第13讲 相交线（3个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第13讲 相交线 课程标准 学习目标 1 相交线 2对顶角、邻补角 3垂线段最短 1、 了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角的概念和性质. 2、 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 3、 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 学习重点： 对顶角的概念及对顶角相等的性质.垂线的定义及性质. 学习难点： 在较复杂的图形中准确辨认对顶角.垂线的画法. 知识点01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 【即学即练1】（2023春•埇桥区校级期中）同一平面内有四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么　　 A．1 B．6 C．8 D．4 【即学即练2】（庐江县期末）在同一平面内有四条直线 （1）这四条直线的交点个数可能有哪些？ （2）请你画出两种交点个数是4的图形． 知识点02对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【即学即练1】（2023春•凤台县期中）如图，直线，相交于点，若，则等于　　度． 【即学即练2】（2023春•芜湖期中）如图，直线、相交于，，，，求证：是的角平分线． 知识点03垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【即学即练1】（2023春•宿州期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上另取一点，使，点为直线上任意一点，连接．若，则线段的长不可能是　　 A．5.5 B．4.5 C．3.5 D．2.5 【即学即练2】（2023春•休宁县期中）如图，要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：　　． 题型01 相交线 1．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三条直线相交，交点最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 题型02 点到直线的距离 3．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 4．（七年级下·安徽亳州·期末）如图，90°，于D，能表示点到直线的距离的线段有 条． 5．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 题型03 垂线的定义理解 6．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线，相交于点，于，，的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·安徽淮南·期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是 ．    8．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，直线和相交于点，，，求的度数． 题型04 画垂线 9．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（七年级下·安徽亳州·期末）完成下面（1）（2）的画图，回答问题（3）（4），如图，P是∠AOB的边OA上一点. （1）过点P画OB的垂线，垂足为H； （2）过点P画OA的垂线，交OB于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段_______的长度； （4）把线段OP、PH和OC按从小到大用“<”连接：_________；理由是_____________. 题型05 垂线段最短 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为安全、合理，其中体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂直于同一条直线的所有直线平行 12．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    13．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，画图表示怎样开渠路线最短，并说明理由． 题型06 对顶角的定义 14．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线、和相交于点；      (1)分别写出，的对顶角； (2)如果，，求和的度数． 题型07 对顶角相等 16．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图1所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则= ． 18．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 题型08 邻补角的定义理解 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 21．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 题型09 利用邻补角互补求角度 22．（七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线、相交，，则的度数（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 24．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 一、单选题 1．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．已知 与 是对顶角，且，则 的度数为（      ） A． B． C． D． 4．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 6．如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 8．如图，∠AOC＝90°，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是(     ) A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，下列结论不正确的是（     ） A．∠EOB=90° B．∠DOB是∠AOE 的补角 C．∠AOC=52° D．∠AOC与∠EOD 互为余角 10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 二、填空题 11．已知a，b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a，b的位置关系. （1）若它们没有交点，则 ； （2）若它们都平行于直线c，则 ； （3）若它们有且仅有一个公共点，则 ； （4）若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则 . 12．如图，从D处开渠引水到C处，则渠道CD最短，依据是 ． 13．如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,� 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD= . 14．如图，那么点A到BC的距离是 ，点B到AC的距离是 ，点A、B两点的距离是 ，点C到AB的距离是 ． 设、b、c为平面上三条不同直线， ①若，则a与c的位置关系是 ； ②若，则a与c的位置关系是 ； ③若，，则a与c的位置关系是 ． 三、解答题 15．找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验． 16．如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与相交于点E． 17．已知钝角∠AOB，点D在射线OB上. （1）作直线DE⊥OB；     （2）作直线DF⊥OA，垂足为F. 18．如图，分别过点P作直线AB的垂线 （1）              （2）              （3）      （4）   19．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． (1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________． (2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________． 20．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． （1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数； （2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数； （3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系． 21．如图，直线，，相交于点，平分，． (1)写出的余角和补角； (2)若，求和的度数． 22．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF， (1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数？（用含α的代数式表示） (3)从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD的关系为__________． 23．如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相交线 课程标准 学习目标 1 相交线 2对顶角、邻补角 3垂线段最短 1、 了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角的概念和性质. 2、 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 3、 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 学习重点： 对顶角的概念及对顶角相等的性质.垂线的定义及性质. 学习难点： 在较复杂的图形中准确辨认对顶角.垂线的画法. 知识点01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 【即学即练1】（2023春•埇桥区校级期中）同一平面内有四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么　　 A．1 B．6 C．8 D．4 【分析】可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求． 【解答】解：同一平面内有四条直线，它们最多有6个交点，最少有0个交点，， 故选：． 【点评】此题主要考查了相交线，解题的关键是能够正确画出图形． 【即学即练2】（庐江县期末）在同一平面内有四条直线 （1）这四条直线的交点个数可能有哪些？ （2）请你画出两种交点个数是4的图形． 【分析】（1）根据两直线的位置即确定； （2）四条直线两两相交有6个交点，交点的个数是4，即6个中的三个重合． 【解答】解：（1）这四条直线的交点个数可能是：0，1，3，4，5，6； （2）作图如下： 【点评】本题考查了相交线的应用，主要考查学生的画图能力和理解能力． 知识点02对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【即学即练1】（2023春•凤台县期中）如图，直线，相交于点，若，则等于　　度． 【分析】由对顶角的性质和，易求出的度数，与是邻补角，可求出的度数． 【解答】解：与是对顶角， ， 又， ． ， ． 故答案为：130． 【点评】本题考查了对顶角的性质、邻补角的意义．对顶角的性质：对顶角相等；邻补角的性质：若两个角是邻补角，那么这邻补角互补． 【即学即练2】（2023春•芜湖期中）如图，直线、相交于，，，，求证：是的角平分线． 【分析】由，，得到，由对顶角的性质，得到，即可求出，得到，即可证明是的角平分线． 【解答】证明：，， ， ， ， ， 是的角平分线． 【点评】本题考查角的平分线定义，对顶角，关键是掌握角的平分线的定义． 知识点03垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【即学即练1】（2023春•宿州期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上另取一点，使，点为直线上任意一点，连接．若，则线段的长不可能是　　 A．5.5 B．4.5 C．3.5 D．2.5 【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【解答】解：，， ， 故不可能是2.5， 故选：． 【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确得出的取值范围是解题关键． 【即学即练2】（2023春•休宁县期中）如图，要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：　　． 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短． 题型01 相交线 1．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三条直线相交，交点最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】相交线 【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．故可得答案． 【详解】三条直线相交时，位置关系如图所示： 判断可知：最多有3个交点， 故选C. 【点睛】本题考查了相交线的交点个数问题，解决本题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点． 2．（七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 【答案】（1）80°；（2）． 【知识点】相交线 【分析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数； （2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果． 【详解】（1） （2）（2）∵EF平分∠AED， ∴∠AEF=∠DEF， 设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°， ∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°， ∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键． 题型02 点到直线的距离 3．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，进行判断即可． 【详解】解：由点到直线的距离定义可知：线段的长度表示点A到直线 的距离． 故选：C． 4．（七年级下·安徽亳州·期末）如图，90°，于D，能表示点到直线的距离的线段有 条． 【答案】5 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的定义，得结论． 【详解】因为AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，所以 表示点C到直线AB的距离的线段为CD， 表示点B到直线AC的距离的线段为BC， 表示点A到直线BC的距离的线段为AC， 表示点A到直线DC的距离的线段为AD， 表示点B到直线DC的距离的线段为BD， 共五条． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离是解决本题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、垂线段最短 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 题型03 垂线的定义理解 6．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线，相交于点，于，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线，平角的知识．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．（22-23七年级下·安徽淮南·期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是 ．    【答案】垂直 【知识点】垂线的定义理解 【分析】计算即可求解． 【详解】解：由题意得： 故 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查两直线的位置关系判断．根据题意计算出两直线的夹角即可． 8．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，直线和相交于点，，，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线定义，对顶角相等，结合图形中角度的计算，根据垂线性质求出，结合已知求出的度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 题型04 画垂线 9．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键． 根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有D选项符合题意， 故选：D ． 10．（七年级下·安徽亳州·期末）完成下面（1）（2）的画图，回答问题（3）（4），如图，P是∠AOB的边OA上一点. （1）过点P画OB的垂线，垂足为H； （2）过点P画OA的垂线，交OB于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段_______的长度； （4）把线段OP、PH和OC按从小到大用“<”连接：_________；理由是_____________. 【答案】(1)见解析；(2)见解析；（3）OP；（4）PH<OP<OC，垂线段最短. 【知识点】画垂线、垂线段最短 【分析】（1）（2）根据要求画垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义解答； （4）根据连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得PH＜OP，OP＜OC，问题得解． 【详解】解：（1）如图所示，PH即为所求； （2）如图所示，CP即为所求； （3）点O到直线PC的距离是线段OP的长度， 故答案为OP； （4）∵连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短， ∴PH＜OP，OP＜OC， ∴PH＜OP＜OC． 理由是：垂线段最短， 故答案为PH＜OP＜OC，垂线段最短. 【点睛】本题考查了垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．也考查了基本作图． 题型05 垂线段最短 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为安全、合理，其中体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂直于同一条直线的所有直线平行 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查生活中的数学知识，垂线段最短，读懂题意，理解数学知识的实际应用是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为安全、合理，其中体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 12．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】6 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：作    解得： 由垂线段最短可知：线段的最小值是6 故答案为：6 【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可． 13．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，画图表示怎样开渠路线最短，并说明理由． 【答案】见解析； 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短，过点M作河岸的垂线段即可. 【详解】如图所示， 理由：垂线段最短. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离以及作图的方法，明确垂线段最短这个性质是解题的关键. 题型06 对顶角的定义 14．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的定义可逐项判断求解． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意； C、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线、和相交于点；      (1)分别写出，的对顶角； (2)如果，，求和的度数． 【答案】(1)的对顶角是，的对顶角是 (2), 【知识点】求一个角的补角、垂线的定义理解、对顶角的定义、对顶角相等 【分析】（1）根据对顶角的概念即可解答； （2）直接利用根据邻补角互补、对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角是，的对顶角是． （2）解：∵，， ∴，， ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直定义、邻补角、对顶角等知识点，掌握邻补角和对顶角的定义和性质是解答本题的关键． 题型07 对顶角相等 16．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可． 【详解】解：的对顶角为， ． 故选：A． 17．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图1所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则= ． 【答案】/度 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角性质，根据对顶角相等求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 【答案】是的余角，见解析 【知识点】对顶角相等、求一个角的余角 【分析】本题考查了对顶角的性质，余角的定义；由，，，则，进而求出其他角的大小即可找到的余角； 【详解】解：与互为余角，理由如下，                 ∵，， ∴， ∴， ∴， 即与互为余角． 题型08 邻补角的定义理解 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 20．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、邻补角的定义理解 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 21．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【知识点】邻补角的定义理解、对顶角的定义、图形类规律探索 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 题型09 利用邻补角互补求角度 22．（七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线、相交，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等可得∠2=40°，再根据邻补角的性质，即可求解． 【详解】解：∵∠2=∠3，， ∴∠2=40°， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠2=140°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等，邻补角互补是解题的关键． 23．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 【答案】/36度 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，根据对顶角相等可得，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 与互为邻补角， ， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，邻补角等知识，熟练掌握角平分线，邻补角是解题的关键 （1）由，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）由，可得．由平分，可得．则，，进而可得是的平分线． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：平分．理由如下： ∵， ∴． 平分， ∴． ∴， ∴，即是的平分线． 一、单选题 1．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据相交线的性质可得答案． 【详解】平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点． 故选：A． 【点睛】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前题，也是解题的关键． 2．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断． 【详解】解：根据对顶角的定义，A,D,C,不符合其中一个角是另一个角的边的反向延长线，是对顶角的只有第二个图形， 故选B 【点睛】本题主要考查对顶角的定义，是一个基础题．理解定义是关键. 3．已知 与 是对顶角，且，则 的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等，即，结合已知，即可求的度数． 【详解】解：∵ 与 是对顶角 ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 4．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边的角．解决本题的关键是根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：A选项：和不是由两直线相交形成的，故A选项不符合题意； B选项：和不是由两直线相交形成的，故B选项不符合题意； C选项：和两角有公共边，故C选项不符合题意； D选项：和是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边，故D选项合题意； 故选：D． 5．如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴，， ∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意； 、∵，， ∵， ∴，，，， ∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的补角有和，故错误，不合题意； 、∵， ∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意； 故选：． 6．如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵∠1与∠2互余， ∴， ∴°， ∵， ∴°， ∴． 故选：A 【点睛】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键． 7．如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 【答案】B 【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到与各个选项的角度的关系即可． 【详解】∵，相交于点， ∴=，A选项不符合题意； ∵OC恰为的平分线， ∴=，D选项不符合题意； ∵=180°- ∴=180°-，C选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到与各个选项的角度的关系最后利用排除法得到正确答案是解题的关键． 8．如图，∠AOC＝90°，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是(     ) A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对 【答案】B 【详解】∵∠BOD=∠AOC=90°， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∴∠1与∠2互余， 故选B． 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，下列结论不正确的是（     ） A．∠EOB=90° B．∠DOB是∠AOE 的补角 C．∠AOC=52° D．∠AOC与∠EOD 互为余角 【答案】B 【分析】根据垂直的定义可知，故A正确；根据互补定义，由图知和互补，故B错误；根据OE⊥AB，∠EOD＝38°，结合对顶角定义，可得，故C正确；根据互余定义和对顶角定义可知，即可得到∠AOC与∠EOD 互为余角，故D正确，从而得到结论． 【详解】解：A、由于OE⊥AB，则，故该选项不符合题意； B、由于三点共线，则，即∠DOB是∠AOE 的补角错误，故该选项符合题意； C、由于OE⊥AB，则，再结合∠EOD＝38°，根据对顶角相等可知，故该选项不符合题意； D、由于OE⊥AB，则，从而，根据对顶角相等可得，∠AOC与∠EOD 互为余角，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点，熟记概念，准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键． 10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 二、填空题 11．已知a，b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a，b的位置关系. （1）若它们没有交点，则 ； （2）若它们都平行于直线c，则 ； （3）若它们有且仅有一个公共点，则 ； （4）若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则 . 【答案】 a∥b； 2a∥b； a与b相交； a与b相交. 【分析】(1)由平行线的定义求解； (2)根据平行线公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行； (3)根据相交线的定义求解； (4)根据平行线、相交线的定义求解. 【详解】（1）同一平面内的两条直线ab，如果它们没有公共点，则a∥b； （2）同一平面内的两条直线ab，如果它们都平行于第三条直线，则a∥b； （3）同一平面内的两条直线ab，如果它们有且只有一个公共点，则a和b相交； （4）在同一平面内，若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则a与b相交. 【点睛】本题考查的重点是平行线的有关概念和公理．准确记忆是解答本题的关键． 12．如图，从D处开渠引水到C处，则渠道CD最短，依据是 ． 【答案】垂线段最短 【详解】试题解析：如图， 过C点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短． 13．如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,� 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD= . 【答案】42° 【详解】因为∠BOE︰∠EOD＝2︰3．故可设∠BOE＝2k°，∠EOD＝3k°．根据对顶角相等可得出∠BOD＝∠AOC＝80°，所以2k°＋3k°＝80°，可得k＝16°，所以∠EOD＝3k°＝3×16°＝48°． 14．如图，那么点A到BC的距离是 ，点B到AC的距离是 ，点A、B两点的距离是 ，点C到AB的距离是 ． 设、b、c为平面上三条不同直线， ①若，则a与c的位置关系是 ； ②若，则a与c的位置关系是 ； ③若，，则a与c的位置关系是 ． 【答案】 6cm 8cm 10cm 4.8cm a∥c a∥c a⊥c 【详解】试题解析：如图，那么点A到BC的距离是点B到AC的距离是点A、B两点的距离是点C到AB的距离是 设、b、c为平面上三条不同直线， 若，则a与c的位置关系是a∥c. 若，则a与c的位置关系是a∥c. 若，，则a与c的位置关系是 故答案为 a∥c. a∥c. 三、解答题 15．找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验． 【答案】，；检验方法见解析． 【分析】从图中观察出互相垂直的线段后，再用三角尺验证是否是直角即可． 【详解】解：，， 将三角尺的一条直角边与OA重合，将三角尺的顶点与点O重合， 另一条直角边与OC重合， ∠AOC是直角， 同样的方法可以检验∠BOD也是直角， 所以，． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，属于基础题，熟练掌握垂直的定义是解题关键． 16．如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据射线，直线，线段的定义画图即可； （2）按题目要求标出点E即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）如图即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图． 17．已知钝角∠AOB，点D在射线OB上. （1）作直线DE⊥OB；     （2）作直线DF⊥OA，垂足为F. 【答案】如图所示： 【详解】试题分析：根据垂直的定义作图即可. 如图所示： 考点：基本作图 点评：作图能力是初中数学学习中的基本能力，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握. 18．如图，分别过点P作直线AB的垂线 （1）              （2）              （3）      （4）   【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）用三角板的一条直角边与AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向AB画直线即可； (2) 用三角板的一条直角边与AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向AB画直线即可； （3）用三角板的一条直角边与AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向AB画直线即可； （4）用三角板的一条直角边与AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向AB画直线即可. 【详解】如图所示 （1）   （2）   （3）   （4）   【点睛】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力． 19．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． (1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________． (2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________． 【答案】 垂线段最短 两点之间，线段最短 【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短； (2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短． 【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短， 故答案为垂线段最短； (2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短， 故答案为两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短． 20．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． （1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数； （2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数； （3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系． 【答案】（1）33°；（2）72°；（3） 【分析】（1）根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解． （2）利用角平分线定义得出，，进而表示出各角求出答案． （3）由（1）知，计算即可求解． 【详解】解：（1）， 又平分， ． ， 平分， ， ． （2）平分，平分， ，， 设，则， 故，， 则， 解得：， 故． （3）由（1）知 ， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键． 21．如图，直线，，相交于点，平分，． (1)写出的余角和补角； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)的余角是，；的补角是， (2)， 【分析】（1）根据余角和补角的概念计算即可； （2）由对顶角的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数． 【详解】（1）解：的余角是，；的补角是，； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查了角的计算，余角、补角的概念，对顶角的性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF， (1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数？（用含α的代数式表示） (3)从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD的关系为__________． 【答案】(1)20° (2) (3)∠AOE=2∠BOD 【分析】（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC．再求出∠BOE，即可得出答案； （2）同理（1）即可得出答案； （3）由（1）（2）即可得出答案． 【详解】（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°， ∴∠AOF=140°； 又∵OC平分∠AOF， ∴∠FOC=∠AOF=70°， ∴∠EOD=∠FOC=70°． ∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°， ∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°； （2）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=α， ∴∠AOF=180°-α； 又∵OC平分∠AOF， ∴∠FOC=∠AOF=90°-α， ∴∠EOD=∠FOC=90°-α． ∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α， ∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=α； （3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD． 故答案为：∠AOE=2∠BOD． 【点睛】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线定义等知识点，求出∠BOE和∠EOD的度数是解答此题的关键． 23．如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$