精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题

巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷 高一年级+数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 5. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8. 某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（ ） A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在锐角 中， ，点 为 所在平面内一点，且满足 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 为三角形 的重心 B. 为三角形 的外心 C. 若 ，则 的取值范围是 D. 若 ，则 取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数，则虚部为__． 13. 已知向量，且‖，则__________. 14. 如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则______，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题每题15分，第18、19小题每题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）； （2）. 16. 已知复数（）． （1）若实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 （1）当时，求值，并求此时防护网的总长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷 高一年级+数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，复数表示的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即得. 【详解】由可得. 故选：A. 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,故. 故选：C 4. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 5. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 6. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 7. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，得的，即可求解. 【详解】由，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为， 可得，所以，则， 因为，所以. 故选：B. 8. 某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（ ） A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】先由题中条件，计算梯形底面的面积，再由棱柱体积公式，即可求出结果. 【详解】计算梯形底面的面积：，由于铺设长度为300，故立方厘米． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】因为向量，， 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故B正确； 若，解得，故C错误； 若，则，所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 11. 在锐角 中， ，点 为 所在平面内一点，且满足 ，则下列说法正确是 （ ） A. 为三角形 的重心 B. 为三角形 外心 C. 若 ，则 的取值范围是 D. 若 ，则 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB，如图取AC，BC中点为D，E，由题可得，据此可判断选项正误；对于CD，由AB可得，又由题可得，，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，如图取AC，BC中点为D，E，则， ，因， 则，，即 为BC，AC中垂线交点， 即 一定为三角形 的外心，故A无法判断（正三角形重心，外心重合，但题目无条件能够判断三角形是否为正三角形），B正确； 对于CD，如图以为圆心，做出三角形的外接圆，因，则外接圆半径R满足： ，则， 又注意到为劣弧AC所对的圆周角，为弧对应的圆心角，则. 如图，延长AO，CO，交圆O于F，G，因为锐角三角形， 则外心O在三角形内部，则点B轨迹为劣弧FG（不包括F，G）. 注意到，则. 又，， 则， 因，则.故C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：外心为三角形三条边中垂线的交点，也是三角形外接圆圆心，对于关于外心的问题，常联想正弦定理，也可将外接圆画出，利用圆的几何性质解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数，则的虚部为__． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合虚部的定义即可得结果. 【详解】因为复数，所以的虚部为1. 故答案为：1. 13. 已知向量，且‖，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由‖，直接列方程求解即可. 【详解】因为，且‖， 所以，得. 故答案为： 14. 如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据体积关系可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得. 【详解】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题每题15分，第18、19小题每题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）； （2）. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义运算可得，由向量数量积的运算律运算求解； （2）根据模长关系结合向量数量积的运算律运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：. 16. 已知复数（）． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）或4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据复数的运算得出+的坐标，再根据复数的几何意义列出不等式求解即可． 【小问1详解】 因为的实部与的模相等， 所以， 化简为， 解得或4． 【小问2详解】 复数在复平面上的对应点为在第四象限， 所以， 故的取值范围为． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；根据题意，结合割补法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解； （2）根据（1）中结果结合结合割补法即可求解． 【小问1详解】 在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. 【小问2详解】 由（1）可得：四棱锥的体积. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用余弦定理可得出的值，由此可得出的周长； （3）利用三角恒等变换得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理 又∵，∴，∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，，∴， 故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故，∴， 即的取值范围是 19. 如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 （1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 【答案】（1），9km； （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理求，由正弦定理求，可得是等边三角形，即可求防护网总长度. （2）设，表示其他角，利用正弦定理表示，根据三角形面积公式即可求出最小值. 【小问1详解】 ∵，，，∴，. 在中，由余弦定理得：，∴， 由正弦定理得：，即， ∴，又锐角，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴的周长，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即，∴， 在中，由正弦定理得，即，∴， ∴ ， 当，即时，的面积最小，最小面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$