精品解析：福建省三明市三元区列东中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

列东中学2024－2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 命题执笔：郑春林 审核校对：谢峰 注意事项：作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 计算（　　） A. 1 B. 0 C. D. 2. 若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示，则n为（ ）． A. B. 5 C. D. 6 3. 若一个三角形两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为随机事件的是（　　） A. 明天太阳从东方升起 B. 从仅装有白球的箱子里取出1个红球 C. 掷一次骰子，向上一面的数字是6 D. 任意画一个三角形，其内角和为360° 5. 如图，下列条件不能判别直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，≌，若，，则的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 55° D. 45° 9. 在一个不透明盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 10. 如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 12. 在中，，若，则的度数是________． 13. 一个路口的交通信号灯的时间为：红灯12秒，绿灯25秒，黄灯3秒．某辆车随机经过该路口，遇到红灯的概率是______． 14. 利用乘法公式计算：______． 15. 已知，则的值是______． 16. 已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 完成下列证明过程，并括号内填上依据． 如图，点在上，点在上，，， 求证：． 证明：∵（已知）， （①______）， ∴， ∴（②______）， ∴（③______）， 又∵（已知）， ∴（④______）， ∴． 20. 在中，，是的高线，是的角平分线， （1）如图1，若，，则的度数为______； （2）如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示） 21. 如图，是和公共边，，． （1）在图中作，交于点：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22. 小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； ③比较两人得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是3和2，小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是2和6． （1）如果小颖继续掷，点数和不超过10的概率是______； （2）如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明）． 23. 已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． （1）若，，则______度； （2）若一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： （3）若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 24. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”． （1）21和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请找出，，，之间存在一个等量关系，并说明理由． （3）请再写出一对“友好数对”（与本题已给的“友好数对”不同）． 25. 如图，已知正方形(四边相等，四个角都是直角)，点为边上异于点的一动点，，交于点，点为延长线上一定点，满足，的延长线与交于点，连接. (1)判断是 三角形. (2)求证： ≌. (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 列东中学2024－2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 命题执笔：郑春林 审核校对：谢峰 注意事项：作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 计算（　　） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的运算，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则即可． 【详解】解： 故选：A． 2. 若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示，则n为（ ）． A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：∵ ∴ 故选C 【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 3. 若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系得到第三边的范围，进而可得答案． 【详解】解：设第三边长为x，由一个三角形的两边长分别为和，则根据三角形的三边关系得： ，即，所以只有B选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 4. 下列事件为随机事件的是（　　） A. 明天太阳从东方升起 B. 从仅装有白球的箱子里取出1个红球 C. 掷一次骰子，向上一面的数字是6 D. 任意画一个三角形，其内角和为360° 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义逐一判断即可解答． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，必然事件，故A不符合题意； B、从仅装有白球的箱子里取出1个红球，是不可能事件，故B不符合题意； C、掷一次骰子，向上一面数字是6，是随机事件，故C符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图，下列条件不能判别直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，分别根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法进行判定两直线平行，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、是对顶角，不能判定，故符合题意； C、，∴，故不符合题意； D、，∴，故不符合题意； 故选：B 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，运用相关运算法则变态版出各选项后再进行判断即可 【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C. ，原选项计算错误，故不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D 7. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．关键是掌握平方差公式的特征：两个二项因式中有一项相同，有一项互为相反数．利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故A不符合题意； B、，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式计算，故B符合题意； C、，符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故C符合题意； D、，符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故D符合题意； 故选：B． 8. 如图，≌，若，，则的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 55° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC＝∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，则可求得∠EAC． 【详解】∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−70°−30°＝80°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠BAC＝80°， ∴∠EAC＝∠EAD−∠DAC＝80°−25°＝55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 9. 在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用黄球的实际个数除以其概率得到总数，总数减去黄球个数即为红球个数． 【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个）， 则红球的个数为（个）， 故选：A． 10. 如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据负整数指数幂的运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在中，，若，则的度数是________． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和即可求解． 【详解】∵在中，， ， ∴∠A=180°-∠C-∠B=25° 故答案为：25°． 【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°． 13. 一个路口的交通信号灯的时间为：红灯12秒，绿灯25秒，黄灯3秒．某辆车随机经过该路口，遇到红灯的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式计算，熟知某事件的概率这个事件发生的结果数除以总的结果数是解题的关键． 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：当人或车随机经过该路口时，遇到红灯的概率． 故答案为：． 14. 利用乘法公式计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 已知，则值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式、幂的乘方、同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方． 根据幂的乘方可得，据此即可由同底数幂相乘求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 16. 已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算的实际应用，根据长方形的面积公式，分别表示出和，是解题的关键． 利用面积和差关系，分别表示出和，再表示出，结合，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， = = =， = =， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用单项式乘单项式运算法则、单项式除以单项式运算法则求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则和整式加减运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简求值，整式的乘除，平方差公式，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 先对原式进行化简，再代数求值，利用平方差公式、单项式乘多项式和整式的除法对原式进行化简． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 19. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，点在上，点在上，，， 求证：． 证明：∵（已知）， （①______）， ∴， ∴（②______）， ∴（③______）， 又∵（已知）， ∴（④______）， ∴． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 结合题意，根据平行线的判定及性质定理分析，即可得到答案． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 20. 在中，，是的高线，是的角平分线， （1）如图1，若，，则的度数为______； （2）如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，余角的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用三角形内角和求出，利用角平分线和高线的定义得出和的度数，进而利用角的和差即可求解； （2）根据垂直和高线得出两个直角三角形，利用对顶角相等和余角的性质即可得出，再利用（1）的解题思路即可表示出的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， ∵是的高线， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是的高线，于， ， 又， ， ∵，， ， ∵是的角平分线， ， ∵是的高线， ， ， ． 21. 如图，是和公共边，，． （1）在图中作，交于点：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）作出，由平行线的判定即可得到； （2）由，，得到，根据平行线的性质证明，即可求解． 【小问1详解】 解：如图：即为所作： 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是3和2，小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是2和6． （1）如果小颖继续掷，点数和不超过10的概率是______； （2）如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明）． 【答案】（1） （2）停止掷，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题． 【小问1详解】 解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出6点时，其点数和才会超过10， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：停止掷；理由如下： 小明前两次掷出的点数和是， 若再掷一次，点数为1，2时，得分为9或10， ∴（小明得分9或10）； 点数为3，4，5，6时．得分为0， ∴（小明得分0）． ， ∴停止掷． 23. 已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． （1）若，，则______度； （2）若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： （3）若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】（1） （2）或，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，过P作， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或； 【小问3详解】 解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴． 24. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”． （1）21和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请找出，，，之间存在一个等量关系，并说明理由． （3）请再写出一对“友好数对”（与本题已给的“友好数对”不同）． 【答案】（1）是 （2），理由见详解 （3）31和39 【解析】 【分析】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算，多项式乘多项式等知识点，理解新定义列出整式是解题的关键． （1）比较和的结果即可得出答案； （2）利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合“友好数对”的定义列出等量关系，并化简； （3）按照“友好数对”的定义进行写出并验证即可． 【小问1详解】 解：， ∴21和36是“友好数对”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：，理由如下： 根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和， 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为和． 因为它们是“友好数对”， 所以． 整理得； 【小问3详解】 解：31和39，理由如下： ∴31和39是“友好数对”． 25. 如图，已知正方形(四边相等，四个角都是直角)，点为边上异于点的一动点，，交于点，点为延长线上一定点，满足，的延长线与交于点，连接. (1)判断是 三角形. (2)求证： ≌. (3)探究否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】(1)等腰直角；(2)证明见解析；(3)，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质证得∠BAC=∠BCA，然后再根据得出∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，即可证得是等腰直角三角形； （2）根据等腰直角三角形得出，然后求出四边形为正方形，即可得出答案； （3）在上截取，根据（2）中的结论可求出，又因为≌≌，，，所以证得为等腰直角三角形，得出. 【详解】解：(1) ∵四边形是正方形，AC为对角线， ∴∠BAC=∠BCA， 又∵， ∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA， 则∠BEF=∠BFE， ∵正方形四个角为直角， ∴是等腰直角三角形； (2)∵和为等腰直角三角形 ∴， ∴，即是， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴≌()； (3)在上截取 ∵≌ ∴ ∴ 即是 ∵为等腰直角三角形 ∴ ∵，， ∴≌ ∴， ∵ ∴即是 ∴为等腰直角三角形，. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识点，添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$