山东省实验中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

山东省实验中学2024~2025学年第二学期期中 高一数学试题 2025.04 (必修第二册阶段检测) 说明:本试卷满分150分,分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷 为第1页至第2页,第II卷为第3页至第4页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂 到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟 第I卷(选择题 58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. B.-i C.1 A.i D.-1 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 正四梭台的上、下底面边长分别是2和4,侧梭长是、6,则该校台的体积是 286 C.38 2 D. 19 4. 如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA/ 平面EBF时, 。_ 5. 已知圆锥的高是1,母线长是2,用过圆锥的顶点的平面去截圆锥,则截面积的最大值为 B. C.2 A. 1 D. 22 6. 已知在△ABC中,AC=3,BC=4,C=90*.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1, 则P:P的最小值为 C.-5 A. -3 B.-4 D. -6 高一期中数学试题 第1页,共4页 7. 已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c:则下列命题中: ①若P是△ABC内部一点,且满足PA+2PB=CB,则△ABP与△ABC的面积比为1:2; ②若acosA=bcosB,则△ABC一定为等腰三角形 ③P为△ABC所在平面内的一点,且.PA.PB-PB.PC-PC.PA,则P为△ABC的内心; ④已知 A=30*,a=7,b=10,△ABC有两解. 正确的个数为 B.2 C.3 A.1 D.4 8. 已知OA+OB与OC为相反向量,若1O4-2,OB|+OC=4,则O4.OB夹角的余弦的最 小值为 . B-1 C.1 D. -1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 已知复数2-1+i 1_则 B. A. z2*25是纯虚数 2+i-2 C. z·艺--1 D.复平面内三土z:i对应的点位于第三象限 10. 已知向量a=(-6,3),b=(1,,则 A. 当a+b=(-5,4)时,t=1 C.a与b夹角为锐角时,则1的取值范围为(2,+oo) 11. 如图,在校长为2的正方体ABCD-A.BCD中,M为DD的中点,F为侧面A4.DD内 一动点,且BF/平面BCM,过A.M,C三点作正方体截面O,则 A. 三校锥D一DCB的外接球表面积为43n B. 动点F的轨迹是一条线段 C. 三校锥F-BCM的体积是定值 高一期中数学试题 第2页,共4页 第II卷(非选择题 92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形ABCD. 已知AB'=2,BC'=1,则四边形ABCD的周长为 13.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中描述了一种五面体一-刍蔓,其底面为矩形 顶梭和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一当亮,EF//AB,侧面△ADE和△BCF 为等边三角形,AB-4,BC=2,FF=1,则该刍亮的体积为_ 14. 已知锐角△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,S为△ABC的面积,且2S=a2}-(b-)}, 则4-126c+170 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知复数z满足(2+i)z-7i-23-2il (1)求复数z和; (2)若复数z是关于x的方程2x2土ax+b=0的一个根,求实数a.b的值 16.(本小题满分15分) 如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且DC-2BD,O是线段AD的中点延长BC 交AC于E点,设BO-24B+AC。 (1)求2+的值 (2)若△4BC为边长为2的正三角形,求OE:BC的值 高一期中数学试题 第3页,共4页 17.(本小题满分15分) 如图,在正三梭柱ABC-4BC中,E.F,G,H分别是校AB,AC,4B,4C 的中点. A1 (1)求证:B.C.H.G四点共面; C (2)求证:平面BCHG/平面AEF 18.(本小题满分17分) 已知平面四边形ABDC中,对角线CB为钝角/4CD的平分线,CB与AD相交于点O AC-5,AD-7,cos乙ACD-- 5. (1)求sin乙ACO的值 (2)求CO的长; (3)若BC=BD,求△ABD的面积 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中,0为坐标原点,对任意两个向量m=(x,y),n=(x,y),作 OM=m,ON-n.当m,"不共线时,记以OM,OV为邻边的平行四边形的面积为 S(m,n)=xy一xy;当m,n共线时,规定S(m,n)=0 (1)分别根据下列已知条件求S(m,) ①m=(2,1),n=(-12); ②m=(1,2),n=(2,4): (2)若向量p=am+n( ,eR,a2}+2}*0),证明:S(p,m)+S(p,n)=(a|+ll)S(m,n); (3)若A.B,C是以O为圆心的单位圆上不同的点,记OA=a,OB-b,OC-c (i)当a1时,求S(c.a)+S(c,)的最大值 (iiì)写出S(a.b)+S(c.a)+S(c.b)的最大值,(只需写出结果) 高一期中数学试题 第4页,共4页 山东省实验中学2024~2025学年第二学期期中 高一数学试题答案 2025.04 一、选择题 DABCC BAD 二、选择题 ABD ACD BCD 三、填空题 14.212 四、解答题 15.(1)因为复数z满足(2+i)z-7i=23-2i. 所以(2+i)z-7i=2、-2i(23){}+(-2)*}-4 所以z-4+7i(4+7i)(2-i) (2+i)(2-i) -3+2i. 2+i= 所以2-3+22-1. (2)因为复数z是关于x的方程2x2+ax+b-0(a,beR)的一个根 由(1)知z=3+2i,所以 2$(3+2i){}+a(3+2i)+b=2(9+12i-4)+3a+2ai+b=10+3a+b+(2a+24 i= [10+3a+b=0 所以 12a+24=0 解得a=-12,b-26. 16.(1)因为O为AD的中点,DC=2BD B=BA+40=B+AD -##0△#0 #-2#n0# 6 (2)设AC=tAE,因为O为AD的中点,DC=2BD, :4-}A-(4B+BD)-+B-+(A-AB)-B+C 2 2 6 3 2 6 6 #-_# 3 6 数学试题参考答案第1页,共4页 ##E---4-44-)414 因为△ABC为边长为2的正三角形 12 3 ) 17. (1):G,H分别是A.B,4C的中点, .GH是△AB.C的中位线,.GH//BC; 又在三校柱ABC-A.BC.中,BC //BC,*.GH//BC, .B,C,H,G四点共面. (2) .在三校柱ABC-A.BC 中,AB//AB,A.B=AB .四边形A.EBG是平行四边形:'4E//BG. .* AEC平面AEF,BGC平面A.EF,.'.BG//平面A.EF 又E,F是AB,AC的中点,所以EF//BC,又GH//BC 所以GH//EF: ·. EF一平面A.EF,GH平面A.EF,.'.GH//平面A.EF 又BGOGH=G,BG,GHC平面BCHG 所以平面BCHG//平面A.EF. 18. 对角线CB为钝角/ACD的平分线 所以cosACD=1-2sin2ACO. 2 (舍). 5 15 所以sin ACO=sin DCO= (2)由题意,在;ACD中,由余弦定理可得 =CD-25答D(-). AD}=AC②}+CD-2AC.CD·cos ACD. 整理可得CD}+2CD-24=0,解得CD=4或CD=-6(舍去); 因为cosACD--!. 所以sin<ACD-2、6 又因为Sco=Sco+Soco. 数学试题参考答案第2页,共4页 所以CA.CD.sinACDCA.CO.sinACo+CD.COsinDCo, 2 2 2 所以x5x4x2 5 2 2 5+2 80 解得Co-8 10; 9 AC AD (3)在AACD中,由正弦定理可得 sin乙ADCsin乙ACD' 5 7# 因为乙ACD为钝角,所以cos/ADC-5 因为BD=BC,所以 BDC= BCD. 所以sinzBDC=sinBCD- 5 在△BCD中,由余弦定理可得 5 2CD.BD 2BDBD' 解得BD-BC-10. 因为sin ADB=sin(BDC- ADC) =sin BDC.cos ADC-cos BDC.sin ADC 1551026 15 5 35' 2 35 19. (1)解:因为=(2.1),n=(-1,2) 且$)=×y-x2y 所以$(i,)=2x2-1x(-1)=5; 又=(1,2),i=(2,4). 是$(,)=1x4-2x2=0; ($) 因为向量=(x,y,=(x,). 且向量=a+ī(,ER,a2}+{}0) 则=(ax+x,y+y), 所以$()=l(x.+)y-y,+y)x=lxy-×y 同理$(,)=dxy-×y 所以$(,)+s()=+)s() (3) (i)设,ā=,因为ā1 所以c,-32 -a. 2 数学试题参考答案第3页,共4页 所以s(c,a)t(,)sntsin-e). -sinncog={(;in(_-). 37时, s(cā)+s(c,)取得最大值2: (ii)设不包含A的BC,不包含B的CA,不包含C的AB所对的圆心角分别是B,B,B. 不妨设B,B,B<π,否则适当地将A.B,C中一点改为其对径点,则Sā,b),s,),S(,ā)不变,但 情况变为B,B,B<π. 又由于B+B+B-2π,故 =2sin #2 2 2 2{ 2 2 #+BB2 =4sin- 35 所以s(a,)+s(5.c)+s(c,ā)的最大值为3