专题04 因式分解(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题04 因式分解 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点梳理02：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点梳理03：公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 易错知识点01：因式分解的基本概念 概念理解不清： 学生可能将因式分解与整式乘法混淆，不清楚因式分解是将多项式化为几个整式的乘积，而整式乘法则是将几个整式相乘化为一个多项式。 易错知识点02：提公因式法 1. 公因式确定错误： 学生可能无法准确找出多项式的公因式，特别是在多项式含有多个字母或复杂系数时。 忽视公因式可以是单项式也可以是多项式。 2. 提公因式不彻底： 学生可能只提取了部分公因式，而没有将所有公因式一次性提取干净。 3. 符号处理不当： 在提取公因式时，学生可能忽视负号的处理，导致提取结果错误。 易错知识点03：公式法 1. 公式应用错误： 学生可能错误地应用平方差公式（a²−b²=(a+b)(a−b）或完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)2²），例如将非平方差或非完全平方形式的多项式错误地应用这些公式。 2. 公式形式识别不清： 学生可能无法准确识别出多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，导致无法应用公式进行因式分解。 3. 公式应用不全面： 学生可能只注意到部分多项式可以应用公式，而忽视了其他部分，导致因式分解不彻底。 易错知识点04：分组分解法 1. 分组不合理： 学生可能无法合理地将多项式分组，使得分组后无法提取公因式或应用公式进行因式分解。 2. 分组后处理不当： 在分组后，学生可能无法正确地对每组进行因式分解，或者忽视了分组后可能产生的新的公因式或可应用公式的形式。 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 1. 步骤混乱： 学生可能在进行因式分解时，没有按照先提取公因式、再应用公式、最后考虑分组分解的步骤进行，导致因式分解不彻底或错误。 2. 忽视检查： 在完成因式分解后，学生可能忽视对结果的检查，没有验证每个因式是否都不能再分解，或者没有检查因式分解前后是否等价。 3. 符号处理不当： 在整个因式分解过程中，学生可能忽视符号的处理，导致最终结果的符号错误。 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解： 对于二次三项式ax²+bx+c，学生可能无法正确应用十字相乘法或因式分解公式进行分解。 忽视二次三项式因式分解的特殊情况，如x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 2. 含有分数系数或字母系数的多项式： 学生可能无法正确处理含有分数系数或字母系数的多项式，特别是在提取公因式时。 易错知识点07：因式分解的应用 1. 应用场景识别不清： 学生可能无法准确识别出哪些问题需要应用因式分解来解决，如解方程、化简表达式等。 2. 应用过程出错： 在应用因式分解解决问题时，学生可能出现计算错误、公式应用错误等问题。 试题满分：100分 难度系数：0.52（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•市中区期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为16＝52﹣32，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（2分）（2024秋•集宁区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2分）（2024春•定陶区期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2 C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4） 4．（2分）（2024春•金沙县校级期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我贵州 B．我爱彩州 C．爱贵州 D．我爱多 5．（2分）（2024春•驿城区期末）下列从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．y2﹣4y+4＝（y+2）2 D．9x2﹣3x＝3x（3x﹣1） 6．（2分）（2024春•河源期末）若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 7．（2分）（2024春•宁德期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4 8．（2分）（2024春•碑林区校级期末）已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 9．（2分）（2023秋•旌阳区期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你 10．（2分）（2023春•雁塔区校级期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2018春•九龙坡区校级期末）分解因式：ab3﹣a3b＝　 　 ． 12．（2分）（2018春•富平县期末）因式分解：4x2﹣4x+1＝　 　 ． 13．（2分）（2024秋•洪山区期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　 ． 14．（2分）（2024春•坪山区期末）把多项式x2﹣4分解因式的结果为 　 　 ． 15．（2分）（2024春•邛崃市期末）已知312﹣1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 　 　 ． 16．（2分）（2024春•济阳区期末）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 　 　 ． 17．（2分）（2018春•丹东期末）分解因式：4x2﹣9y2＝　 　 ． 18．（2分）（2024春•成华区期末）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　 　 ． 19．（2分）（2023春•东明县期末）已知x2+x＝6，则代数式x3+x2﹣6x+2023的值为 　 　 ． 20．（2分）（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•东湖区校级期末）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 22．（6分）（2024春•肥乡区期末）【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数． 【解决问题】 （1）用含a的代数式表示： 原来的两位数为 　 　 ，新的两位数为 　 　 ； （2） 使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 23．（8分）（2024春•金沙县校级期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝　 　 ； （2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 　 　 ； （3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 24．（8分）（2024春•管城区校级期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： 3＝22﹣12，3是智慧数；5＝32﹣22，5是智慧数；7＝42﹣32，7是智慧数；9＝52﹣42，9是智慧数； … 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设k是正整数， （k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： 8＝32﹣12，8是智慧数；12＝42﹣22，12是智慧数；16＝52﹣32，16是智慧数；20＝62﹣42，20是智慧数； … （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：　 　 ． ②请你对猜测进行证明： （3） 请写出不超过2024的最大的智慧数为 　 　 ；它能表示为 　 　 和 　 　 这两个正整数的平方差． 25．（8分）（2024春•市中区期末）观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　 　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　 　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 26．（8分）（2024秋•通许县期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m2﹣mn+mx﹣nx． （ 2）x2﹣2xy+y2﹣9． 27．（8分）（2024春•信宜市校级期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）2﹣1≥﹣1， 即a2+6a+8的最小值为﹣1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　 ． （2）利用上述方法进行因式分解：a2﹣10a+21． （3）求4x2+4x+5的最小值． 28．（8分）（2024春•薛城区期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形a2+2b2+3ab可以因式分解得 　 　 ． （2）根据图2：若a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，求a+b+c的值． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为ab（a﹣b）．则长方体②的体积为 　 　 ，长方体③的体积为 　 　 （结果不需要化简）．则因式分解a3﹣b3＝　 　 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：a3+b3； （5）应用：已知x+2y＝3，xy＝2，求出x4y+8xy4的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题04 因式分解 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点梳理02：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点梳理03：公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理04：十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点梳理05：因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 易错知识点01：因式分解的基本概念 概念理解不清： 学生可能将因式分解与整式乘法混淆，不清楚因式分解是将多项式化为几个整式的乘积，而整式乘法则是将几个整式相乘化为一个多项式。 易错知识点02：提公因式法 1. 公因式确定错误： 学生可能无法准确找出多项式的公因式，特别是在多项式含有多个字母或复杂系数时。 忽视公因式可以是单项式也可以是多项式。 2. 提公因式不彻底： 学生可能只提取了部分公因式，而没有将所有公因式一次性提取干净。 3. 符号处理不当： 在提取公因式时，学生可能忽视负号的处理，导致提取结果错误。 易错知识点03：公式法 1. 公式应用错误： 学生可能错误地应用平方差公式（a²−b²=(a+b)(a−b）或完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)2²），例如将非平方差或非完全平方形式的多项式错误地应用这些公式。 2. 公式形式识别不清： 学生可能无法准确识别出多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，导致无法应用公式进行因式分解。 3. 公式应用不全面： 学生可能只注意到部分多项式可以应用公式，而忽视了其他部分，导致因式分解不彻底。 易错知识点04：分组分解法 1. 分组不合理： 学生可能无法合理地将多项式分组，使得分组后无法提取公因式或应用公式进行因式分解。 2. 分组后处理不当： 在分组后，学生可能无法正确地对每组进行因式分解，或者忽视了分组后可能产生的新的公因式或可应用公式的形式。 易错知识点05：因式分解的步骤与注意事项 1. 步骤混乱： 学生可能在进行因式分解时，没有按照先提取公因式、再应用公式、最后考虑分组分解的步骤进行，导致因式分解不彻底或错误。 2. 忽视检查： 在完成因式分解后，学生可能忽视对结果的检查，没有验证每个因式是否都不能再分解，或者没有检查因式分解前后是否等价。 3. 符号处理不当： 在整个因式分解过程中，学生可能忽视符号的处理，导致最终结果的符号错误。 易错知识点06：特殊类型多项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解： 对于二次三项式ax²+bx+c，学生可能无法正确应用十字相乘法或因式分解公式进行分解。 忽视二次三项式因式分解的特殊情况，如x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 2. 含有分数系数或字母系数的多项式： 学生可能无法正确处理含有分数系数或字母系数的多项式，特别是在提取公因式时。 易错知识点07：因式分解的应用 1. 应用场景识别不清： 学生可能无法准确识别出哪些问题需要应用因式分解来解决，如解方程、化简表达式等。 2. 应用过程出错： 在应用因式分解解决问题时，学生可能出现计算错误、公式应用错误等问题。 试题满分：100分 难度系数：0.52（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•市中区期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为16＝52﹣32，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 解：设这两个连续偶数为n，n+2， 则（n+2）2﹣n2＝（n+2+n）（n+2﹣n）＝4n+4， A．4n+4＝2021，解得，n不是奇数，故不符合题意； B．4n+4＝2022，解得，n不是奇数，故不符合题意； C．4n+4＝2023，解得，n不是奇数，故不符合题意； D．4n+4＝2024，解得n＝505，n是奇数，故符合题意； 故选：D． 2．（2分）（2024秋•集宁区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解：∵a2+2b2+c2＝2ab+2bc， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即：（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，即：a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 3．（2分）（2024春•定陶区期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2 C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4） 解：∵a（3）不是表示整式的乘积， ∴选项A不符合题意； ∵a2﹣2a﹣1≠（a﹣1）2， ∴选项B不符合题意； ∵（x+3）2+1不是整式乘积的形式， ∴选项C不符合题意； ∵m2﹣4m＝m（m﹣4）， ∴选项D符合题意， 故选：D． 4．（2分）（2024春•金沙县校级期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我贵州 B．我爱彩州 C．爱贵州 D．我爱多 解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1） ＝（x2﹣1）（3a﹣3b） ＝3（a﹣b）（x+1）（x﹣1）， ∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵， ∴结果呈现的密码信息可能是：爱我贵州， 故选：A． 5．（2分）（2024春•驿城区期末）下列从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．y2﹣4y+4＝（y+2）2 D．9x2﹣3x＝3x（3x﹣1） 解：A．等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意； B．等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意； C．等式右边是几个因式积的形式，但分解错误，正确结果为y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，该选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的意义，故是因式分解，该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（2分）（2024春•河源期末）若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 解：（2k+5）2﹣4k2＝（2k+5）2﹣（2k）2 ＝（2k+5+2k）（2k+5﹣2k） ＝5（4k+5）， 因此，该式总能被5整除． 故选：C． 7．（2分）（2024春•宁德期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4 解：A中a（a+b）＝a2+ab，不是因式分解，故不符合要求； B中（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，不是因式分解，故不符合要求； C中x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，故符合要求； D中x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4，不是因式分解，故不符合要求； 故选：C． 8．（2分）（2024春•碑林区校级期末）已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解：∵a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b）． ∴（a﹣b）（a2+b2）﹣c2（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0． ∴．a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b或a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 9．（2分）（2023秋•旌阳区期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你 解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1） ＝3（x2﹣1）（a﹣b） ＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b）． ∵3对应“中”，x+1对应“国”，x﹣1对应“爱”，a﹣b对应“你”， ∴最后呈现的密码信息为：中国爱你． 故选：D． 10．（2分）（2023春•雁塔区校级期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2＝2x+5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5， ＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5 ＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5 ＝x2﹣2x﹣5+25 ＝25． 解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5 ＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5 ＝6x2﹣12x﹣5 ＝6（x2﹣2x）﹣5 ＝6×5﹣5 ＝25． 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2018春•九龙坡区校级期末）分解因式：ab3﹣a3b＝　ab（b+a）（b﹣a）　 ． 解：原式＝ab（b2﹣a2）＝ab（b+a）（b﹣a）． 故答案为：ab（b+a）（b﹣a）． 12．（2分）（2018春•富平县期末）因式分解：4x2﹣4x+1＝　（2x﹣1）2　 ． 解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2． 故答案为：（2x﹣1）2． 13．（2分）（2024秋•洪山区期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰三角形　 ． 解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0． ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0． ∵在△ABC中，a+b＞c， ∴a+b﹣c＞0． ∴a﹣b＝0，即a＝b． ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 14．（2分）（2024春•坪山区期末）把多项式x2﹣4分解因式的结果为 　（x+2）（x﹣2）　 ． 解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 15．（2分）（2024春•邛崃市期末）已知312﹣1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 　26、28　 ． 解：312﹣1＝（36﹣1）（36+1） ＝（33﹣1）（33+1）（36+1） ＝26×28×（36+1）， 所以312﹣1可以26和28整除． 故答案为：26、28． 16．（2分）（2024春•济阳区期末）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 　35　 ． 解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5， ∴2（a+b）＝14，ab＝5， 故a+b＝7，ab＝5， 则a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝5×7 ＝35． 故答案为：35． 17．（2分）（2018春•丹东期末）分解因式：4x2﹣9y2＝　（2x+3y）（2x﹣3y）　 ． 解：原式＝（2x+3y）（2x﹣3y）． 故答案为：（2x+3y）（2x﹣3y）． 18．（2分）（2024春•成华区期末）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　42　 ． 解：∵a+b＝6，ab＝7， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝7×6 ＝42． 故答案为：42． 19．（2分）（2023春•东明县期末）已知x2+x＝6，则代数式x3+x2﹣6x+2023的值为 　2023　 ． 解：∵x2+x＝6， ∴x3+x2﹣6x+2023， ＝x（x2+x）﹣6x+2023， ＝6x﹣6x+2023， ＝2023， 故答案为：2023． 20．（2分）（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝　﹣2　 ． 解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴x3y+x2y2xy3 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•东湖区校级期末）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 22．（6分）（2024春•肥乡区期末）【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数． 【解决问题】 （1）用含a的代数式表示： 原来的两位数为 　9a+10　 ，新的两位数为 　100﹣9a　 ； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 解：（1）∵一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10， ∴b＝10﹣a． ∴原来的两位数为：10a+10﹣a＝9a+10． 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， ∴新的两位数为：10（10﹣a）+a＝100﹣9a． 故答案为：9a+10；100﹣9a． （2）根据题意得，（9a+10）2﹣（100﹣9a）2 ＝（9a+10+100﹣9a）（9a+10﹣100+9a） ＝110（18a﹣90） ＝1980（a﹣5） ＝99×20（a﹣5）． ∵a是整数， ∴（9a+10）2﹣（100﹣9a）2能被20整除，即【发现】中的结论正确． 23．（8分）（2024春•金沙县校级期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝　（a﹣7）（a﹣5）　 ； （2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 　　 ； （3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 解：（1）a2﹣12a+35 ＝a2﹣12a+36﹣1 ＝（a﹣6）2﹣1 ＝（a﹣7）（a﹣5）， 故答案为：（a﹣7）（a﹣5）； （2）M＝a2﹣3a+1 M＝（a2﹣3a） M， 当a，即a时，M取最小值，最小值为， 故答案为：； （3）∵a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， 即 （a﹣b）2+（b+2）2+（c﹣3）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，（c﹣3）2≥0 ∴a﹣b＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，解得 a＝b＝﹣2，c＝3， ∴a+b+c＝﹣2﹣2+3＝﹣1． 24．（8分）（2024春•管城区校级期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： 3＝22﹣12，3是智慧数；5＝32﹣22，5是智慧数；7＝42﹣32，7是智慧数；9＝52﹣42，9是智慧数； … 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设k是正整数， （k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： 8＝32﹣12，8是智慧数；12＝42﹣22，12是智慧数；16＝52﹣32，16是智慧数；20＝62﹣42，20是智慧数； … （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：　除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数　 ． ②请你对猜测进行证明： （2）请写出不超过2024的最大的智慧数为 　2024　 ；它能表示为 　507　 和 　505　 这两个正整数的平方差． 解：（1）①由小明的探究可以猜测：除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数， 故答案为：除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数； ②证明：设k是正整数， （k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4（k+1）， 所以，除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数； （2）∵2024＝5072﹣5052， ∴不超过2024的最大的智慧数为2024，它能表示为507和505这两个正整数的平方差， 故答案为：2024，507，505． 25．（8分）（2024春•市中区期末）观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1． 26．（8分）（2024秋•通许县期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m2﹣mn+mx﹣nx． （ 2）x2﹣2xy+y2﹣9． 解：（1）m2﹣mn+mx﹣nx＝m（m﹣n）+x（m﹣n）＝（m﹣n）（m+x）； （2）x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）． 27．（8分）（2024春•信宜市校级期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）2﹣1≥﹣1， 即a2+6a+8的最小值为﹣1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　 ． （2）利用上述方法进行因式分解：a2﹣10a+21． （3）求4x2+4x+5的最小值． 解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2， 即添加的常数项为4， 故答案为：4． （2）a2﹣10a+21＝a2﹣10a+25﹣4 ＝（a﹣5）2﹣4 ＝（a﹣5+2）（a﹣5﹣2） ＝（a﹣3）（a﹣7）． （3）4x2+4x+5 ＝4x2+4x+1+4 ＝（2x+1）2+4， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+4≥4， 即4x2+4x+5的最小值为4． 28．（8分）（2024春•薛城区期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形a2+2b2+3ab可以因式分解得 　（a+b）（a+2b）　 ． （2）根据图2：若a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，求a+b+c的值． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为ab（a﹣b）．则长方体②的体积为 　b2（a﹣b）　 ，长方体③的体积为 　a2（a﹣b）　 （结果不需要化简）．则因式分解a3﹣b3＝　（a2+b2+ab）（a﹣b）　 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：a3+b3； （5）应用：已知x+2y＝3，xy＝2，求出x4y+8xy4的值． 解：（1）a2+2b2+3ab＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：（a+b）（a+2b）； （2）由图2得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2， ∵a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38， ∴（a+b+c）2＝45+2×38＝121， ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a+b+c＝11； （3）长方体②的体积＝b2（a﹣b）， 长方体③的体积＝a2（a﹣b）， 则a3﹣b3 ＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b） ＝（a2+b2+ab）（a﹣b）， 故答案为：b2（a﹣b）；a2（a﹣b）；（a2+b2+ab）（a﹣b）； （4）由（3）可知： a3+b3 ＝a3﹣（﹣b）3 ＝[a2+（﹣b）2+a（﹣b）][a﹣（﹣b）] ＝（a2+b2﹣ab）（a+b）； （5）∵x4y+8xy4 ＝xy（x3+8y3） ＝xy[x3+（2y）3] ＝xy（x2+4y2﹣2xy）（x+2y）， ∵x+2y＝3，xy＝2， ∴x4y+8xy4 ＝xy（x2+4y2﹣2xy）（x+2y） ＝2×[（x+2y）2﹣6xy]×3 ＝6×（9﹣6×2） ＝﹣18 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$