关键是将分式方程转化为整式方程，易错点是漏乘不含未知数的项． 20．回答下列问题． (1)因式分解：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 两边同时乘以得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解分式方程，熟知相关计算方法是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． 能力提升 一、单选题 21．若分式方程 有增根，则增根是(    ) A．x=1 B．x=1或x=0 C．x=0 D．不确定 【答案】A 【详解】方程两边同乘x(x-1)，得 6x=x+5， 解得：x=1， 检验：当x=1时，x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根，原方程无解， 故选A. 22．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的的所有值的和是（     ） A．-2 B．-4 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】， 解①得x>m， 解②得x>1. 不等式组的解集是x>1，则m⩽1. 解方程， 去分母,得1−x−m=3(2−x)， 去括号，得1−x−m=6−3x， 移项，得−x+3x=6−1+m， 合并同类项，得2x=5+m， 系数化成1得x=. ∵分式方程有非负整数解， ∴5+m⩾0， ∴m>−5， ∴−5⩽m⩽1， ∴m=−5，−3， 1， ∴符合条件的m的所有值的和是−7， 故选C. 点睛：此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围以及解分式方程是解本题的关键. 二、填空题 23．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为 元； 【答案】40 【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量=总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元． 依题意，得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+8=48． 答：甲种商品的每件进价为40元． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了分式方程的应用的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 24．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】12 【详解】解不等式①，得，解不等式②，得，由题意得，解得；解方程得，，当时，；当时，（不合题意，舍去）；当时，，符合条件的有8，4，，即所有满足条件的整数的值之和是12 三、解答题 25．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围． 【答案】a＜5且a≠3 【详解】解：方程两边都乘x－2，得1－a＋2＝x－2， 解得x＝5－a． 由题意可知，5－a＞0，解得a＜5． 当x＝5－a＝2，即a＝3时，方程的根为增根，不合题意，应舍去． 故a＜5且a≠3． 26．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 【答案】30元 【详解】试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程． 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则 2×=， 解得 x=30 经检验，x=30是原方程的根． 答：第一批盒装花每盒的进价是30元． 考点：分式方程的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$