江苏省扬州中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题 高二数学 2025.04 试卷满分:150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，则=（   ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则=（   ） A．0 B． C．1 D． 3. 的展开式中第3项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 4. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 5. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（   ） A．60种 B．50种 C．40种 D．30种 6. 在平行六面体中，，. 取棱的中点,则（   ） A． B． C． D． 7. 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 8． 在的展开式中，的系数为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当，，时，点到平面的距离的最小值是 C．当，时，的最小值为 D．当，时，点的轨迹总长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 若，则的值为 . 13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人， 共有 种不同分配方法. 14. 函数的两个极值点满足， 则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16， (1)求展开式中所有项的二项式系数的和； (2)求含的项的系数. 16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人， 女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)名男学生互不相邻； (2)名老师之间恰有1名男学生和1名女学生． 17. 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)若函数的最大值为，求实数的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，， 平面，，点分别为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？ 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，判断在上的零点个数并说明理由. 江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题 高二数学 2025.04 试卷满分:150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知函数，则=（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 3.的展开式中第3项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 故选：C 5. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（    ） A．60种 B．50种 C．40种 D．30种 【答案】D 6. 在平行六面体中，，. 取棱的中点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 7. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】B 8．在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点； C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 【答案】BC 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 11．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（       ） A．当时， B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C．当，时，的最小值为 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 【答案】ACD 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 因为，∴ 对于A，当时，，此时,，，得，， 所以直线与平面垂直，故A正确； 对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确； 对于C，当，时，，， 故， 故 令，则 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时 则的最小值为，故C正确； 对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点， 因为，所以点是的中心， ，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上， 点到三边的距离为，       此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ; 【答案】 13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有 种不同分配方法； 【答案】 14. 函数的两个极值点满足，则的最小值为 . 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16， (1)求展开式中所有项的二项式系数的和； (2)求含的项的系数. 【详解】（1）由得， 所以二项式系数的和为：； （2）二项展开式的通项为：， 依题意，令，解得，则有， 故的系数为40. 16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)名男学生互不相邻； (2)名老师之间必要有男女学生各人． 【详解】（1）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （2）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 17. 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）， ∴， 由，得. ， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为. （2）， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ∴， ∴， 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去. 综上，. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点分别是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）连接与交于点，连接， 底面为菱形，点为的中点， 点为的中点， 又平面，平面，,,，又平面，,平面，又平面，平面平面. （2）平面，且底面为菱形，两两垂直. 以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 底面为菱形，且，则为等边三角形， ，， 分别为的中点，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则， 底面为菱形，， 平面平面，且平面平面平面， 平面， 为平面的一个法向量， 设二面角大小为， 则． 所以二面角的大小为； （3）不存在，理由如下： 因为点在线段上，设， 由可得， 则，则，则， 由题意，若直线与平面所成夹角为， 则， 整理得，解出 又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点． 19. 已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 【详解】（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. （3）当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$