精品解析：山东省日照市金海岸中学2024-2025 学年 上学期八年级期中测试数学试题

2024-2025学年度上学期期中考试 八年级数学试题 （分值：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 4. 按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ） A. OC垂直平分DE B. CE=OE C. ∠DCO=∠ECO D. ∠1=∠2 5. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD是角平分线，若BD=8，则CD等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 8. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知AF平分∠BAC，过F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20度，则∠F的度数是（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 不能确定 10. 如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的两边长分别是5cm和9cm，则这个三角形的周长是______． 12. 如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号） 13. 如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长_____． 14. 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________． 15. 如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________． 16. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 三、解答题．（本大题共6小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 18. 如图，AD、BE分别是的高和角平分线，，求的度数． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 20. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D． （1）求证：△BCE ≌△CAD； （2）若AD =12， BE =5，求ED的长． 22. 中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，， （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 阅读材料： 如图①，在中，，若，则有； 利用以上结论解决问题： 如图②，等边的边长为，动点P从点B出发，以每秒的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点P的移动时间为t秒． （1）填空： ______（度）；t的取值范围是_____； （2）试求当t取何值时，的形状是等边三角形； （3）试求当t取何值时，的形状是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中考试 八年级数学试题 （分值：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：选项B，C，D中的图形都能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分不能完全重合，不是轴对称图形， 故选A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 3. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理作答． 【详解】解：∵多边形外角和， ∴这个正多边形的边数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°． 4. 按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ） A. OC垂直平分DE B. CE=OE C. ∠DCO=∠ECO D. ∠1=∠2 【答案】B 【解析】 【分析】先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质和线段垂直平分线的判定定理可判断正误． 【详解】在△OCE和△OCD中， △OCE≌△OCD（SSS）， ∠1=∠2，∠DCO=∠ECO， OC垂直平分DE. 故选项B错误. 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，其中证明△OCE≌△OCD是解题的关键． 5. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD是角平分线，若BD=8，则CD等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知和三角形内角和定理求出∠CAD=∠DAB=∠B=30°，求出AD=BD，AD=2CD，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD是角平分线， ∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°， ∴AD=BD，AD=2CD， ∵BD=8， ∴CD=4， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，能求出AD=BD和AD=2CD是解此题的关键． 7. 如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求． 【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决． 8. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，已知AF平分∠BAC，过F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20度，则∠F的度数是（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵∠B比∠C大20度，即∠B=20°+∠C， ∵AF平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAF， ∵∠ADC=∠B+∠BAF，△ABC内角和为180° ∴∠BAF+∠B=100° ∴∠ADC=100° ∵FD⊥BC ∴∠F =100°-∠ADC =100°-90°=10°． 故选A 考点: 三角形内角和定理． 10. 如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故②正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的两边长分别是5cm和9cm，则这个三角形的周长是______． 【答案】19cm或23cm 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长是5cm时，因为5+5>9，符合三角形的三边关系，此时周长是19cm； 当腰长是9cm时，因为9+9＞5，符合三角形三边关系，此时周长是23cm； 故答案为：19cm或23cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行． 【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合 故答案为：②③． 【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合． 13. 如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长_____． 【答案】2cm##2厘米 【解析】 【分析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为2cm． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14. 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AD，AM， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AM=BM， ∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD， ∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，， ∴， ∴AD=6， ∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD． 15. 如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】证明：∵CF//AB， ∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A， ∵点E为AC的中点， ∴AE= EC， 在△ADE和∆CFE中， ∴△ADE≌∆CFE(AAS)， ∴AD= CF= 6.5， ∵AB= 9， ∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5， 故答案为： 2.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA， AAS，SSS． 16. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，同时注意坐标与线段长度之间的转化． 通过作辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形对应边相等的性质建立等式，得到关于、的等式，即可确定、之间的数量关系． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点． ． ． ． 在和中： ， ． ． ，． ． ． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题．（本大题共6小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析，，，． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形． （1）先在平面直角坐标系中描出点、、关于轴的对称点，，，再依次连接即可由图即可得，，的坐标； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形得面积． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求，，，． 【小问2详解】 18. 如图，AD、BE分别是的高和角平分线，，求的度数． 【答案】62° 【解析】 【分析】根据AD、BE分别是的高和角平分线，可得∠ADB=∠ADC=90°，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AD、BE分别是的高和角平分线， ∴∠ADB=∠ADC=90°，， 又∵， ∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=64°，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°， ∴， ∴， ∴的度数为62°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 【答案】 与互相垂，理由如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴与互相垂直， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质，由题意得，可证，得，得出结论是线段的垂直平分线，即可求解； 【详解】略 21. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D． （1）求证：△BCE ≌△CAD； （2）若AD =12， BE =5，求ED的长． 【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7． 【解析】 【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长． 【详解】解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D， ∴∠CEB=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∵∠ACB = 90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 又∵AC = BC， ∴≌； （2）由（1）知，≌， ∴BE=CD，CE=AD， ∵AD =12， BE =5， ∴CE=12，CD=5， ∴ED=CE－CD=12－5=7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键． 22. 中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，， （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）由平行线的性质得出，由证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，证出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 阅读材料： 如图①，在中，，若，则有； 利用以上结论解决问题： 如图②，等边的边长为，动点P从点B出发，以每秒的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点P的移动时间为t秒． （1）填空： ______（度）；t的取值范围是_____； （2）试求当t取何值时，的形状是等边三角形； （3）试求当t取何值时，的形状是直角三角形． 【答案】（1） （2） （3）t的值为4或10 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质即可得的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围； （2）当时，的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可； （3）分两种情况：时；时，由此建立方程即可求得t的值． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，； ∵动点Q的速度大于动点P的速度， ∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为：（秒） ∴t的范围为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，的形状是等边三角形， 由题意：， ∴； ∴， 解得：， 即当t为秒时，的形状是等边三角形； 【小问3详解】 解：当或时， ∵， ∴由题目材料结论知，的形状是直角三角形； ①当时，即， 得：； ②时，即， 得：； 综上，当t的值为4或10时，的形状是直角三角形． 【点睛】本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．在解答（3）小题时注意运用题中材料的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $