专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 试题满分：100分 难度系数：0.44（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•崇义县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象过A（0，1），B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞0 D．x＜0 2．（2分）（2024春•漳州期末）不等式2x+8＜0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2024春•城关区校级期末）如果关于x的不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 4．（2分）（2024春•虞城县校级期末）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　） A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0 5．（2分）（2024春•银州区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式ax+b＞mx+n的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＜3 D．x＞3 6．（2分）（2024春•日照期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 7．（2分）（2024春•平顶山期末）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+m＞y+m B．﹣3x＜﹣3y C． D．2x﹣n＜2y﹣n 8．（2分）（2024春•怀仁市期末）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＞0时，y1＞y2 C．当x＞2时，y1＞y2 D．当x＜0时，y1＞y2 9．（2分）（2024春•城关区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，下列结论：①点A的纵坐标为2；②关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2；③关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝2；④关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．其中正确的结论有几个（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2分）（2024春•商南县期末）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．7 C．9 D．10 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•城关区校级期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是　 　 ． 12．（2分）（2024春•青羊区期末）若关于x的不等式x﹣m≥﹣5的解集如图所示，则m＝　 　 ． 13．（2分）（2024春•宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　 　 ． 14．（2分）（2024春•中宁县期末）世界地球日（TheWorld Earth Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了 　 　 道题． 15．（2分）（2024春•武侯区期末）定义：若关于x的不等式组的解集是a＜x＜b，且a，b满足a+b＝0，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 　 　 ． 16．（2分）（2024春•费县期末）已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＜m+n；③P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y2＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0；④2（a﹣m）＝b﹣n．其中正确有 　 　 （填写序号）． 17．（2分）（2024春•信阳期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（﹣3，0），下列说法：①y随x的增大而减小；②b＝﹣3；③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；④关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3．其中说法正确的有 　 　 ． 18．（2分）（2024春•东昌府区校级期末）如果不等式组的解集为x＞5，则m的取值范围为 　 　 ． 19．（2分）（2024秋•浙江期末）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　 　 个． 20．（2分）（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品　 　 件． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•兴庆区校级期末）解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来． （1） （2）． 22．（6分）（2024秋•临平区期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　 　 步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 　 　 ， 解不等式②，得 　 　 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　 　 ． 23． （8分）（2024春•蒲城县期末）科技节是某校为学生搭建科技创新平台，展现师生科技创新形象及科学素养的重大节日．该校在科技节活动中开展了以“科技创造未来”为主题的科普知识竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于88分将有奖品赠送．如果参赛选手想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？ 24．（8分）（2024春•内乡县期末）近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元． （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 25．（8分）（2024春•金寨县校级期末）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗） 销售时段 周销售数量 周销售总利润 第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元 第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元 （1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？ （2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为40%定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？ 26．（8分）（2024春•丰满区校级期末）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 27．（8分）（2023春•雁塔区校级期末）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 28．（8分）（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　 　 ； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　 　 ； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 试题满分：100分 难度系数：0.44（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•崇义县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象过A（0，1），B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞0 D．x＜0 解：根据图象可知：关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＞2， 故选：A． 2．（2分）（2024春•漳州期末）不等式2x+8＜0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 解：移项，得：2x＜﹣8， 系数化为1，得：x＜﹣4， 故选：D． 3．（2分）（2024春•城关区校级期末）如果关于x的不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 解：∵， ∴由x+13＜5x+1，则13﹣1＜5x﹣x，解得x＞3， ∵解集是x＞3，x＞m+1， ∴m+1≤3， 解得m≤2， 故选：A． 4．（2分）（2024春•虞城县校级期末）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　） A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0 解：A、x＞﹣2，故A不符合题意； B、x＜2，故B符合题意； C、x≥2，故C不符合题意； D、x＞2，故D不符合题意． 故选：B． 5．（2分）（2024春•银州区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式ax+b＞mx+n的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＜3 D．x＞3 解：根据图象可知：当x＞2时，直线y＝ax+b在直线y＝mx+n上方， 所不等式ax+b＞mx+n的解集是x＞2， 故选：A． 6．（2分）（2024春•日照期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 解：解不等式，得：x＜3， 解不等式2x﹣5＜3x﹣a，得：x＞a﹣5， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的整数解为2、1、0、﹣1、﹣2， ∴﹣3≤a﹣5＜﹣2， 解得，2≤a＜3 故选：C． 7．（2分）（2024春•平顶山期末）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+m＞y+m B．﹣3x＜﹣3y C． D．2x﹣n＜2y﹣n 解：A．因为x＜y， 所以x+m＜y+m，故本选项不合题意； B．因为x＜y， 所以﹣3x＞﹣3y，故本选项不合题意； C．因为x＜y， 所以，故本选项不合题意； D．因为x＜y， 所以2x﹣n＜2y﹣n，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（2分）（2024春•怀仁市期末）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＞0时，y1＞y2 C．当x＞2时，y1＞y2 D．当x＜0时，y1＞y2 解：由图象得：当x＜2时，y1＜y2，当x＞2时，y1＞y2； 故选：C． 9．（2分）（2024春•城关区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，下列结论：①点A的纵坐标为2；②关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2；③关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝2；④关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．其中正确的结论有几个（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：由函数图象可知，A点的纵坐标为2， 故①正确； ∵点B坐标为（2，0）， ∴当x＞2时，函数y＝kx+b的图象在x轴下方，即kx+b＜0， 则不等式kx+b＜0的解集为x＞2． 故②正确． ∵函数y＝2x的图象过点A ∴2x＝2，即x＝1， ∴点A的横坐标为1．， ∴方程kx+b＝2x的解为x＝1． 故③错误． 由函数图象可知， 当x＞1时，函数y＝kx+b的图象在函数y＝2x图象的下方，即kx+b＜2x， 当x＜2时，函数y＝kx+b的图象在x轴上方，即kx+b＞0， 所以关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2． 故④正确． 故选：B． 10．（2分）（2024春•商南县期末）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．7 C．9 D．10 解：解方程x+2a＝1得：x＝1﹣2a， ∵方程的解为负数， ∴1﹣2a＜0， 解得：a＞0.5， ∵解不等式①得：x＜a， 解不等式②得：x≥4， 又∵不等式组无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围是0.5＜a≤4， ∴整数和为1+2+3+4＝10， 故选：D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•城关区校级期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是　﹣3＜k≤﹣2　 ． 解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5，得：x≥﹣1， 解不等式x+2＜k+6，得：x＜k+4， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1， 则1＜k+4≤2， 解得﹣3＜k≤﹣2， 故答案为：﹣3＜k≤﹣2． 12．（2分）（2024春•青羊区期末）若关于x的不等式x﹣m≥﹣5的解集如图所示，则m＝　7　 ． 解：关于x的不等式x﹣m≥﹣5， 得x≥m﹣5， 由题目中的数轴表示可知： 不等式的解集是：x≥2， 因而可得到，m﹣5＝2， 解得，m＝7． 故答案为：7． 13．（2分）（2024春•宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　x＞﹣2　 ． 解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1）， ∴根据函数图象可知，不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 14．（2分）（2024春•中宁县期末）世界地球日（TheWorld Earth Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了 　22　 道题． 解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题， 由题意得4x﹣（25﹣x）×1≥85， 解得x≥22， ∴小明至少答对了22道题． 故答案为：22． 15．（2分）（2024春•武侯区期末）定义：若关于x的不等式组的解集是a＜x＜b，且a，b满足a+b＝0，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 　4　 ． 解：解不等式x+2＜c，得：x＜c﹣2， 解不等式，得：x＞﹣2， ∵关于x的不等式组的解集是一个对称集， ∴c﹣2+（﹣2）＝0， 解得c＝4， 故答案为：4． 16．（2分）（2024春•费县期末）已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＜m+n；③P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y2＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0；④2（a﹣m）＝b﹣n．其中正确有 　①②③④　 （填写序号）． 解：①∵y2＝ax+b的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，a＜0，b＜0， 所以ab＞0， 故①正确； ②将x＝1分别代入y1和y2得， y1＝m+n，y2＝a+b， 观察图象不难发现点（1，m+n）在点（1，a+b）的上方， 所以a+b＜m+n， 故②正确； ③P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y2＝ax+b上不重合的两点， 由y1＝ax+b的图象可知，当x1＞x2时，y1＜y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 当x1＜x2时，y1＞y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 故③正确； ④观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两者的函数值相等， ∴﹣2a+b＝﹣2m+n， ∴2（a﹣m）＝b﹣n， 故④正确； 故答案为：①②③④． 17．（2分）（2024春•信阳期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（﹣3，0），下列说法：①y随x的增大而减小；②b＝﹣3；③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；④关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3．其中说法正确的有 　④　 ． 解：①如图所示：y随x的增大而增大，故说法错误； ②由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴交点是（0，2），所以b＝2，故说法错误； ③由于一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），所以关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣3，故说法错误； ④如图所示：关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3，故说法正确． 综上所述，说法正确的结论是：④． 故答案为：④． 18．（2分）（2024春•东昌府区校级期末）如果不等式组的解集为x＞5，则m的取值范围为 　m≤5　 ． 解：解不等式﹣x+2＜x﹣8得：x＞5， ∵不等式组的解集为x＞5， ∴m的取值范围为：m≤5． 故答案为：m≤5． 19．（2分）（2024秋•浙江期末）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　3　 个． 解：由题意得45， 解得：7≤x， 其整数解为7、8、9共3个． 故答案为：3． 20．（2分）（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品　320　 件． 解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有 ， 则24x＝29y﹣200＝19z﹣370＝m， ∵0＜m≤1000， ∴0＜x≤41，6y≤41，19z≤72， ∵x，y、z均为正整数， ∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72， 24x＝29y﹣200化为：x＝y﹣8， ∴5y﹣8＝24n（n为正整数）， ∴5y＝8+24n＝8（1+3n）， ∴y＝8k（k为正整数），5k＝3n+1， ∴7≤8k≤41，n＝k， ∴1≤k≤5，1≤2k﹣1≤9， ∵2k﹣1必为奇数且是3的整数倍． ∴2k﹣1＝3或2k﹣1＝9， ∴k＝2或k＝5， 当k＝2时，y＝16，x＝11，z＝33（舍） ∴k只能为5， ∴y＝40，x＝40，z＝70． ∴8x＝8×40＝320． 答：第一次购进A种纪念品320件． 故答案为：320． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•兴庆区校级期末）解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来． （1） （2）． 解：（1）x﹣5+2＞2（x﹣3），（1分） x﹣5+2＞2x﹣6， x﹣2x＞3﹣6， ﹣x＞﹣3， x＜3．（4分） ∴原不等式的解集为x＜3； （2） 解由①得：5x﹣3＞3x﹣3， x＞0， 由②得：2x≥8， x≥4． ∴原不等式组的解集为x≥4． 22．（6分）（2024秋•临平区期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　一　 步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 　x＞﹣2　 ， 解不等式②，得 　x≤2　 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　﹣2＜x≤2　 ． 解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6， 故答案为：一； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2． 23．（8分）（2024春•蒲城县期末）科技节是某校为学生搭建科技创新平台，展现师生科技创新形象及科学素养的重大节日．该校在科技节活动中开展了以“科技创造未来”为主题的科普知识竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于88分将有奖品赠送．如果参赛选手想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？ 解：设他答对x道题，则答错或不答的题为（25﹣x）道， 根据题意得，4x﹣2（25﹣x）≥88， 解得x≥23， 答：他至少需要答对23道题． 24．（8分）（2024春•内乡县期末）近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元． （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 解：（1）设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元， 根据题意有：， 解得：， 故A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元． （2）设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为（100﹣a）件， 且100﹣a≥2a，则， 根据题意有：w＝150（100﹣a）+100a， 整理得：w＝﹣50a+15000， ∵﹣50＜0， ∴w随着a的增大而减小， 则当a取最大值33时，w取的最小值． 当a＝33时，100﹣a＝67， w＝﹣50×33+15000＝13350． 故购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为67件，总花费最少为13350元． 25．（8分）（2024春•金寨县校级期末）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗） 销售时段 周销售数量 周销售总利润 第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元 第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元 （1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？ （2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为40%定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？ 解：（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，由题意可得： ， 解得：， 答：A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元； （2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒， 由题意可得：60m+45n＝9000， 整理得：n＝200m， ∵第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完， ∴（80×0.9﹣60）m+40%×45n≥3000， 整理得：12m+18n≥3000， ∴12m+18×（200m）≥3000， 解得：m≤50， ∵m、n均为整数， ∴m＝48时，n＝20038＝136（盒）， ∴第三周最多进货A水果礼盒48盒． 26．（8分）（2024春•丰满区校级期末）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P （﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1， ∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3； （2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x， ∴A（，0）． ∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3， ∴B（3，0）． ∴S△ABPAB×55． （3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3． 27．（8分）（2023春•雁塔区校级期末）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得：， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需110万元． （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆， 由题意得， 解得：， 因为a是整数， 所以a＝4，5； 则共有两种购买方案： ①购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元； ②购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元； 购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元． 28．（8分）（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　﹣1　 　0　 　1　 　2　 　3　 　2　 　1　 　0　 　﹣1　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　﹣5　 ； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4　 ； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 解：【问题探究】（1）当x＝﹣4时，y＝﹣|﹣4|+3＝﹣4+3＝﹣1； 当x＝﹣3时，y＝﹣|﹣3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣|﹣2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝﹣1时，y＝﹣|﹣1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝0时，y＝﹣|0|+3＝3； 当x＝1时，y＝﹣|1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝2时，y＝﹣|2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝3时，y＝﹣|3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝4时，y＝﹣|4|+3＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1，0，1，2，3，2，1，0，﹣1． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． ∵函数y＝﹣|x|+3的图象关于y轴对称， ∴P（a，b），Q（5，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣5． 故答案为：﹣5． （3）由图象可知，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 故答案为：﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 【拓展运用】函数y＝|x|与yx+3的图象交于点A、B，S△AOB即为所求． ∵y＝|x|的图象与x轴夹角的正切值为1， ∴y＝|x|的图象与x轴的夹角为45°， ∴∠AOB＝90°． ∴SRt△AOBOA•OB． 由题意，得，解得或． ∴A（﹣6，6），B（2，2）． ∴OA6，OB2， ∴SRt△AOBOA•OB6212． ∴两图象所围成的图形面积为12 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$