精品解析： 福建省德化第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二下期中考数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数求导，代值计算即得. 【详解】由可得，则. 故选：D. 2. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. 3，3 B. 3，－1 C. －1，3 D. －2，－2 【答案】D 【解析】 【分析】由切线在的函数值求得，由切线的斜率得到. 【详解】由题意得，. 故选：D. 3. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中含项的系数为. 故选：D. 4. 现将4名志愿者分配到3个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（ ）种分配方式 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】先分组、再分配，部分平均分组需除以组数的全排列（相等的组）. 【详解】依题意个服务点的志愿者的人数为、、， 所以有种分配方式. 故选：B 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可． 【详解】由，，可知，， 又，所以， 所以. 故选：D 6. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，由在上恒成立求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 则，解得或， 所以实数a的取值范围是， 故选：D 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况， 故. 故选：. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8. 函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 【详解】设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增.  已知，则.  不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以.  不等式的解集为，. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 满足不等式的的值可为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】利用排列数公式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：由， 得，，即， 解得，又， 所以或， 故选：AB 10. 函数的导函数在和上单调递增，在上单调递减，有且仅有两个零点，则以下命题是假命题的有（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的单调性及唯一的两零点可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点判断CAB；利用导数的几何意义可知在的导数大于0，可判断D． 【详解】导函数在和上单调递增，在上单调递减，有且仅有两个零点， 可知当时，，在时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 所以是函数的极小值点，故A正确； 因为在上单调递增，不是函数的最小值点，故B错误； 函数在处的导数大于0，所以切线的斜率大于零，故D错误. 故选：BD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 精确到0.1的近似值为1.6 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的系数为5292 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，采用赋值法，令即可判断；对于B,将化为，利用二项式展开式，近似计算，即可判断；对于C，将化为，利用二项式展开式，即可判断；对于D，将展开即可判断. 【详解】对于A，， 令 ，则 ， 皆为负值，为正值， 故令，， 即得，A正确； 对于B， ， 故精确到0.1的近似值为1.6，故B正确； 对于C, , 由此可得被8除的余数为 ，故C错误； 对于D，由二项式定理可得的展开式中含项的系数为：，故D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一个离散型随机变量，分布列如下表，则常数的值为___． 0 1 【答案】 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可得，结合概率大于0即可解得c的值. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知， ，解得， 故答案为：. 13. 若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，令可得所有项的系数和 【详解】解：令可得， 故答案为： 14. 若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据极值点的定义可判断定义域内时函数的极小值点，即可列出不等关系求解. 【详解】函数的导函数为，令（其中舍去），当时，，当时，，所以原函数在时取得极小值，则有，所以取值范围为， 故答案为: 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用0,1,2,3,4,5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数. （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数. （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 【答案】（1）100 （2）180 （3）48 （4）131 （5）175 【解析】 【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）根据分步乘法原理，先选个位数字，再选百位数字，再选十位数字即可求解； （4）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果. （5）根据分类加法原理，按首位数字为3或4；首位数字为5，百位数字不是4；首位数字为5,百位数字是4分类即可求解. 【小问1详解】 若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字不重复的三位数个数为. 【小问2详解】 若组成的数为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字允许重复的三位数的个数为个. 【小问3详解】 分3步： 先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； 再选百位数字有4种选法； 十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 【小问4详解】 若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论： ①数为个位数，共6个； ②数为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； ③数为三位数，共有100个. 综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个. 【小问5详解】 分4类： 千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； 千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有个； 千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 16. 已知为实数， （1）求导数； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则求导整理即得； （2）先由极值点求得，对函数求导，得到函数的单调区间和极值点，结合区间端点的函数值比较，即得函数在给定区间上的最值. 【小问1详解】 由求导得：； 【小问2详解】 因是的极值点，故，解得， 则，， 因，由得或，由得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减. 故当时，取得极大值，为， 当时，取得极小值，为， 又， 故. 17. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，求： (1)甲胜的概率； (2)甲不输的概率． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】（1）按照对立事件的概率计算公式计算即可； （2）按照对立互斥事件的概率计算公式计算即可. 【详解】（1）“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为； （2）方法一：设“甲不输”为事件，可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以； 方法二：设“甲不输”为事件，可看作是“乙胜”的对立事件，所以，即甲不输的概率是. 【点睛】本题主要考查随机事件的概率计算问题，正确理解对立事件和互斥事件是解题的关键，属于常考题. 18. 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 【答案】20 【解析】 【分析】设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，可求p＝0.006v3，由题可得航行1海里所需的费用总和为q=(0.006v3+96)=0.006v2+，再用导数求函数最值即可. 【详解】设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元， 那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数， 由题知v＝10时，p＝6， ∴k==0.006， 则p＝0.006v3， 又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元， 那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+. q′=0.012v-=(v3-8000), 令q′=0,解得v=20， 因为当v＜20时，q′＜0，当v＞20时，q′＞0， 所以当v＝20时，q取得最小值， 即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小. 19. 已知函数. （1）若点是函数上任意一点，求点到直线的最小距离； （2）当时，求证函数的图象位图象的上方. 【答案】（1） （2） 证明:令，， 所以， 因为时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，函数的图象位图象的上方. 【解析】 【分析】（1）设与函数的图象相切于点，求导，解得，再利用点到直线的距离公式即可得出． （2）构造新函数，求出的导函数，判断出在上恒成立，判断出递增，求出的最小值，判断出最小值大于0，判断出，判断出，得证． 【小问1详解】 设与函数的图象相切于点， 因为，所以， 因为，解得，所以， 所以点到直线的最小距离为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期中考数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. 3，3 B. 3，－1 C. －1，3 D. －2，－2 3. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 4. 现将4名志愿者分配到3个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（ ）种分配方式 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 满足不等式的的值可为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 函数的导函数在和上单调递增，在上单调递减，有且仅有两个零点，则以下命题是假命题的有（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 精确到0.1的近似值为1.6 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的系数为5292 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一个离散型随机变量，分布列如下表，则常数的值为___． 0 1 13. 若，则____ 14. 若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是____________． 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用0,1,2,3,4,5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数. （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数. （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 16. 已知为实数， （1）求导数； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值. 17. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，求： (1)甲胜的概率； (2)甲不输的概率． 18. 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 19. 已知函数. （1）若点是函数上任意一点，求点到直线的最小距离； （2）当时，求证函数的图象位图象的上方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $