精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

南宁三中2024~2025学年度下学期高一段考 数学试题 2025.4 命题人：钟慧、戴陈敏、庞启满 审题人：钟慧、戴陈敏、庞启满 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在平行四边形中，M为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，：，：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 设为复数，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互为共轭复数，则为实数 D. 若为虚数单位，n为正整数，则 7. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若为第一象限角，则 8. 棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为AC边的中点，，，求b． 10. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点. （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积. 11. 当的三个内角均小于120°时，在内，使得的点M为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”．已知中，角的对边分别为，，，点P是的“费马点”． （1）求角A； （2）若，求的周长； （3）若，，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2024~2025学年度下学期高一段考 数学试题 2025.4 命题人：钟慧、戴陈敏、庞启满 审题人：钟慧、戴陈敏、庞启满 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 2. 在平行四边形中，M为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算的几何意义进行分解即可. 【详解】 . 故选：A. 3. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面积求得母线长，再求出圆台的高，然后由体积公式计算． 【详解】记母线长为，高为， 由侧面积为，，则高为， 所以体积为， 故选：B． 4. 平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件，利用向量的模长公式求得，再利用在方向上的投影向量的公式即可求得. 【详解】由可得， 而在方向上的投影向量为. 故选：C. 5. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，：，：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可得到：为等腰三角形或为以为直角的直角三角形，根据数量积的运算律得到，即：为以为直角的直角三角形，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】：，由正弦定理可得，则， 又，所以，则或， 所以或，则或， 即为等腰三角形或为以为直角的直角三角形； ：，则，所以， 即， 所以，即，所以，所以为以为直角的直角三角形， 所以推不出，即充分性不成立，由推得出，故必要性成立. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 设为复数，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互为共轭复数，则为实数 D. 若为虚数单位，n为正整数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A项，取，满足，但是不成立，故A项错误； 对于B项，当时，有，又，所以，故B项正确； 对于C项，互为共轭复数，则， 即为实数，故C项正确； 对于D项，，故D项错误． 故选：BC 7. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若为第一象限角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB；通过对分式齐次式化简可判断C；通过二倍角余弦公式化简可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为为第一象限角，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 8. 棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；为的中点时，，求解可判断B；，可得在点处，体积最小，求解可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确； 对于B，又易得，所以为的中点时，， 此时，所以的最小值为，故B正确； 对于C，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时，故C错误； 因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确》 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为AC边的中点，，，求b． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）由（1）的结论，利用向量数量积的运算律，结合（1）中信息求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理，得，而， 所以. 【小问2详解】 由D是AC中点，得， 则， 即，解得， 由（1）得，，则，所以. 10. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点. （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积. 【答案】（1） 连，如图： 因为E、F分别是BC、DC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因为E、G分别是BC、SC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因为，且平面EFG，平面EFG， 所以平面平面. （2）， 截面面积 【解析】 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，根据线面平行的判定定理得线面平行，再根据面面平行的判定定理可得面面平行. （2）取的中点H，连，可证四边形为平行四边形，从而可得就是交线，求出和上的高，可得截面面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点H，连， 因为与HE交于正方体的中心，且互相平分，所以四边形为平行四边形， 则就是截面与正方体的交线， 过C作AE的延长线的垂线CM，垂足为M，连， 因为平面ABCD，面，所以， 因为且都在面内，所以平面， 又面，所以， 所以， 所以， 所以截面面积为. 11. 当的三个内角均小于120°时，在内，使得的点M为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”．已知中，角的对边分别为，，，点P是的“费马点”． （1）求角A； （2）若，求的周长； （3）若，，求实数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系、三角恒等变换、三角形内角的性质化简条件，即可得； （2）设，由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则，由余弦定理解方程组即可得解. 【小问1详解】 由，则， 所以，整理得， 又，则，即，， 所以； 【小问2详解】 设， 又，所以， 由，则，可得， 由，即，故， 所以的周长为； 【小问3详解】 设，则， ， ， ， 由，则， 所以，即， 由上，而（）， 所以，而， 所以，则或（舍），故， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $