精品解析：江苏省苏州工业园区金鸡湖学校2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024-2025学年第二学期期中考试 初二年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2、所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效： 3、字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、选择题（共10小题，每小题2分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】‌解：A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 67011名考生 B. 抽取的2000名考生 C. 67011名考生的数学成绩 D. 抽取的2000名考生的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可． 【详解】从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计， ∴在这个问题中样本是抽取的2000名考生的数学成绩． 故选：D． 3. 下列选项中，发生可能性最大的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王” B. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数 C. 随机调查位青年，他是月出生 D. 一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件发生的可能性大小，分别求出每个选项中事件发生的概率即可判断求解，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：、从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王”概率为； 、抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为； 、随机调查位青年，他是月出生的概率为； 、一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球的概率为； ∴发生可能性最大的是选项， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是3； 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出是解题的关键. 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 6. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值． 【详解】解：∵△OPQ的面积是2， ∴k的绝对值为4， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k的值为﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键． 7. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 8. 设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论． 【详解】∵y=（k≠0，x＞0）， ∴z==（k≠0，x＞0） ∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限， ∴k＞0， ∴＞0． ∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象． 9. 近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数，再与原来的度数比较是解题的关键． 根据眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴400度近视眼镜，矫正治疗后所配镜片焦距调整为，可求出现在小明佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解． 【详解】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为， ∴，即矫正治疗后小明佩戴的眼镜度数是，小明原来佩戴400度， ∴，即下降了度． 故选：． 10. 如图，两条宽都为的纸条交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形，然后由所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求出的长，即可解决问题．本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理、所对的直角边是斜边的一半等知识，求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 由题意可得，，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形， ，， ∴， ∴， ∴ ∵， ， ， 即重叠四边形的面积为， 故选：C． 二、填空题（共8小题，每小题2分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，可求解x的取值范围，进而可求解． 【详解】根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3； 根据分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3． ∴x＞3． 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 成语“水中捞月”所描述的事件是____________；（填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】不可能事件 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件． 故答案为：不可能事件 13. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第4组的频数，再根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：由题意知，第4组的频数为， ∴第4组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求频率，正确求出第4组的频数是解题的关键． 14. 如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中合理的是_____．（填编号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误． 故答案为②． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______. 【答案】##度 【解析】 【分析】根据题意可知，等量代换求出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 16. 若点，在反比例函数（为常数）的图象上，则_________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ， ∴反比例函数图像经过一、三象限，且在每一象限，y随x的增大而减小， ∵ ，， ∴点，都在第三象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的一条边在y轴上，，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和的中点C，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意表示出平移后的点，代入即可求得k的值． 【详解】解：∵的一条边在y轴上，， ∴， ∴的中点， 设向右平移a个单位，则平移后的点， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， 解得， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化-平移，正确表示出点的坐标是解题的关键． 18. 如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点间的距离公式、三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定是解决本题的关键．过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，然后证明．可得，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系， 点和关于轴对称， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为，边长为， ，解得， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值. 故答案为：. 三、解答题（共8小题，共64分） 19. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 20. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）与关于原点成中心对称，画出； （2）的面积为___________； （3）若点在第一象限，且以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）作图见解析 （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，并依次连接即可． （2）利用分割法求三角形面积即可． （3）根据平行四边形的性质画出图形利用平移法即可解决问题． 【小问1详解】 解：即为所作： 【小问2详解】 解：； 故答案为：2.5； 【小问3详解】 解：∵，，． ∴可知点向右平移了3个单位，向上平移了1个单位得到点， 则向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 22. 某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为___________人； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中所对应的圆心角为___________； （4）若该校有2000人，估算有多少人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 【答案】（1） （2）见详解 （3）54 （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求圆心角，补齐条形统计图，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组的人数除以占比，求出本次调查的人数，即可作答． （2）运用总人数分别减去组的人数，即可得出组的人数，再补齐条形统计图，即可作答． （3）运用组的人数除以总人数，再与相乘，即可作答． （4）根据样本估计总体的公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 补齐条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：， 故答案为：54； 【小问4详解】 解：依题意，（人） ∴该校有2000人，估算有人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ； （3）过点作轴，垂足为，求． 【答案】（1）， （2）或 （3）5 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识． （1）根据反比例函数的图象过点，两点利用待定系数法求出，进而得出点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的横坐标结合图象即可得出答案； （3）作交于点，求出中边上的高长度即可． 利用数形结合的数学思想，结合已知得出边上的高是解题关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象交于，两点． ∴， ∴，， ∴反比例函数的解析式为，的坐标是． 把，代入，得： ，解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 要使得，只需函数得图象在函数的上方， 由图象可知，此时或， 故答案为：或； 【小问3详解】 作交于点， 以为底，则边上的高， ∴． 24. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键． （1）先根据一组对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形为矩形； （2）先根据矩形的性质通过导角证明，再用勾股定理解求出，最后根据求出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 25. 综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 【答案】任务1：；任务2：一个1元的硬币，右侧托盘至少要放置3个1元硬币；任务3： 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用、解一元一次不等式，任务1：根据题意得，，再根据杠杆原理列等式即可求解； 任务2：由任务1得，，当时，天平平衡，即，代入求得10枚1元硬币，即一个1元的硬币，再由反比例函数的增减性可得当时，y的最小值为16.48，即可求解； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡，此时，进而可得，再进行求解即可． 【详解】解：任务1：∵点O是的中点，， ∴， 由题意得，， 即， ∴y关于x的函数表达式为； 任务2：由任务1得，， ∵当时，天平平衡， ∴， ∴， ∴10枚1元硬币， ∴一个1元的硬币， ∵，即， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y的最小值为， 又∵， 答：右侧托盘至少要放置3个1元硬币； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡， 此时，， ∴， ∴， 答：的长度至多是． 26. 在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． （1）如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点E作于点F由等腰直角三角 形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点M，连接，由三形中位线定理得出，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出则可得出结论． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形 ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴； ②过点E作于点F ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分，， ∴； 【小问2详解】 取的中点M，连接 ∵四边形是正方形 ∴ ∵M为的中点， ∴为的中位线 ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 初二年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2、所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效： 3、字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、选择题（共10小题，每小题2分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 67011名考生 B. 抽取的2000名考生 C. 67011名考生的数学成绩 D. 抽取的2000名考生的数学成绩 3. 下列选项中，发生可能性最大的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“大王” B. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数 C. 随机调查位青年，他是月出生 D. 一个不透明袋子中装有个红球和个黄球（除颜色外均相同），摸出一个球是黄球 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 6. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 10. 如图，两条宽都为的纸条交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题2分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 成语“水中捞月”所描述的事件是____________；（填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”） 13. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 14. 如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中合理的是_____．（填编号） 15. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______. 16. 若点，在反比例函数（为常数）的图象上，则_________（填“”“”或“”） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的一条边在y轴上，，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和的中点C，则k的值为______． 18. 如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为_________． 三、解答题（共8小题，共64分） 19. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 20. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）与关于原点成中心对称，画出； （2）的面积为___________； （3）若点在第一象限，且以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 22. 某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为___________人； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中所对应的圆心角为___________； （4）若该校有2000人，估算有多少人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ； （3）过点作轴，垂足为，求． 24. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 25. 综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 26. 在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． （1）如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $