第2讲 比较分数的大小(讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的" 举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要 点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 在小学奥数比赛中，经常会出现比较大小的题目，通常是比 较分数的大小。常用的比较分数大小的方法有： 一、通分比较法：先统一分母，再比较分子，分子越大分数 越大。也可先统一分子，再比较分母，分母越小分数越大。 二、倒数比较法：倒数大的分数，小于倒数小的分数。 三、相减比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的差， 若差大于 0，则前者大于后者；若差小于 0，则后者大于前者。 四、相除比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的商， 比较分数的大小第 2讲 专题概述 若商为真分数，即商小于 1，则前者小于后者；若商为假分数，即 商大于 1，则前者大于后者。 五、交叉相乘比较法：有两个分数 b a 与 d c ，若 bc > ad，则 b a > d c 六、中间数比较法：通过比较中间数，来比较两个数的大小。 此类方法，需要将已知数或算式进行适当变形。 此外，还有用"1"减法、化简公式法、化小数比较法等。 【例 1】比较 4 7 和 3 8 （用多种方法解答） 【思维点拨】解法一：先通分，把这两个异分母的分数化为同分母 的分数，再比较分子，根据分子的大小，分别判断两个分数的大小 。 4 7 = 4 × 8 7 × 8 = 32 56 , 3 8 = 3 × 7 8 × 7 = 21 56 因为 32 56 > 21 56 ，所以 4 7 > 3 8 解法二：先把两个分数化为分子相同的数，再比较分母，根据"分 重点例题 1 子相同的两个分数，分母大的反而小"的原则，来判断两个分数的 大小。 4 7 = 4 × 3 7 × 3 = 12 21 , 3 8 = 3 × 4 8 × 4 = 12 32 因为 12 21 > 12 32 ，所以 4 7 > 3 8 解法三：选取 1 2 作为中间数，再用这两个数分别和 1 2 作比较，从 而判断两个分数的大小。因为 1 2 = 3.5 7 , 4 7 > 3.5 7 ，所以 4 7 > 1 2 。 因为 1 2 = 4 8 , 3 8 < 4 8 ，所以 1 2 > 3 8 。因为 4 7 > 1 2 > 3 8 ，所以 4 7 > 3 8 。 解法四：选取 3 7 作为中间数，再用这两个数分别和 3 7 作比较，从 而判断两个分数的大小。因为 4 7 > 3 7 , 3 7 > 3 8 ，所以 4 7 > 3 8 。 解 法 五 ： 交 叉 相 乘 比 较 法 。 设 b a = 4 7 , d c = 3 8 ， 因 为 bc = 4 × 8 = 32, ad = 7 × 3 = 21, 32 > 21，所以 b a > d c ， 即 4 7 > 3 8 。 解法六：相除比较法。将这两个分数相除，看商是等于 1，大于 1， 还是小于 1。如果商等于 1，则这两个数相等；如果商大于 1，则 被除数大于除数；如果商小于 1，则被除数小于除数。 4 7 ÷ 3 8 = 4 7 × 8 3 = 32 21 因为 32 21 > 1，所以 4 7 > 3 8 培优拔尖 1 1．比较 23 36 和 22 37 的大小。（提示：中间数比较法） 2．比较 777773 777778 和 888884 888889 的大小。 3．比较 111 1111 和 1111 11111 的大小。（提示：倒数比较法） 【例 2】 A = 4 5 × 6 7 × 8 9 × ⋯ × 1000000 1000001 , B = 0.005, 比较 A 和 B 的大小。 【思维点拨】本题若直接计算 A 的结果，再判断 A 和 B 的大小， 则非常困难。我们可以在 A 中插入一个乘式 C = 5 6 × 7 8 × 9 10 × ⋯ × 1000001 1000002 ，通过约分的方法，进行化简，计算的结果就简 单多了，即可进行比较大小。 设 C = 5 6 × 7 8 × 9 10 × ⋯ × 1000001 1000002 ，则 A × C = 4 5 × 5 6 × 6 7 × 7 8 × 8 9 × ⋯ × 1000000 1000001 × 1000001 1000002 = 4 1000002 。 因为 4 5 < 5 6 , 6 7 < 7 8 , ⋯, 1000000 1000001 < 1000001 1000002 ，所以 A2 < A × C = 4 1000002 < 4 1000000 。 而 4 1000000 = 2 1000 2 = (0.002)2， 所 以 A < 0.002， 那 么 A < 0.005，即 A < B。 本题的诀窍在于，借助插入的中间数进行比较，使原式简化，因此 确定中间数是关键。 重点例题 2 1．用 A 表示4 5 × 6 7 × 8 9 …× 1000000 1000001 的积，比较 A 与 0.0017 的大小． 2．已知：A=1 2 × 3 4 × 5 6 ×… 97 98 × 99 100 ，B=2 3 × 4 5 × 6 7 ×…× 96 97 × 98 99 ，C= 1 10 ．请 比较 A、B、C 三个数的大小． 3．已知 a=1 2 × 3 4 × 5 6 × 7 8 ，b=2 3 × 4 5 × 6 7 × 8 9 ，c=1 3 ，则下列结 培优拔尖 2 论正确的是（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 4．比较 A、B、C 三个数的大小 ______＜______＜______. A = 1 3 × 4 6 × 7 9 × ⋯ × 118 120 ； B = 3 4 × 6 7 × 9 10 × ⋯ × 120 121 ； C = 1 11 ． 【例 3】 分数 5 7 ， 15 17 ， 4 9 ， 40 124 ， 103 309 ，哪一个最大？ 【思维点拨】观察可知， 40 124 = 10 31 ， 103 309 = 1 3 。因为五个分数的分母 分别为 7、17、9、31、3，所以用通分的方法比较大小，计算量比 较大。我们注意到，五个分数的分子分别为 5、15、4、10、1，最 小公倍数是 60，因此化为同分子的分数，反而会很简单。因为 5 7 = 重点例题 3 60 84 ， 15 17 = 60 68 ， 4 9 = 60 135 ， 40 124 = 60 186 ， 103 309 = 60 180 又因为五个同分子的分数中 60 68 的分母最小，所以 60 68 最大，即 15 17 最大。特别提示：我们通过观察，注意到只有 5 7 和 15 17 大于 1 2 ，因 此只要比较 5 7 和 15 17 的大小即可。 1．比较分数的大小． ① 2 3 ， 5 8 ， 15 23 ， 10 17 ， 12 19 ． ② 4443 5554 ， 5557 6668 ， 6662 7773 ． 培优拔尖 3 2．比较大小： （1）把 3 个数13 24 ， 18 35 ， 31 59 由小到大排列起来； （2）把 5 个数10 17 ， 12 19 ， 15 23 ， 20 33 ， 60 101 由小到大排列起来． 【例 4】 不求和，比较 2005 2003 2004 +2004 2002 2005 与 2006 2003 2004 +2003 2002 2005 的大小。 重点例题 4、5 【思维点拨】不求和，我们能否尝试求出这两个式子的差呢？这是 个很有效的方法。利用假分数的性质和加法分配律，我们不难得出 结果。因为 (2005 2003 2004 + 2004 2002 2005 )−(2006 2003 2004 + 2003 2002 2005 ) = (2005 + 2003 + 2004) [2005 + 2004−(2006 + 2003)]−[ 2003 2004 + 2002 2005 −( 2003 2004 + 2002 2005 )] = 0−0 = 0 所以 2005 2003 2004 +2004 2002 2005 = 2006 2003 2004 【例 5】 比较 9999995 9999997 和 6666661 6666663 的大小。 【思维点拨】方法一：这两个分数的分子和分母都很接近，而且相 差 2，因此我们可以找到一个标准数。因为这两个分数都比 1略小， 所以我们可以用"1"减法。 9999995 9999997 = 1− 2 9999997 ， 6666661 6666663 = 1− 2 6666663 因为 2 9999997 < 2 6666663 ，在被减数相同时，减数越小，说明差越大， 所以 9999995 9999997 > 6666661 6666663 方法二：本题也可用求倒数的方法进行比较。 9999995 9999997 = 1 + 2 9999995 ， 6666661 6666663 = 1 + 2 6666661 比较倒数右边的结果，1 + 2 6666661 > 1 + 2 9999995 ，所以 6666663 6666661 > 9999997 9999995 ，也就是说 9999995 9999997 > 6666661 6666663 1．不求和，比较 19951993 1994 +11941992 1995 与 19961993 1994 +19931992 1995 的大小。 3．比较777773 777778 和 888884 888889 的大小。 培优拔尖 4 【例 6】 比较分数 4780 4779 和 4779 4778 的大小。 【思维点拨】观察这两个分数，我们会发现：这两个分数可以写成 同一个整数加一个分数的和的形式，而且它们的分子相同。只要比 较出加上的分数的大小，就可以判断出原分数的大小了。 4780 4779 = 1 + 1 4779 ， 4779 4778 = 1 + 1 4778 因为 1 4779 < 1 4778 ， 所以 4780 4779 < 4779 4778 。 【例 7】 比较分数 666665 666667 和 777776 777778 的大小。 【思维点拨】这两个分数的分子和分母很接近，且相差 2，可先分 别求出与之和为1的另一个分数，比较两个分子相同的分数的大小， 再比较原来的两个分数的大小。因为 666665 666667 = 1− 2 666667 ， 777776 777778 = 1− 2 777778 ， 重点例题 6、7 而 2 666667 > 2 777778 ，所以 1− 2 666667 < 1− 2 777778 ，即 666665 666667 < 777776 777778 。 1．A=777772 777777 ，B=666661 666666 ，A 和 B 哪个数大？ 2．比较分数的大小98 99 与 1994 1995 ； 培优拔尖 5 第2讲 比较分数的大小 强化训练 1．下列分数最大的是（　　） A． B． C． D． 2．在横线里填入＜、＞或= （1）______ （2）______ （3）______． 3．把，，三个分数按照从小到大的顺序排列起来。 4． 把分数、、、按从大到小的顺序排列。 5． 这里有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？ 6． 比较和的大小。 7． 比较和的大小。 8． 将下列各组分数用“＜”连起来 （1），，， （2），，， 9． 比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 10． 比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 11．比较下列各组两个分数的大小。 ①和 ②和 ③和 12．比较下列各组两个分数的大小。 ①与 ②与 ③与 ④与 学科网（北京）股份有限公司 $$第2讲比较分数的大小强化训练 1.下列分数最大的是（) A. 9998 B. 998 C. 9999 999 99 n.9 2.在横线里填入<、>或 (1)3 93-14 981 98-14 (2) 7777775 6666661 7777777 6666663 (3) 111111110 444444443 222222221 888888887 3.把 42 580 43’ 14三个分数按照从小到大的顺序排列起来。 1428 4.把分数号后号按从大到小的顺序排列。 5.这里有5个分数： 景品品兽指 1 如果按大小顺序排列，排在中间的是哪 个数？ 6.比较553和662的大小。 5555666665 7.比较器和的大小. 8.将下列各组分数用“<”连起来 (1),,6, 19'2331913 2)号品高贵 9.比较下列分数的大小： (1)8与1994 991995 (2)1110与4443 22221 88887 10.比较下列分数的大小： (1)12345与12346 56789 56790 (2) 20052005七20052 2006200620062 11.比较下列各组两个分数的大小。 ①3332和444 ②66665和7779 ③88883和5666 33335“44446 666667 “777778 8888566664 12.比较下列各组两个分数的大小。 ①12345与12345-1000 ②12345与12345+1000 123456123456-1000 123456 123456+1000 ③888与8S888-1234 ④98888与S8888 +1234 6543 76543-1234 76543 76543+1234 第2讲 比较分数的大小 强化训练 1．下列分数最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：1-= 1-= 1-= 1-= 因为 所以 所以最大的是。 故选：A。 2．在横线里填入＜、＞或= （1）______ （2）______ （3）______． 【解答】解：（1）由=＜，如=＜，得出结论，分子分母同时减去一个正整数，则分数的值变小； 所以＞； （2）因为＜， 则1-＞1-， 即：＞； （3）因为=1-=1-， =1-， 因为＞（分子相同，分母小的分数值大）， 所以1-＜1-， 即：＜． 故答案为：＞，＞，＜． 3．把，，三个分数按照从小到大的顺序排列起来。 【答案】＜＜。 【解答】解：因为1-= 1-= 1-= 因为43＜580＜1428 所以＞＞ 所以＜＜ 4．把分数、、、按从大到小的顺序排列。 【答案】＞＞＞。 【解答】解：因为6＜7，所以＜， 因为13＜25，所以＞， 因为8＜13，所以＜， 故：＞＞＞。 5．这里有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？ 【解答】解：分子的最小公倍数是60，给出的5个分数依次等于： ，，，，，比较分母的大小，居中的分数是，即． 6．比较和的大小。 【答案】。 【解答】解：， 因为 所以。 7．比较和的大小。 【答案】。 【解答】解：因为，，所以。 8．将下列各组分数用“＜”连起来 （1），，， （2），，， 【解答】解：（1）∵＜，＜，＜ ∴ （2）∵18÷49≈0.3673，41÷111≈0.3694，47÷129≈0.3643，51÷139≈0.3669 ∴＜＜＜ 故：答案如下图 9．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 【解答】解：（1）- =1--（1-） =1-1+- =- 因为分子相同时，分母大的分数就小， 所以：＜ 所以：-＜0 故＜； （2）由（1）可知： ＜ 两边同时除以2， 即为：＜ 10．比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 【解答】解：（1）因为- = = = =-＜0， 所以＜； （2）=， =， 因为=-＜0， 所以，1-， 即＞． 11．比较下列各组两个分数的大小。 ①和 ②和 ③和 【答案】①＜；②＜；③＞。 【解答】解：①， ， 因为， 所以。 ②， ， 因为， 所以。 ③， ， 因为， 所以。 12．比较下列各组两个分数的大小。 ①与 ②与 ③与 ④与 【答案】①＞；②＜；③＜；④＞。 【解答】解：根据分析可得： ①＞ ②＜ ③＜ ④＞ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               比较分数的大小 第2讲     专题概述 在小学奥数比赛中，经常会出现比较大小的题目，通常是比较分数的大小。常用的比较分数大小的方法有： 一、通分比较法：先统一分母，再比较分子，分子越大分数越大。也可先统一分子，再比较分母，分母越小分数越大。 二、倒数比较法：倒数大的分数，小于倒数小的分数。 三、相减比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的差，若差大于0，则前者大于后者；若差小于0，则后者大于前者。 四、相除比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的商，若商为真分数，即商小于1，则前者小于后者；若商为假分数，即商大于1，则前者大于后者。 五、交叉相乘比较法：有两个分数 与 ，若 ，则 六、中间数比较法：通过比较中间数，来比较两个数的大小。此类方法，需要将已知数或算式进行适当变形。 此外，还有用"1"减法、化简公式法、化小数比较法等。 重点例题1 【例1】比较 和 （用多种方法解答） 【思维点拨】解法一：先通分，把这两个异分母的分数化为同分母的分数，再比较分子，根据分子的大小，分别判断两个分数的大小。 , 因为 ，所以 解法二：先把两个分数化为分子相同的数，再比较分母，根据"分子相同的两个分数，分母大的反而小"的原则，来判断两个分数的大小。 , 因为 ，所以 解法三：选取 作为中间数，再用这两个数分别和 作比较，从而判断两个分数的大小。因为 , ，所以 。 因为 , ，所以 。因为 ，所以 。 解法四：选取 作为中间数，再用这两个数分别和 作比较，从而判断两个分数的大小。因为 , ，所以 。 解法五：交叉相乘比较法。设 , ，因为 , , ，所以 ，即 。 解法六：相除比较法。将这两个分数相除，看商是等于1，大于1，还是小于1。如果商等于1，则这两个数相等；如果商大于1，则被除数大于除数；如果商小于1，则被除数小于除数。 因为 ，所以 培优拔尖1 1．比较和的大小。（提示：中间数比较法） 2．比较和的大小。 3．比较和的大小。（提示：倒数比较法） 重点例题2 【例2】 , , 比较 和 的大小。 【思维点拨】本题若直接计算 的结果，再判断 和 的大小，则非常困难。我们可以在 中插入一个乘式 ，通过约分的方法，进行化简，计算的结果就简单多了，即可进行比较大小。 设 ，则 。 因为 , , ⋯, ，所以 。 而 ，所以 ，那么 ，即 。 本题的诀窍在于，借助插入的中间数进行比较，使原式简化，因此确定中间数是关键。 培优拔尖2 1．用A表示××…×的积，比较A与0.0017的大小． 2．已知：A=×××…×，B=×××…××，C=．请比较A、B、C三个数的大小． 3．已知a=，b=，c=，则下列结论正确的是（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 4． 比较A、B、C三个数的大小 ______＜______＜______. ； ； ． 重点例题3 【例3】 分数 ，，，，，哪一个最大？ 【思维点拨】观察可知，，。因为五个分数的分母分别为7、17、9、31、3，所以用通分的方法比较大小，计算量比较大。我们注意到，五个分数的分子分别为5、15、4、10、1，最小公倍数是60，因此化为同分子的分数，反而会很简单。因为 ，， ，， 又因为五个同分子的分数中 的分母最小，所以 最大，即 最大。特别提示：我们通过观察，注意到只有 和 大于 ，因此只要比较 和 的大小即可。 培优拔尖3 1．比较分数的大小． ①，，，，． ②，，． 2． 比较大小： （1）把3个数，，由小到大排列起来； （2）把5个数，，，，由小到大排列起来． 重点例题4、5 【例4】 不求和，比较 与 的大小。 【思维点拨】不求和，我们能否尝试求出这两个式子的差呢？这是个很有效的方法。利用假分数的性质和加法分配律，我们不难得出结果。因为 所以 【例5】 比较 和 的大小。 【思维点拨】方法一：这两个分数的分子和分母都很接近，而且相差2，因此我们可以找到一个标准数。因为这两个分数都比1略小，所以我们可以用"1"减法。 ， 因为 ，在被减数相同时，减数越小，说明差越大， 所以 方法二：本题也可用求倒数的方法进行比较。 ， 比较倒数右边的结果，，所以 ，也就是说 培优拔尖4 1．不求和，比较1995+1194与1996+1993的大小。 3． 比较和的大小。 重点例题6、7 【例6】 比较分数 和 的大小。 【思维点拨】观察这两个分数，我们会发现：这两个分数可以写成同一个整数加一个分数的和的形式，而且它们的分子相同。只要比较出加上的分数的大小，就可以判断出原分数的大小了。 ， 因为 ， 所以 。 【例7】 比较分数 和 的大小。 【思维点拨】这两个分数的分子和分母很接近，且相差2，可先分别求出与之和为1的另一个分数，比较两个分子相同的分数的大小，再比较原来的两个分数的大小。因为 ，， 而 ，所以 ，即 。 培优拔尖5 1．A=，B=，A和B哪个数大？ 2．比较分数的大小与； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.参考答案，解析要点：书后附有参考答案，不但对每讲中的"举一反三"和"培优拔尖"题目给出正确答案，还对大部分难题进行要点分析，列出必要的解题步骤，提供科学易懂的解题思路。 5.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               比较分数的大小 第2讲     专题概述 在小学奥数比赛中，经常会出现比较大小的题目，通常是比较分数的大小。常用的比较分数大小的方法有： 一、通分比较法：先统一分母，再比较分子，分子越大分数越大。也可先统一分子，再比较分母，分母越小分数越大。 二、倒数比较法：倒数大的分数，小于倒数小的分数。 三、相减比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的差，若差大于0，则前者大于后者；若差小于0，则后者大于前者。 四、相除比较法：比较两个分数的大小，可先计算它们的商，若商为真分数，即商小于1，则前者小于后者；若商为假分数，即商大于1，则前者大于后者。 五、交叉相乘比较法：有两个分数 与 ，若 ，则 六、中间数比较法：通过比较中间数，来比较两个数的大小。此类方法，需要将已知数或算式进行适当变形。 此外，还有用"1"减法、化简公式法、化小数比较法等。 重点例题1 【例1】比较 和 （用多种方法解答） 【思维点拨】解法一：先通分，把这两个异分母的分数化为同分母的分数，再比较分子，根据分子的大小，分别判断两个分数的大小。 , 因为 ，所以 解法二：先把两个分数化为分子相同的数，再比较分母，根据"分子相同的两个分数，分母大的反而小"的原则，来判断两个分数的大小。 , 因为 ，所以 解法三：选取 作为中间数，再用这两个数分别和 作比较，从而判断两个分数的大小。因为 , ，所以 。 因为 , ，所以 。因为 ，所以 。 解法四：选取 作为中间数，再用这两个数分别和 作比较，从而判断两个分数的大小。因为 , ，所以 。 解法五：交叉相乘比较法。设 , ，因为 , , ，所以 ，即 。 解法六：相除比较法。将这两个分数相除，看商是等于1，大于1，还是小于1。如果商等于1，则这两个数相等；如果商大于1，则被除数大于除数；如果商小于1，则被除数小于除数。 因为 ，所以 培优拔尖1 1．比较和的大小。（提示：中间数比较法） 【答案】＞。 【解答】解：因为，， 所以＞。 2．比较和的大小。 【答案】＜。 【解答】解：因为=1-，=1-， 因为 ＞， 所以＜。 3．比较和的大小。（提示：倒数比较法） 【答案】＞。 【解答】解：因为=10 =10 因为111＜1111 所以10＜10 所以＞ 重点例题2 【例2】 , , 比较 和 的大小。 【思维点拨】本题若直接计算 的结果，再判断 和 的大小，则非常困难。我们可以在 中插入一个乘式 ，通过约分的方法，进行化简，计算的结果就简单多了，即可进行比较大小。 设 ，则 。 因为 , , ⋯, ，所以 。 而 ，所以 ，那么 ，即 。 本题的诀窍在于，借助插入的中间数进行比较，使原式简化，因此确定中间数是关键。 培优拔尖2 1．用A表示××…×的积，比较A与0.0017的大小． 【解答】解：××…×＜××××…×， 将上面不等式的左右两边同时乘以A，得： A2＜××××…×， 将右边进行约分、整理，得到： A2＜， 所以A＜=0.002， 因为0.002＞0.0017， 所以A＞0.007． 2．已知：A=×××…×，B=×××…××，C=．请比较A、B、C三个数的大小． 【解答】解：因为A=×××…×，B=×××…××， 且，…， 所以A＜B； 又：A×B= 故：A×A＜ 所以，A＜B＜． 3．已知a=，b=，c=，则下列结论正确的是（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【答案】D 【解答】解：因为＜，＜，＜，＜ 所以＜，即a＜b 又因为ab==×= =，a＜b,所以a＜，b＞ 又知：c= 所以a＜c＜b 故选：D。 4．比较A、B、C三个数的大小 ______＜______＜______. ； ； ． 【答案】A，C，B。 【解答】解：因为＜，＜，••••••，＜，所以A＜B，又因为A×B==C2，所以C介于A和B之间，因此三个数的大小关系是A＜C＜B， 故答案为A＜C＜B。 重点例题3 【例3】 分数 ，，，，，哪一个最大？ 【思维点拨】观察可知，，。因为五个分数的分母分别为7、17、9、31、3，所以用通分的方法比较大小，计算量比较大。我们注意到，五个分数的分子分别为5、15、4、10、1，最小公倍数是60，因此化为同分子的分数，反而会很简单。因为 ，， ，， 又因为五个同分子的分数中 的分母最小，所以 最大，即 最大。特别提示：我们通过观察，注意到只有 和 大于 ，因此只要比较 和 的大小即可。 培优拔尖3 1．比较分数的大小． ①，，，，． ②，，． 【解答】解：①因为 所以，． ② 所以 2．比较大小： （1）把3个数，，由小到大排列起来； （2）把5个数，，，，由小到大排列起来． 【解答】解：（1）-==，-=，-=， 因为， 所以； （2）因为=，=，=，=，=， ， 所以． 重点例题4、5 【例4】 不求和，比较 与 的大小。 【思维点拨】不求和，我们能否尝试求出这两个式子的差呢？这是个很有效的方法。利用假分数的性质和加法分配律，我们不难得出结果。因为 所以 【例5】 比较 和 的大小。 【思维点拨】方法一：这两个分数的分子和分母都很接近，而且相差2，因此我们可以找到一个标准数。因为这两个分数都比1略小，所以我们可以用"1"减法。 ， 因为 ，在被减数相同时，减数越小，说明差越大， 所以 方法二：本题也可用求倒数的方法进行比较。 ， 比较倒数右边的结果，，所以 ，也就是说 培优拔尖4 1．不求和，比较1995+1194与1996+1993的大小。 【答案】1995+1994=1996+1993 【解答】解：（1995+1994）-（1996+1993） =（1995++1994+）-（1996++1993+） =（1995+1994-1996-1993）-（+--） =0-0 =0 即1995+1994=1996+1993 2．比较和的大小。 【答案】＜。 【解答】解：因为=1-，=1-， 因为 ＞， 所以＜。 重点例题6、7 【例6】 比较分数 和 的大小。 【思维点拨】观察这两个分数，我们会发现：这两个分数可以写成同一个整数加一个分数的和的形式，而且它们的分子相同。只要比较出加上的分数的大小，就可以判断出原分数的大小了。 ， 因为 ， 所以 。 【例7】 比较分数 和 的大小。 【思维点拨】这两个分数的分子和分母很接近，且相差2，可先分别求出与之和为1的另一个分数，比较两个分子相同的分数的大小，再比较原来的两个分数的大小。因为 ，， 而 ，所以 ，即 。 培优拔尖5 1．A=，B=，A和B哪个数大？ 【解答】解：（1）A==1-，B==1-，所以A＞B． 2．比较分数的大小与； 【解答】解：（1）- =1--（1-） =1-1+- =- 因为分子相同时，分母大的分数就小， 所以：＜ 所以：-＜0 故＜； 学科网（北京）股份有限公司 $$