精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年（五四学制）八年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义求解即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解；A、被开方数含有开得尽因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（ ） A. 38 B. 37 C. 36 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键． 根据方程有两个相等的实数根，据此运用根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ∴且，解得：． 故选B． 4. 甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，计算出甲、乙、丙、丁中式子的结果，即可得到有几张卡片中式子的计算结果是有理数． 【详解】解：由图可得， 甲：，结果是有理数，符合题意； 乙：，结果是有理数，符合题意； 丙：，结果不是有理数，不符合题意； 丁：，结果不是有理数，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再由菱形的性质得到，则可求出的度数，进而求出的度数，据此可得答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案． 【详解】解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第个等式：， ∴按照上述规律，． 故选：A． 7. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 5秒 B. 20秒 C. 5秒或20秒 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 8. 如图，在正方形中，点M，N为，上的点，且，与交于点P，连接，点Q为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后可证，则有，进而根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q为中点， ∴； 故选B． 9. 在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 10. 如图，P为边长为4的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．给出以下4个结论：①；②最短长度为；③当时，的长度为；④．其中结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，构造三角形全等证得是解题的关键．连接，可证得，结合矩形的性质，可证得，可判断①；求得的最小值即可求得的最短长度，可判断②；连接交于O，由（2）可得，求出，得到，则，可判断③；由矩形的性质可得，则，证明，得到，即可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形，， ∴， 当时，，此时有最小值， 由①可知， ∴的最短长度为，故②正确； 如图所示，连接交于O，由（2）可得， 由正方形的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【详解】解：由题意可得： ， 解之可得：， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题的关键． 12. 关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 13. 已知为一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的值，然后代入求出b的值，再根据三角形的周长公式分情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，， ， 解得， ①当腰为2，底为4时不能构成三角形； ②当腰为4，底为2时，周长为． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，每天要盈利800元时每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故答案为． 15. 如图，矩形中，，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，：分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点：作射线，交于点．则的面积为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】由勾股定理可得AC的长，作HQ⊥AC，由角平分线的性质可知HQ＝HD，设HQ＝HD＝x，在Rt△AHQ中，由勾股定理可得，解方程得x的值，再由三角形的面积公式即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，∠ADC＝90°, 由勾股定理可得： , 作HQ⊥AC交AC于点Q， 由作图可知CP是∠ACD的角平分线， 又∵∠ADC＝HQC＝90°， ∴HQ＝HD，CQ＝CD＝6 设HQ＝HD＝x，则AH＝8－x，AQ＝10－6＝4， 在Rt△AHQ中，由勾股定理可得， 即 解得：x＝3， ∴S△ACH＝， 故答案为15． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，解题的关键是作HQ⊥AC构造直角三角形求出HQ的长． 16. 将一组数，2，，，…，按图中的方法排列： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第4个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键． 【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 观察可知：(m为正整数)在第m行的第4个， ∴，在第169行的第4个， ∴这组数中最大数的位置记为， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，86分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理后得：， 配方得：， 开方得：或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 即，． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 19. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】（1）的整数部分为3，小数部分为： （2） （3）19 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，化简二次根式，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）估算出的范围即可得到答案； （2）估算出，的范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可得到答案； （3）估算出的范围得到x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， a为的小数部分，b为的整数部分， ，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ，其中x是一个正整数，， ，， ． 20. 如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质中每一条对角线平分一组对角且四条边都相等证得即可求解； （2）连接交于点，利用菱形的性质推得是等边三角形，通过勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质等知识是解题关键． 21. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系； （1）根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可； 一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．，． 【小问1详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴． 22. 如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析 （3）或或是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，于是得到； （2）由为中点，得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 23. 学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． （1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）场地的宽为8米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【小问1详解】 解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； 【小问2详解】 解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． （3）小段发现是一个定值．小段同学的发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①45；②；（2）正确，理由见解析；（3）成立， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）①先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，，则，由此即可得； ②先证出点三点共线，，再根据线段的和差、等量代换即可得； （2）正确，理由：先根据等腰三角形的判定可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵，， ∴， ∴点三点共线， ∴， 故答案为：． （2）正确，理由如下： 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． （3）小段同学的发现成立，求解过程如下： 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（ ） A. 38 B. 37 C. 36 D. 35 3. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 0或 4. 甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 5秒 B. 20秒 C. 5秒或20秒 D. 不确定 8. 如图，在正方形中，点M，N为，上的点，且，与交于点P，连接，点Q为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，P为边长为4的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．给出以下4个结论：①；②最短长度为；③当时，的长度为；④．其中结论正确的有（ ） A ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根__________． 13. 已知为一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长是___________． 14. 某商场将进货价为45元某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，每天要盈利800元时每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程__________． 15. 如图，矩形中，，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，：分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点：作射线，交于点．则的面积为_________． 16. 将一组数，2，，，…，按图中的方法排列： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为______． 三、解答题（本大题共8小题，86分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 19. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，其中x是一个正整数，，求的值． 20. 如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 22. 如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 23. 学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． （1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______； ②线段，，之间的数量关系为______． 深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． （3）小段发现是一个定值．小段同学发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$