专题二第2讲 数列求通项专项训练——2025届高三数学二轮复习

专题二 数列 第2讲 数列求通项 一、考点透析 考点1 定义法求通项 1.(2025·江西省南昌市·期中)设为数列的前项积，已知，则(    ) A. B. C. D. 考点2 由递推关系求通项 方向1 累加法与累乘法 1.已知数列{an}中，a1＝1，－＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　. 2.(2025·河南省·联考)如图，在的边和上，分别分布着一系列点，，，，和，，，，，使得，且所有梯形的面积均相等设，其中，，的面积为． 求梯形的面积 求数列的通项公式． 方向2 构造法求通项  1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟)如图，一个圆形仓鼠笼被分为，，，四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·河南省·联考)记为数列的前项和，且，． 求； 证明：为等比数列； 求．   3.(2025·宁夏银川市·模拟)记数列的前项和为，已知，． 证明：数列为等差数列； 求数列的前项和． 方向3 倒数法求通项 1.(2025·广东省深圳市·模拟题)已知数列满足，则下列结论正确的是(    ) A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 2.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟)已知数列中，，． 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式； 设，为数列的前项和，证明：． 方向4 多项递推关系求通项 1.(2025·浙江省杭州市·模拟)某大型景区有处打卡景观．若这处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向不可逆行可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则          ． 2.已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则这个数列的通项公式为　　. 3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 考点3 由an与Sn的关系求通项 1.(2025·河南省开封市·模拟)数列的前项和满足：，则数列的通项公式          ． 2.(2025·广东省深圳市·模拟)在，这三个条件中，请选择一个合适的条件,补充在下题横线上只要写序号，并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有          ． 求的通项公式 设，数列的前项和为，证明：． 二、跟踪练习 1.（多选题）(2025·四川省成都市·模拟)已知数列中，，，，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·河南省·模拟)已知数列的前项和为，，． 求证：数列是等差数列． 设，数列的前项和为，求．  3.(2025·河南省·联考)已知是等差数列，，数列的前项的和为，数列的前项和为，且满足． 求数列和的通项公式 设数列满足，求的最小值． 4.已知各项均不相等的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，对任意的n∈N*且n≥2，有3an＝an＋1＋2an－1，则an＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 数列 第2讲 数列求通项 一、考点透析 考点1 定义法求通项 1.(2025·江西省南昌市·期中)设为数列的前项积，已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 所以， 所以． 当时，， 两式相除得：， 所以，所以， 所以． 故选：． 考点2 由递推关系求通项 方向1 累加法与累乘法 1.已知数列{an}中，a1＝1，－＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　. 【答案】 【解析】由题意得，－＝2，－＝3，－＝4，…，－＝n（n≥2）， 累加得，－＝2＋3＋4＋…＋n， 又a1＝1，所以＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝， 所以an＝. 2.(2025·河南省·联考)如图，在的边和上，分别分布着一系列点，，，，和，，，，，使得，且所有梯形的面积均相等设，其中，，的面积为． 求梯形的面积 求数列的通项公式． 【答案】（1）3； （2） 【解析】由，故∽． ，， 由面积之比为相似比的平方， 得． 梯形的面积为． ，且所有梯形的面积均相等， ， 解得， 当时， ， 又满足上式， 所以．  方向2 构造法求通项  1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟)如图，一个圆形仓鼠笼被分为，，，四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】对于，因为仓鼠一开始在区域，经过次选择后不可能在区域，所以，故A正确 对于，记仓鼠经过次随机选择后在，，区域的概率分别为，，， 则有 所以，进一步得， 因为，所以，所以， 所以不成等比数列，故B错误 对于，因为， ．，所以，故C正确 对于，因为，， 所以，故D正确． 故选：． 2.(2025·河南省·联考)记为数列的前项和，且，． 求； 证明：为等比数列； 求． 【答案】（1） （2） 见解析 （3） 【解析】令，得，而， 则，得； 证明：由， 当时，， 两式相减，可得，即， 而，则，满足上式，     故是首项为，公比为的等比数列； 方法一：由可得，故， 故； 方法二：由，得， 而，故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，故．  3.(2025·宁夏银川市·模拟)记数列的前项和为，已知，． 证明：数列为等差数列； 求数列的前项和． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】证明：由， 当时，， 两式相减得，即， 则， 由整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为． 由可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则， 所以． 方向3 倒数法求通项 1.(2025·广东省深圳市·模拟)已知数列满足，则下列结论正确的是(    ) A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD  【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，A正确； 由是以为首项，以为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：． 2.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟)已知数列中，，． 证明：数列为等差数列； 求数列的通项公式； 设，为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 证明：由题意，可得， 又，则， 验证：当，代入中得，成立， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； 由可得， 所以数列的通项公式为； 由可得：， ， ，，且随着的增大而减小， ，当时，，   ．  方向4 多项递推关系求通项 1.(2025·浙江省杭州市·模拟)某大型景区有处打卡景观．若这处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向不可逆行可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则          ． 【答案】  【解析】由题意知，，，，，，， 且， 所以路线数满足斐波那契递推， 则前项分别为 则，，，，， 则． 故答案为：． 2.已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则这个数列的通项公式为　　. 【答案】an＝×3n－1＋（－1）n－1 【解析】∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2），又a1＋a2＝7， ∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则an＋an－1＝7×3n－2①， 又an－3an－1＝－（an－1－3an－2），a2－3a1＝－13， ∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则an－3an－1＝（－13）·（－1）n－2②， 由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·（－1）n－1， ∴an＝×3n－1＋（－1）n－1. 3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 【答案】 【解析】法一：因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)， 设bn＝an＋1＋an，所以＝3， 又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以bn＝an＋1＋an＝3×3n-1＝3n， 从而，不妨令cn＝，即cn＋1＋， 故cn＋1－，即， 又因为c1－， 所以数列{cn－}是首项为，公比为－的等比数列， 故cn－n-1＝，从而an＝. 法二：因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3， 可设an＝c1·(－1)n-1＋c2·3n-1， 由a1＝1，a2＝2，解得c1＝， 所以an＝. 考点3 由an与Sn的关系求通项 1.(2025·河南省开封市·模拟)数列的前项和满足：，则数列的通项公式          ． 【答案】  【解析】因为数列的前项和满足：， 当时，， 当时，不适合上式； 故数列的通项公式． 故答案为：． 2.(2025·广东省深圳市·模拟)在，这三个条件中，请选择一个合适的条件,补充在下题横线上只要写序号，并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有          ． 求的通项公式 设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】若选，， 与数列的各项均为正数矛盾， 若选，， 因为，又， 所以， ， 显然， 所以， 即是以为首项，为公差的等差数列， 从而，即，因此， 而满足上式，所以． 若选，， 所以， 当，得， 两式相减，得， 即， 而，，则， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 证明：由知，，， 所以， 则， 显然数列单调递减， 所以，则，所以．  二、跟踪练习 1.（多选题）(2025·四川省成都市·模拟题)已知数列中，，，，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】解：由，两边除以，得， 故是公差为的等差数列， 已知，则，由等差数列通项公式， 故， ，A正确； ，B正确； ，而，故不成立，C错误； ， D正确． 故选：． 2.(2025·河南省·模拟)已知数列的前项和为，，． 求证：数列是等差数列． 设，数列的前项和为，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】证明：因为， 可得， 所以， 两边同除以， 可得，即， 又因为， 可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； 由可得， 所以，可得， 所以， 则， 两式相减，可得 ， 所以．  3.(2025·河南省·联考)已知是等差数列，，数列的前项的和为，数列的前项和为，且满足． 求数列和的通项公式 设数列满足，求的最小值． 【答案】（1），； （2）当时，取得最小值，为 【解析】设等差数列的公差为， 则数列的前项的和为 ． 所以． 所以，即． 因为， 令，则，解得． 又， 得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以． 由可得， 则． 因为，当时， 当时，， 所以． 所以当时，取得最小值，为．  4.已知各项均不相等的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，对任意的n∈N*且n≥2，有3an＝an＋1＋2an－1，则an＝________． 【答案】2n-1 【解析】对任意的n∈N*且n≥2，3an＝an＋1＋2an－1等价于an＋1－an＝2(an－an－1)， 而a1＝1，a2＝2，即a2－a1＝1， 所以数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 则an＋1－an＝2n-1. 当n≥2时，an－an－1＝2n-2， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋20＋2＋…＋2n-2 ＝1＋＝2n-1， 而a1＝1也满足上式，所以an＝2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $