专题01 三角形的证明(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题01 三角形的证明 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【细节剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点梳理02：直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【细节剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【细节剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点梳理04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【细节剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 易错知识点01：等腰三角形 1. 等腰三角形的性质混淆： 错误理解：误认为等腰三角形的任意两边相等或任意两角相等。 正确理解：等腰三角形的两腰相等，且两底角相等（等边对等角）。 2. “三线合一”的应用误区： 错误应用：在等腰三角形中，错误地认为任意一边上的中线、高线、角平分线都互相重合。 正确应用：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一），这一性质仅适用于底边和顶角。 3. 等腰三角形的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但忽视了这两个角必须是底角。 正确判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边），且这两个相等的角必须是底角。 易错知识点02：直角三角形 1. 勾股定理的误用： 错误使用：在非直角三角形中错误地应用勾股定理。 正确使用：勾股定理只适用于直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 30°-60°-90°直角三角形的性质遗忘： 遗忘性质：在30°-60°-90°的直角三角形中，忘记30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质。 正确应用：在30°-60°-90°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，且较短的直角边与斜边的比值为，较长的直角边与斜边的比值为。 3. 直角三角形全等的判定条件混淆： 错误判定：在判定直角三角形全等时，错误地认为只要一条直角边相等，两个三角形就全等。 正确判定：直角三角形全等的判定除了满足一般三角形的全等条件（SSS、SAS、ASA、AAS）外，还有HL定理（直角边-斜边定理），即一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。 易错知识点03：线段的垂直平分线 1. 垂直平分线性质的误用： 错误使用：在非垂直平分线上错误地应用垂直平分线的性质，即认为到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 正确使用：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，但反之，到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 2. 垂直平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到线段一点距离相等的点就在线段的垂直平分线上。 正确判定：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 3. 垂直平分线与三角形外心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），且外心到三角形三个顶点的距离相等。 正确理解：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 易错知识点04：角平分线 1. 角平分线性质的误用： 错误使用：在非角平分线上错误地应用角平分线的性质，即认为角平分线上的点到这个角的两边的距离不一定相等。 正确使用：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2. 角平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到一个角的一边距离相等的点就在这个角的平分线上。 正确判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 3. 角平分线与三角形内心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条角平分线相交于一点（内心），且内心到三角形三边的距离相等。 正确理解：三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心，且内心到三角形三边的距离相等。 试题满分：100分 难度系数：0.42（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2025•柳州二模）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 2．（2分）（2023秋•汨罗市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 3．（2分）（2024秋•遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 4．（2分）（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 5．（2分）（2023秋•南山区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 6．（2分）（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 7．（2分）（2022秋•通城县期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB＝30°，分别以点B，A为圆心，BC，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接CD，交AB的延长线于点E．有下列结论：①∠CBE＝60°；②S△ABC＝BE•CE；③AC＝CD；④AE垂直平分线段CD．其中，正确结论是（　　） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（2分）（2024秋•苏州期末）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 B． 9．（2分）（2023春•莲池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 10．（2分）（2019春•寿县期末）在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为（　　） A．1，，7 B．1，， C．1， D．1，3， 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2025春•金水区校级月考）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　 　 ． 12．（2分）（2024春•潢川县期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　 　 °． 13．（2分）（2024秋•海州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ． 14．（2分）（2024春•余干县校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，BC＝9，CD＝5，AD＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　 　 秒时，△ABP是等腰三角形． 15．（2分）（2023秋•海南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 　 　 秒时，△PBQ为直角三角形． 16．（2分）（2024春•赛罕区校级期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 　 　 ． 17．（2分）（2023秋•安徽期末）如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝　 　 度． 18．（2分）（2024春•双流区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，D为直线BC上的动点．过点B作BE⊥射线AD于点E，若，则BE的长为 　 　 ． 19．（2分）（2022春•锦江区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　 ． 20．（2分）（2024春•莲池区校级期末）如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形． 22．（6分）（2024秋•石首市期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 23．（8分）（2024春•金山区期末）（1）性质证明：已知：如图1，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，求证：AP平分∠BAC； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是△ABC的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是△ABC的一个旁心，求证：； ②已知点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心，AB＝2，在△O1O2O3中，∠O1＝30°，O1O2＝O1O3，且O2O3经过点B，求△O1O2O3的面积． 24．（8分）（2023春•项城市校级月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F． （1）如图1，EF与BE，CF之间的关系为 　 　 ． （2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出EF与BE，CF之间的正确关系，并说明理由． 25．（8分）（2024秋•市中区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 26．（8分）（2024春•武侯区期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 27．（8分）（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 　 　 （用含a的代数式表示）； （2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？ ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 　 　 ； ②小My同学按图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°． 请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号； ③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　 　 ． 28．（8分）（2023秋•蒲城县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题01 三角形的证明 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【细节剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点梳理02：直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【细节剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【细节剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点梳理04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【细节剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 易错知识点01：等腰三角形 1. 等腰三角形的性质混淆： 错误理解：误认为等腰三角形的任意两边相等或任意两角相等。 正确理解：等腰三角形的两腰相等，且两底角相等（等边对等角）。 2. “三线合一”的应用误区： 错误应用：在等腰三角形中，错误地认为任意一边上的中线、高线、角平分线都互相重合。 正确应用：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一），这一性质仅适用于底边和顶角。 3. 等腰三角形的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但忽视了这两个角必须是底角。 正确判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边），且这两个相等的角必须是底角。 易错知识点02：直角三角形 1. 勾股定理的误用： 错误使用：在非直角三角形中错误地应用勾股定理。 正确使用：勾股定理只适用于直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 30°-60°-90°直角三角形的性质遗忘： 遗忘性质：在30°-60°-90°的直角三角形中，忘记30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质。 正确应用：在30°-60°-90°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，且较短的直角边与斜边的比值为，较长的直角边与斜边的比值为。 3. 直角三角形全等的判定条件混淆： 错误判定：在判定直角三角形全等时，错误地认为只要一条直角边相等，两个三角形就全等。 正确判定：直角三角形全等的判定除了满足一般三角形的全等条件（SSS、SAS、ASA、AAS）外，还有HL定理（直角边-斜边定理），即一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。 易错知识点03：线段的垂直平分线 1. 垂直平分线性质的误用： 错误使用：在非垂直平分线上错误地应用垂直平分线的性质，即认为到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 正确使用：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，但反之，到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 2. 垂直平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到线段一点距离相等的点就在线段的垂直平分线上。 正确判定：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 3. 垂直平分线与三角形外心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），且外心到三角形三个顶点的距离相等。 正确理解：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 易错知识点04：角平分线 1. 角平分线性质的误用： 错误使用：在非角平分线上错误地应用角平分线的性质，即认为角平分线上的点到这个角的两边的距离不一定相等。 正确使用：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2. 角平分线的判定条件混淆： 错误判定：错误地认为只要到一个角的一边距离相等的点就在这个角的平分线上。 正确判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 3. 角平分线与三角形内心的关系理解不清： 理解不清：忽视三角形三条角平分线相交于一点（内心），且内心到三角形三边的距离相等。 正确理解：三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心，且内心到三角形三边的距离相等。 试题满分：100分 难度系数：0.42（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2025•柳州二模）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥CB， ∴DE＝DC， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCBC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝BC•CD+AB•DE， ∴8×6＝6CD+10DE， 解得：CD＝DE＝3， ∴△ABD的面积AB•DE10×3＝15， 故选：C． 2．（2分）（2023秋•汨罗市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置； 以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选：B． 3．（2分）（2024秋•遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 解：由题意可知：OP平分∠AOB，∠AOB＝50°， ∴， ∵EF＝EO， ∴∠AOF＝∠EFO＝25°， 所以∠EFO的度数为25°， 故选：B． 4．（2分）（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB6， 故选：D． 5．（2分）（2023秋•南山区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE， 又∵CE＝3， ∴CD＝3， 故选：C． 6．（2分）（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N， 由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG， ∴∠BCP＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB， 又∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM＝PN， ∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7， ∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3， ∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3， ∴AC：BC＝2：， ∴， 即S△ACP：S△BCP等于2：． 故选：A． 7．（2分）（2022秋•通城县期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB＝30°，分别以点B，A为圆心，BC，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接CD，交AB的延长线于点E．有下列结论：①∠CBE＝60°；②S△ABC＝BE•CE；③AC＝CD；④AE垂直平分线段CD．其中，正确结论是（　　） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 解：连接AD，BD， ∵∠CAB＝∠ACB＝30°， ∴BA＝BC， ∵∠CBE是△ABC的一个外角， ∴∠CBE＝∠CAB+∠ACB＝60°， 由题意得：BC＝BD，AD＝AC， ∴AE是CD的垂直平分线， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠CAB＝60°，∠BCE＝90°﹣∠CBE＝30°， ∴BC＝2BE， ∴S△ABCAB•CE BC•CE •2BE•CE ＝BE•CE， ∵AC＝AD，∠ACE＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC＝CD， 所以，上列结论，其中正确的是①②③④， 故选：D． 8．（2分）（2024秋•苏州期末）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形， ∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）， ∴S△ABC＝S△DBI， 设AC＝a，BC＝b，AB＝c， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE， S正方形ACFG+S△ABC+SS四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB， ∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S6﹣2＝4， ∴a2＝4， ∴a＝2（负值舍去）， 即AC＝2， 故选：D． 9．（2分）（2023春•莲池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 解：如图，连接FN， ∵CN⊥AF， ∴∠AMC＝∠AMN＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， 在△AMN和△AMC中， ， ∴△AMN≌△AMC（ASA）， ∴AC＝AN，故②正确； ∵△AMN≌△AMC， ∴CM＝NM， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵CM⊥AF， ∴EM＝FM， ∴四边形ENFC是菱形， ∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵AC≠BC， ∴∠B≠45°，故④错误； ∵四边形ENFC是菱形， ∴CM＝MN， ∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN， ∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCMS△ABC， ∴S△ABMS△ABC， ∴S△ABC＝16，则S△ABM＝8．故⑤正确． 综上所述：①②③⑤． 故选：C． 10．（2分）（2019春•寿县期末）在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为（　　） A．1，，7 B．1，， C．1， D．1，3， 解：如图1，当∠APB＝90°时， ∵AO＝BO， ∴PO＝BO， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOP＝60°， ∴△BOP为等边三角形， ∵AB＝BC＝2， ∴AP＝AB•sin60°＝2； 如图2，当∠ABP＝90°时， ∵∠AOC＝∠BOP＝60°， ∴∠BPO＝30°， ∴BP， 在直角三角形ABP中， AP； 如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°， ∴PO＝AO， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP＝AO＝1， 故选：C． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2025春•金水区校级月考）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　　 ． 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴3×4＝4CD+5DE， 解得：CD＝DE， 故答案为：． 12．（2分）（2024春•潢川县期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　45　 °． 解：连接AC， 由题意得：AC2＝12+22＝5， BC2＝12+22＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， 故答案为：45． 13．（2分）（2024秋•海州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　 ． 解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15， 故答案为：15． 14．（2分）（2024春•余干县校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，BC＝9，CD＝5，AD＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　4或11.5或16　 秒时，△ABP是等腰三角形． 解：①当点P在BC上时，如图1，AB＝BP＝4， ∴t＝4÷1＝4（秒）； ②当点P在CD上时，AP＝BP，过P作PE⊥AB于P， ∴AE＝BE， ∵∠DAB＝∠ABC＝∠AEP＝90°， ∴AD∥EP∥BC， ∴DP＝PC， ∴t＝911.5（秒）； ③当点P在AD上时，AB＝AP＝4， ∴PD＝AD﹣AP＝6﹣4＝2， ∴t＝9+5+2＝16（秒）； 综上，t的值是4秒或11.5秒或16秒时，△ABP是等腰三角形． 故答案为：4或11.5或16． 15．（2分）（2023秋•海南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 　10或16　 秒时，△PBQ为直角三角形． 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm， ∴BCAB＝20（cm），∠B＝90°﹣∠A＝60°， 由题意得：BQ＝t cm，AP＝2t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（40﹣2t）cm， 分两种情况： 当∠BQP＝90°时，如图： ∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°， ∴BP＝2BQ， ∴40﹣2t＝2t， 解得：t＝10； 当∠BPQ＝90°时，如图： ∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°， ∴BQ＝2BP， ∴2＝2（40﹣2t）， 解得：t＝16； 综上所述：当点P运动10或16秒时，△PBQ为直角三角形， 故答案为：10或16． 16．（2分）（2024春•赛罕区校级期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 　18.5　 ． 解：∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，S1＝16，S2＝25， ∴AC＝4，AB＝AH＝5， ∵∠ACB＝90°， ∴BC3， ∴四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积 AC•BCAB•AH 4×35×5 ＝6+12.5 ＝18.5， 故答案为：18.5． 17．（2分）（2023秋•安徽期末）如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝　73　 度． 解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N， ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DN是AC的垂直平分线， ∴NCAC， ∵AC＝BC， ∴NCBC， 在Rt△BMC中，∠DBC＝30°， ∴CMBC， ∴CM＝CN， 在Rt△DNC和Rt△DMC中， ∵， ∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL）， ∴∠DCM＝∠DCN＝13°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠MCB＝60°， ∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°， 又∵AC＝BC， ∴∠A（180°﹣34°）＝73°， 故答案为：73． 18．（2分）（2024春•双流区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，D为直线BC上的动点．过点B作BE⊥射线AD于点E，若，则BE的长为 　或　 ． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC； 分三种情况：①点D在BC的延长线上，如图： ∵， ∴AE＝DE， ∵BE⊥AD， ∴BD＝AD＝4， ∴CD＝BD﹣BC＝4﹣3＝1， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AD＝2； ∴AEAB； 在Rt△BED中，由勾股定理可得，BE； ②点D在线段AC上时，如图： ∵， ∴此情况不存在； ③点D在线段CB的延长线上时，如图： ∵， ∴AE＝DE， ∵BE⊥AD， ∴BD＝AB＝4， ∴CD＝BD+BC＝4+3＝7， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AD＝2； ∴AEAD； 在Rt△BED中，由勾股定理可得，BE； 综上，BE的长为或． 故答案为：或． 19．（2分）（2022春•锦江区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　 ． 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠BAC） ＝90°∠BAC， 即∠BAC＝2∠BPC﹣180°； 如图，连接AO． ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC） ＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ＝2∠OAB+2∠OAC ＝2∠BAC ＝2（2∠BPC﹣180°） ＝4∠BPC﹣360°， 故答案为：4∠BPC﹣360°． 20．（2分）（2024春•莲池区校级期末）如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值　2秒，4秒或14秒　 ． 解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G ∵点B（﹣8，8），点C（﹣2，0）， ∴DC＝6cm，BD＝8cm，由勾股定理得：BC＝10cm， ∴在直角三角形COG中，OC＝2cm，CG＝BC＝10cm， ∴OG（cm）． 当点P运动到点F或点H时，BE＝8cm，BH＝BF＝10cm， ∴EF＝EH＝6cm， ∴OF＝8﹣6＝2（cm），OH＝8+6＝14（cm）， ∵运动速度为1cm/s， ∴t的所有值为2秒，秒或14秒． 故答案为：2秒，秒或14秒． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形． 22．（6分）（2024秋•石首市期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　4　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． 23．（8分）（2024春•金山区期末）（1）性质证明：已知：如图1，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，求证：AP平分∠BAC； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是△ABC的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是△ABC的一个旁心，求证：； ②已知点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心，AB＝2，在△O1O2O3中，∠O1＝30°，O1O2＝O1O3，且O2O3经过点B，求△O1O2O3的面积． （1）证明：如图1，过P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D． ∵BP平分∠CBE（已知），PE⊥AB，PF⊥BC（已作）， ∴PE＝PF（角平分线的性质）． 同理得：PF＝PD（角平分线的性质）． ∴PE＝PD（等量代换）． 又∵PE⊥AB，PD⊥AC（已知）， ∴AP平分∠BAC（角平分线性质的逆定理）； （2）①证明：如图2，延长BA至E，延长BC至F， ∵点O是△ABC的一个旁心， ∴AO，CO分别平分∠EAC，∠FCA． ∴∠CAO∠CAE，∠ACO∠ACF（角平分线的定义）． 在△ACO中，∵∠O＝180°﹣∠CAO﹣∠ACO， ∴∠O＝180°∠CAE∠ACF＝180°（∠CAE+∠ACF）． 又∵∠CAE＝∠B+∠BCA，∠ACF＝∠B+∠BAC， ∴∠CAE+∠ACF＝∠B+∠BCA+∠B+∠BAC＝∠B+180°． ∴∠O＝180°（∠ABC+180°）＝90°∠ABC； ②解：如图3，过点C作CD⊥O1O2于D，过点O2作O2E⊥AB于E，过点B作BF⊥AC于F， ∵∠O1＝30°，O1O2＝O1O3， ∴∠AO2B＝∠O3＝75°， ∵点O1、O2、O3是△ABC的三个旁心， ∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠ACB＝30°（由①的结论得出）， ∴AB＝BC＝2，∠ABO2＝30°， ∴∠BAO2＝75°＝∠BO2A， ∴O2B＝AB＝2， ∵BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠BFC＝90°， ∴BF＝1，AF＝CF， ∴AC＝2， Rt△BEO2中，O2EO2B＝1， ∴△ABO2的面积2×1＝1， 同理可得：△BCO3的面积2×1＝1， 设CD＝a，则CO1＝2CD＝2a，O1Da， ∴AD＝2aa， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴（2）2＝（2aa）2+a2， ∴a2＝6+3， ∵△O1O2O3的面积＝△ABC的面积+△ACO1的面积+2△ABO2的面积， ∴△O1O2O3的面积21•2a•a+26+32＝8+4． 24．（8分）（2023春•项城市校级月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F． （1）如图1，EF与BE，CF之间的关系为 　EF＝BE+CF　 ． （2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出EF与BE，CF之间的正确关系，并说明理由． 解：（1）EF＝BE+CF， 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∵EF＝EO+FO， ∴EF＝BE+CF， 故答案为：EF＝BE+CF； （2）（1）中的结论不成立，EF与BE，CF之间的正确关系是EF＝BE﹣CF， 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCD＝∠FOC， ∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∵EF＝EO﹣FO， ∴EF＝BE﹣CF． 25．（8分）（2024秋•市中区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 26．（8分）（2024春•武侯区期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　a2+b2+2m2　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　m　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴m． 故答案为：a2+b2+2m2，，m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m． ∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米， ∴xy＝32． 由（1）得：， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 27．（8分）（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 　a2　 （用含a的代数式表示）； （2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？ ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 　　 ； ②小My同学按图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°． 请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号； ③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　1　 ． 解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD＝CDBCa， ∴ADa， ∴S△ABCBC•ADa2； （2）①∵边长为2的正方形的面积＝4， ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4， ∴a2＝4， ∴a2， 即该三角形边长的平方是； ②补全图形如图2所示； ③由题意知，PG＝PE，GN＝NF， ∴PN是△GEF的中位线， ∴PNEF， ∵N为AB边上的中点， ∴BNAB＝1， ∵边长为2的正方形的面积＝4， ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4， ∴a2＝4， ∴a2， 即△GEF边长的平方是， ∴EF， ∴PN， ∵PN2＝BN2+BP2， ∴1+x2， ∴x21； 故答案为：（1）a2；（2）①；③1； 28．（8分）（2023秋•蒲城县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 解：（1）是． 理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$