数列解答题专项练习-2025届高三数学二轮复习

2025届高三数学解答题专项练习（数 列） 1．已知数列满足 （1）写出，，； （2）证明：数列为等比数列； （3）若，求数列的前项和． 2．记数列的前项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 3．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且． （1）求数列的通项公式； （2）对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列， 求的前40项和． 4．记正项数列的前项和为，且满足对任意正整数有，，构成等差数列；等比 数列的公比，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 5．数列是等差数列，其前项和为，数列是等比数列，，，， ，． （1）求数列、的通项公式； （2）的前项和， ①求证：； ②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 6．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：①； ②． 7．已知数列满足：，，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值． 8．已知函数的图象与椭圆交于，两个不同的点． ，是上的点，在处的切线交轴于点，，过作轴的垂线交于， 在处的切线交轴于点，，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到 ，，，，，，． （1）求，； （2）记直线的斜率为． 设△，△的面积分别为，，证明：； 若，求证：． 临澧一中2025届高三数学解答题专项练习（数 列） 参考答案 1．（1）由可得；；； （2）证明：， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得，即，， 所以：， 前项和， ， 两式相减可得，化简可得． 2．（1）当为奇数，且时，，也满足， 当为偶数时，， 综上，数列的通项公式为； （2）， 数列的前项和． 3．（1）对任意正整数，有，且， 可得时，，解得；时，，解得； 时，，解得． 当时，由，可得， 两式相减可得，化为， 时，上式显然成立；所以当时，， 所以，上式对，也成立， 所以，； （2）由，即为， 可得数列中有34项为中的前34项，其中的6项为2，4，8，16，32，64， 所以的前40项和为． 4．（1）由对任意正整数有，，构成等差数列，则， 当时，，即， 当时，，即， 又，即， 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由数列为等比数列且公比，，，则，即， 即； （2）由（1）可得：， 则． 5．（1）因为是等差数列，数列是等比数列，，， 所以，解得，所以； 因为，，，所以， 因为，解得，，所以； （2）①证明：由（1）得，，故， 所以， 两式相减得，， 所以，因为，所以，故． ②由①得， 设，则数列是递增数列． 当为偶数时，恒成立，所以； 当为奇数时， 恒成立，所以 即． 综上，的取值范围是． 6．（1）. （2）由（1）， ①因为，所以， 当时，； 当时， ， 综上，对任意的，. ②因为， ． 综上，． 7．（1）因为，所以，由，得，则，， 由，得， 当时，由，得， 故整理得， 所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以； （2）由（1）知，, x 递增 极大值 递减 因为数列为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以，， 因为，所以，其中，2，3，…，m． 当时，有；当，3，，m时，有． 设（），则， 令，得，列表如下： 因为，所以． 所以，故，故， 令（），则，令，则， 当时，，即，∴在上单调递减， 即时，，则， 下面求解，化简得，令， 则，由得，，∴在上单调递减， 又由于，， ∴存在使得，所以，∴m的最大值为5． 8．（1）因为函数，所以，，， 则在处的切线方程为； 令，可得，即． 由，可知在处的切线方程为； 令可得，即； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以． （2）证明：设，，，， 由题意，不同时为0，不妨令且；． 由（1）可知；则． 要证，即证，即证； 令，即证， 再令，即证，即证． 构造函数，则，所以在上单调递增； 即（1），所以得证．即． 证明：由可知，，所以． 因为，①②得，①②得； 即，即． 因为，所以；所以． 所以． 即．当时，有， 即，所以，从而． 学科网（北京）股份有限公司 $$