2025年九年级中考数学模拟卷03（湖北专用）-备战2025年中考复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级中考数学模拟卷03 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝8x3 C．（﹣2x3）2＝4x5 D．2xy2•3yx2＝6x2y4 4．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 5．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．ba C．b﹣a D．b+a 6．下列叙述正确的是（　　） A．了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用全面调查 B．打开电视，正在播放节目《中国诗词大会》是必然事件 C．将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差增大 D．在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数. 7．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在公元263年撰写的《九章算术》中提出了一种估计π的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正6n边形的周长估计圆的周长进而估计π的近似值，且n越大时圆内接正6n边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近π．当n＝1时，如图，用这种方法估计此时π的近似值为（　　） A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.141 9．如图，在直角坐标系中，已知△ABC中，B的坐标为（4，2），以原点O为位似中心，在第一象限内作△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：2，则顶点B′的坐标为（　　） A．（4，8） B．（8，4） C．（1，2） D．（2，1） 10．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（　　） A． ①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤ B． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，如果将“向东走5米”记为“+5米”，那么“向西走6米”记为 　 　 ． 12．为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为 　 　 ． 13．已知，则的值为 　 　 ． 14．明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为 　 　 分钟． 15．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF，则：①∠CDG＝　 　 ；②若AB＝2，则EF＝　 　 ． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）计算：． 17．（6分）如图，在矩形ABCD中，DF＝BE，CA平分∠DCE． 求证：四边形AECF是菱形． 18．（6分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 19．（8分）【收集数据】江西中考体育自选项目中有一项是女子1分钟仰卧起坐．某学校为了解该项目的训练情况，在九（1）、（2）两个班各随机抽取了12位女生进行测试，得到测试成绩如下（单位：个）： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 【整理数据】分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32≤x＜37 37≤x＜42 42≤x＜47 47≤x＜52 52≤x≤57 九（1）班 1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若规定成绩在42个及以上为良好，请估计全校480名女生中测试成绩良好的学生有多少人？ （3）你认为哪个班的女生1分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 22．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23．（11分）已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F． （1）【动手操作】 如图①，在BA上截取BQ＝BE，连接EQ，根据题意在图中画出图形，图中 ∠AQE＝ 　 　 度． （2）【深入探究】 E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．试判断四边形AEFG的形状，并证明． （3）【拓展应用】 E是射线BC上的一个动点，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．若AB＝5，CE＝2，求线段AG的长． 24．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出：点A坐标 　 　 ，点C坐标 　 　 ； （2）求该抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上是否存在点M，使四边形ABCM面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； （4）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级中考数学模拟卷03 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 一．选择题（共10小题） 1．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【解答】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形． 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 3．下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝8x3 C．（﹣2x3）2＝4x5 D．2xy2•3yx2＝6x2y4 【分析】运用单项式乘以单项式的计算法则对各选项进行逐一计算、辨别． 【解答】解：∵x2•x3＝x5， ∴选项A不符合题意； ∵（2x）3＝8x3， ∴选项B符合题意； ∵（﹣2x3）2＝4x6， ∴选项C不符合题意； ∵2xy2•3yx2＝6x3y3， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了单项式乘以单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 4．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】由平行线的性质推出∠BME＝∠E＝45°，由三角形内角和定理即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠BME＝∠E＝45°， ∵∠B＝30°， ∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠BME＝105°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠BME＝∠E＝45°． 5．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．ba C．b﹣a D．b+a 【分析】由数轴可以看出，a＜0，b＞0，|a|＞|b|．根据有理数的乘除法，加减法进行计算，然后比较大小． 【解答】解：由数轴可以看出，a＜0，b＞0， ∴0，ab＜0． 又∵|a|＞|b|． ∴b﹣a＞0，b+a＜0． ∴b﹣a最大． 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴及实数大小比较，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大是解题的关键． 6．下列叙述正确的是（　　） A．了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用全面调查 B．打开电视，正在播放节目《中国诗词大会》是必然事件 C．将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差增大 D．在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数 【分析】依据抽样调查、随机事件、中位数以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A．了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用抽样调查，故原说法错误，选项不符合题意； B．打开电视，正在播放节目《中国诗词大会》是随机事件，故原说法错误，选项不符合题意； C．将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差不变，故原说法错误，选项不符合题意； D．在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数，正确，选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了抽样调查、随机事件、中位数以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程x+5＝y，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，， 故选：A． 【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在公元263年撰写的《九章算术》中提出了一种估计π的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正6n边形的周长估计圆的周长进而估计π的近似值，且n越大时圆内接正6n边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近π．当n＝1时，如图，用这种方法估计此时π的近似值为（　　） A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.141 【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，得到OC＝CD，根据题意计算即可． 【解答】解：连接OC、OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， 又OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴OC＝CD， 正六边形的周长：圆的直径＝6CD：2CD＝3， 故选：A． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 9．如图，在直角坐标系中，已知△ABC中，B的坐标为（4，2），以原点O为位似中心，在第一象限内作△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：2，则顶点B′的坐标为（　　） A．（4，8） B．（8，4） C．（1，2） D．（2，1） 【分析】根据位似的性质求解作答即可． 【解答】解：∵B的坐标为（4，2），原点O为位似中心，△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：2， ∴第一象限内顶点B′的坐标为（2，1）， 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 10．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴2a+b＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x＝1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误； ∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）， ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系，掌握二次函数性质是解题关键． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，如果将“向东走5米”记为“+5米”，那么“向西走6米”记为 　 　 ． 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得向西的表示方法． 【解答】解：如果将“向东走5米”记为“+5米”，那么“向西走6米”记为﹣6米； 故答案为：﹣6米． 【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 12．为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为 　 　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学恰好选修同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两名同学恰好选修同一门课程的结果有4种， ∴两名同学恰好选修同一门课程的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．已知，则的值为 　 　 ． 【分析】利用完全平方公式进行变形求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点评】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 14．明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为 　　 分钟． 【分析】根据图象计算出上坡速度和下坡路程，然后根据放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，再结合路程可得答案． 【解答】解：根据函数图象可得：上坡速度为（千米/分）， 下坡速度为（千米/分）， 放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同， 那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为千米/分，下坡路程为1千米，速度为千米/分， 因此走这段路所用的时间为． 故答案为：14． 【点评】此题考查了从函数图象获取信息，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度． 15．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF，则：①∠CDG＝　 　 ；②若AB＝2，则EF＝　 　 ． 【分析】第一次翻折可得∠ADG＝∠CDG＝45°，四边形AGED是正方形，第二次折叠可得△DCH是等腰直角三角形，从而求出DH＝CH＝BC，然后求出CE＝2，再根据∠ECF＝45°，从而得出EF＝EC． 【解答】解：①第一次折叠，如图②， 由折叠的性质，∠ADG＝∠CDG＝45°， ∴AD＝DE＝AG＝GE； ②第二次折叠，如图③， 由折叠的性质，CH＝CB，∠DHC＝∠B＝90°， ∵∠CDG＝45°， ∴DE＝CH＝BC，即△DHC是等腰直角三角形， ∴DCCHBC，∠DCH＝45°， ∵CD＝AB＝2， ∴BC， 即DE， ∴EC＝DC﹣DE＝2， ∵∠DCH＝45°，GE⊥DC， ∴EF＝EC＝2． 故答案为：①45°；②2． 【点评】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠CDG＝45°是解题的关键． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）计算：． 【分析】先计算立方根，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再进行加减计算即可． 【解答】解：原式 ＝1． 【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 17．（6分）如图，在矩形ABCD中，DF＝BE，CA平分∠DCE． 求证：四边形AECF是菱形． 【分析】先根据CF∥AE，CF＝AE说明四边形AECF是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质说明∠ACE＝∠CAE，则AE＝CE，即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵DF＝BE， ∴CF＝AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵AC平分∠DCE． ∴∠DCA＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠CAE， ∴AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 18．（6分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 【分析】（1）根据题意证明△CDQ∽△ABQ，进而根据相似三角形的性质，即可求解； （2）设BD＝x m，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m，证明△EFP∽△ABP，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明△CDQ∽△ABQ，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，CD＝2m，QD＝3m，QB＝63m， ∴CD⊥PB， ∵AB⊥PB， ∴∠CDQ＝∠B＝90°， ∵∠CQD＝∠AQB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， 解得：AB＝42m， 答：飞虹塔AB的高度是42米； （2）设BD＝x m，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m， ∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝CD＝2m，PF＝4m， ∴， ∴， ∵△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， 解得：x＝66， 经检验：x＝66是原方程的解， ∴AB＝46m， 答：飞虹塔的大致高度为46m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，近似数和有效数字，生活中的平移现象，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 19．（8分）【收集数据】江西中考体育自选项目中有一项是女子1分钟仰卧起坐．某学校为了解该项目的训练情况，在九（1）、（2）两个班各随机抽取了12位女生进行测试，得到测试成绩如下（单位：个）： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 【整理数据】分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32≤x＜37 37≤x＜42 42≤x＜47 47≤x＜52 52≤x≤57 九（1）班 1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 （1）a＝　　 ，b＝　 　 ，c＝　 ． （2）若规定成绩在42个及以上为良好，请估计全校480名女生中测试成绩良好的学生有多少人？ （3）你认为哪个班的女生1分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由． 【分析】（1）根据九（1）班被调查的人数为12人可得a的值，根据中位数、众数的概念可得b、c的值； （2）用总人数乘以样本中两个班成绩良好的人数和占被调查人数的比例即可得； （3）从平均数和方差的意义分析求解可得． 【解答】解：（1）a＝12﹣（1+1+2+5）＝3， 将九（1）班成绩重新排列为：35，40，42，46，47，49，51，54，55，56，56，57， ∴其中位数b50， 九（2）班成绩的众数c＝53， 故答案为：3，50，53； （2）估计全校480名女生中测试成绩良好的学生有480380（人）； （3）由表可知，九（1）班成绩的平均数大于九（2）班，方差小于九（2）班， 所以九（1）的仰卧起坐的成绩比九（2）班好，且成绩稳定． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义及样本估计总体思想的运用． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3）， ∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6， 解得m＝6，n＝2， ∴A（﹣1，6），B（2，﹣3）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． （2）观察图象，不等式的解集为：x≤﹣1或0＜x≤2． （3）连接OA，OB，由题意C（0，3）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×13×2， 设P（m，0）， 由题意•|m|•32， 解得m＝±6， ∴P（6，0）或（﹣6，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）连接OE，延长DO交BF于点H，可证明四边形DEFH是矩形，由AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，得AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH，则（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，求得AB＝6，则ODAB＝3，所以OE． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标（3，k），结合k，可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2，将点A（2，3）代入可得； （2）依据题意，由（1）求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可； （3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x米，y≥0，当x＝6米时y≤0，解不等式即可得． 【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3）， 又∵k， ∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2， 则3＝a（2﹣3）2， 解得：a， 故抛物线解析式为：y（x﹣3）2； （2）根据题意，抛物线解析式为：y（x﹣3）2， 令y＝0，则0（x﹣3）2， 解得：x1＝3，x2＝3（舍去）． ∴运动员落水点与点C的距离为（3）米； （3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k， 将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k 若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水， 则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0， 解得：k， 当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0， 解得：k， 故k． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键． 23．（11分）已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F． （1）【动手操作】 如图①，在BA上截取BQ＝BE，连接EQ，根据题意在图中画出图形，图中 ∠AQE＝ 　　 度． （2）【深入探究】 E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．试判断四边形AEFG的形状，并证明． （3）【拓展应用】 E是射线BC上的一个动点，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．若AB＝5，CE＝2，求线段AG的长． 【分析】（1）在BA上截取BQ＝BE，连接EQ．根据正方形 到现在得到AB＝BC，∠B＝90°，求得AQ＝EC，∠BQE＝∠BEQ＝45°，根据邻补角的定义即可得到结论； （2）在BA上截取BP＝BE，连接EP．根据正方形的性质得到AB＝BC，∠B＝90°，求得∠APE＝∠ECF＝135°，得到∠FEC＝∠EAP．根据全等三角形的性质得到AE＝EF，在GH上截取HQ＝HF，连接FQ．则∠HQF＝∠HFQ＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到HG＝HC，则QG＝FC，∠GQF＝180°﹣45°＝135°＝∠FCE，∠QGF＝90°﹣∠GFH＝∠CFE根据全等三角形的性质得到FG＝EF，根据正方形的判定定理得到四边形AEFG是正方形； （3）当E在线段BC上时，根据等腰直角三角形的性质得到FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝CE，求得CEFH，根据勾股定理得到GF＝EF＝AE，求得GH4，根据等腰直角三角形的性质得到CGGH＝8，根据勾股定理得到AG，当E在BC延长线上时，延长GH，使HQ＝HF，连接FQ，则△HFQ是等腰直角三角形，求得∠Q＝45°，FQFH，GQ＝HG+HQ＝HC+HF＝CF，∠QGF＝90°﹣∠GFH＝∠CFE，根据勾股定理得到GF＝BF＝AE，HQ＝HFCE，GH6，根据等腰直角三角形的性质得到CGGH＝12，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在BA上截取BQ＝BE，连接EQ． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵BQ＝BE， ∴AQ＝EC，∠BQE＝∠BEQ＝45°， ∴∠AQE＝135°， 故答案为：135； （2）四边形AEFG是正方形， 证明：在BA上截取BP＝BE，连接EP． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵BP＝BE， ∴AP＝EC，∠BQE＝∠BEP＝45°， ∴∠APE＝∠ECF＝135°， ∵AE⊥EF， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°， ∴∠FEC＝∠EAP． ∴△APE≌△ECF（ASA）． ∴AE＝EF， 在GH上截取HQ＝HF，连接FQ． 则∠HQF＝∠HFQ＝45°， ∵△HCG是等腰直角三角形， ∴HG＝HC，则QG＝FC，∠GQF＝180°﹣45°＝135°＝∠FCE，∠QGF＝90°﹣∠GFH＝∠CFE， ∴△QGF≌△CFE（ASA）， ∴FG＝EF， ∴AE＝FG， ∵AE∥FG， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵∠AEF＝90°，AE＝EF， ∴四边形AEFG是正方形； （3）当E在线段BC上时， ∵HQ＝HF，则△HCG是等腰直角三角形， ∴FQ， ∵△QGF≌△CFE， ∴FQ＝CE， ∴CEFH， ∵CE＝2，即CEFH＝2， ∴HQ＝HF，BE＝5﹣2＝3， ∴GF＝EF＝AE， ∴GH4， ∵△HCG是等腰直角三角形， ∴CGGH＝8， ∴GD＝8﹣5＝3； ∴AG， 当E在BC延长线上时，延长GH，使HQ＝HF，连接FQ， 则△HFQ是等腰直角三角形， ∴∠Q＝45°，FQFH，GQ＝HG+HQ＝HC+HF＝CF，∠QGF＝90°﹣∠GFH＝∠CFE， ∴△QGF≌△CFE（ASA）， ∴GF＝BF＝AE，HQ＝HFCE， ∴GH6， ∵△HCG是等腰直角三角形， ∴CGGH＝12， ∴GD＝12﹣5＝7； ∴AG， 综上，线段AG的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线 大电影，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出：点A坐标 　 　 ，点C坐标 　 ； （2）求该抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上是否存在点M，使四边形ABCM面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； （4）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【分析】（1）令x＝0，由，得A点坐标，令y＝0，由，得C点坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式， （3）由二次函数解析式令y＝0，求得B点坐标；过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； （4）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可． 【解答】解：（1）令x＝0，得， ∴A（0，2）， 令y＝0，得， 解得，x＝4， ∴C（4，0）， 故答案为：（0，2）；（4，0）； （2）把A、C两点坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）在直线AC上方的抛物线上存在点M，使四边形ABCM面积最大；理由如下： 令y＝0，得， 解得，x＝4，或x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）； 过M点作MN⊥x轴于X，与AC交于点N，如图1， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8； （4）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2， ∴PO′＝PO＝|m|，O′A′＝OA＝2， ∴O′（m，m），A′（m+2，m）， 当A′（m+2，m）在抛物线上时，得：， 解得，， 当点O′（m，m）在抛物线上时，得：， 解得，m＝﹣4或2， ∴当或时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$