8.6.2 直线与平面垂直的性质定理课件 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 第二课时 直线与平面垂直的性质定理 垂线 垂线 学习目标 1.通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.(重点) 2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点) 3.会求直线与平面、平面与平面的距离.(难点) 刘雨萌 复习回顾 温故知新 1. 直线和平面垂直的定义如何？ 如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中这条直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. α A 2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 关键：线不在多，相交则行. 刘雨萌 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？ 它们彼此之间具有什么位置关系？ A A1 B C D B1 C1 D1 观察 平行 垂直 新知探究 刘雨萌 4 O 证明: 假设b不平行于a, 已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b． 如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？ 思考 反证法 新知探究 刘雨萌 直线和平面垂直的性质定理： 符号语言： 图形语言： 垂直于同一个平面的两条直线平行. a b α 据上述分析，得到一个什么结论？ 作用：证线线平行 新知探究 刘雨萌 知识梳理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 ⇒a∥b 图形语言   平行 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的 两个平面不一定平行 刘雨萌 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1. 典例分析 刘雨萌 小结提升 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等. (3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线. (4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. 刘雨萌 新知探究 若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等吗？ 问题1 例2.如图，直线 平行于平面 ，求证：直线 上各点到平面 的距离相等。 提示　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1. ∵AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1∥BB1， 设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1， ∵l∥α，∴l∥A1B1. ∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1=BB1. 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等. 刘雨萌 知识梳理 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面　　　时，这条直线上　　　　　到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面　　　，那么其中一个平面内的　　　　　到另一个平面的距离都　　　，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 平行 任意一点 平行 任意一点 相等 刘雨萌 典例分析 例2　 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积. 刘雨萌 小结提升 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离. (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离. (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高. 刘雨萌 跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点. (1)求证：AE⊥平面PAD； 跟踪训练 (2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： （1）直线和平面垂直的性质定理； （2）一种证明直线和直线平行的方法: （3）欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：距离转化不当导致错误. 刘雨萌 1.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为 A.40 cm B.10 cm C.80 cm D.40 cm或10 cm √ 2.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为 A. B.1 C.2 D. √ 随堂演练 刘雨萌 3.(多选)下列命题正确的是 A.⇒b⊥α B.⇒b∥α C.⇒a⊥β D.⇒a∥b √ √ √ 4.(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 A.a和b垂直于正方体的同一个面 B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面 C.a和b平行于同一条棱 D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 √ √ √ 随堂演练 刘雨萌 3.(多选)下列命题正确的是 A.⇒b⊥α B.⇒b∥α C.⇒a⊥β D.⇒a∥b √ √ √ 4.(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 A.a和b垂直于正方体的同一个面 B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面 C.a和b平行于同一条棱 D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 √ √ √ 随堂演练 刘雨萌 课后作业 韩语班：教材155页 习题1-4 4班：课后作业36 1-10必做，11-16选做 5班：课后作业36 1-14必做，15-16选做 刘雨萌 例 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：=. 跟踪训练　如图，已知α∩β=AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB. 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 $$