专题10【真题演练】正比例、反比例

帝学科同·短子学 www,ZX×k.C0m 让学习更高效 【专题10·真题演练】正比例、反比例 基础题 1.如果4A=7B(A和B均不为0)，那么A:B=( ),A和B成( )比例。 2.下面描述中两种量成正比例关系的是( ）。 A.端午节假期小红一家自驾车从北京回金昌奶奶家团聚，汽车行驶的速度和时间。 B.爸爸用100元分别买肉和蔬菜花的钱数。 C.每块地砖的面积是6400cm2,李叔叔所用地砖数量和所铺地面的面积。 3用数学的眼光看成语“立竿见影是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和 影长成( )(填“正或“反")比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么 身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是( 米。 4如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会( ）。 A.减少20% B.增加20% C.减少25% D.增加25% 中等题 5为了体验半程马拉松，小明一家沿长江骑行步道步行前往南溪，所行的时间和路程如图。 路程/千米 25 20 56时间/时 (1)从图中可以知道小明一家步行的路程和时间成( )此例。 (2)点A表示小明一家4时走了( 千米。 6下面几组相关联的量中，成反比例关系的是( ）。 A.读一本书，已经读了的页数与未读的页数 B.小光的年龄和妈妈的年龄 C.平行四边形的面积一定，它的底和高 D.班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 7.判断：车轮的直径一定，车轮的转数和它前进的距离成正比例。() 1 多学科同·短子学 www.ZX×k.C0m 让学习更高效 8判断：非零自然数与它的倒数成正比例。( ) 9小华读一本文学名著，原计划平均每天读20页，15天读完。实际平均每天读25页，用天读 完。用比例解是( )。 A.20×15÷25 B.25:x=20:15 C.x:15=2520 D.25x=20×15 10.下题中的两种量，成反比例关系的是( )。 A.爸爸比小红大25岁，爸爸的年龄和小红的年龄 B.商品的折扣一定，原价和现价 C.汽车行驶的路程一定，速度和所用时间 11.下面x和y(均不为0)不成正比例的有( )。 B.xy=10 C.2y=x 12王叔叔开一辆小货车从邹城去济南进货。去时空车每小时行90千米，2小时到达。返回时 由于载货，每小时只能行60千米，需要多少小时返回邹城？（用比例知识解） 13购买某种草莓熊玩偶的数量与总价如表。 数量个 0 1 2 3 4 5 6 总价元 0 80 160 240 320 400 480 (1)购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例吗？为什么？ (2)先根据上表描点，再顺次连接各点。 (3)点（7,560)在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 2 多学科同·短子学 www.ZX×k.C0m 让学习更高效 14.一艘轮船从甲港驶往乙港，每小时行25千米，12小时到达。返回时每小时行30千米，可 以提前几小时到达？（用比例知识解答） 困难题 15吴媛和施燕从学校同时出发到图书馆去，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米 速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的：没走，学校到图书馆有( 米。 16金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其 高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽 也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长 度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高 度是多少米？ 17.一批本子分发给六年级一班学生，平均每人分到12本。若只发给女生，平均每人可分到 3 多学科网·短子学 www.ZX×k.C0m 让学习更高效 20本，若只发给男生，平均每人可分得多少本？ 18工程队修一条水渠，原计划6人12天完成；后来要求提前3天完成。如果每人工作效率不 变，需要增派多少人才能按时完成任务？（用比例知识解） 19为响应习总书记“义务植树的号召，学校共买来800棵小树苗，同学们4天共植树320棵， 照这样计算，还要多少天能把小树苗都植完？（用比例解答） 20在100克的糖水中，糖与糖水的比是2：10，如果再加入10克糖，要使得糖水浓度不变， 应加入( )克水。 A.10克 B.20克 C.40克 D.50克备学科同·艇子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 【专题10·真题演练】 正比例、反比例 答案解析 题号 1 2 3 4 5 答案 正 正0.91 正20 题号 6 7 8 9 10 答案 c × 0 C 题号 11 12 13 14 15 答案 B 3小时 1 2小时 1310 题号 16 17 18 19 20 答案 8米 30本 2人 6天 13.(1)计算总价与数量的比值：80÷1=80,160÷2=80,240÷3=80,320÷4=80… 可以发 现总价与数量的比值始终为80（一定），所以购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例关 系。 (2)在平面直角坐标系中，横坐标表示数量，纵坐标表示总价。根据表格中的数据，依次找 出(0,0)、(1,80)、(2,160)、(3,240)、(4,320)、(5,400)、(6,480)这些点的位置，然后用直 尺顺次连接这些点。 (3)因为前面已得出总价与数量的比值为80，当数量是7时，总价=80×7=560元，所以点(7,560) 在这条直线上。 这个点表示购买7个这种草莓熊玩偶时，总价是560元。 1 多学科同·艇子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 1.【答案】子正 【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例关系：若其乘积一定，两种量成反 比例关系。 【详解】如果4=B(A和B均不为0)，那么A:B=Z, A和B的比值一定，所以A和B成 正比例关系。 【点睛】此题属于辨识两种相关联的量成哪种比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。 2.【答案】C 【分析】判断两种相关联的量是都成正比例，就看它们是乘积一定，还是比值一定；如果他们 的比值一定，那么这两种量成正比例关系：如果它们的乘积一定，那么这两种量成反比例关系； 据此解答。 【详解】A.汽车行驶的速度×时间=从北京到金昌的距离（一定），乘积一定，所以汽车行驶 的速度和时间成反比例关系，不符合题意： B.买肉的钱数+买蔬菜的钱数=100（一定），相加之和一定，并不是乘积或比值一定，不成 比例关系，不符合题意； C.所铺地面的面积÷所用地砖数量=每块地砖的面积（一定），比值一定，所以所用地砖数量 和所铺地面的面积成正比例关系，符合题意。 故选C 【点睛】解答本题的关键是要掌握正比例关系和反比例关系的辨识。 3.【答案】 正 0.91 【分析】在同一时间，同一地点，太阳光线与地面的夹角相同，因此杆高和影长成正比例，即 杆高与影长的比值固定；设明明的影长为x米，根据竹竿高：影长=明明的身高：他的影长， 列出关于x的比例式，求出x的值。 【详解】解：设明明的影长为x米。 4:2.6=1.4:× 4x=2.6×1.4 4x=3.64 4x÷4=3.64÷4 ×=0.91 命学科网·题子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 因此同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例；明明同学在同一时刻，同一地点的影长是 0.91米。 4.【答案】C 【分析】两个成反比例的量，则乘积一定，假设甲数是5，乙数是4，即甲数×乙数=5×4= 20:当甲减少20%，则此时甲数是：5×(1-20%)=5×80%=4：由于4×乙数=20，即乙数： 20÷4=5,用乙数现在的量减去原来的量的差去除以乙数乘100%，由此即可选择。 【详解】假设甲数是5；乙数是44×5=20 甲数减少后：5×（1-20%)=4 此时乙数：20÷4=5 (5-4)÷4×100%=25% 故选C 【点睛】本题主要考查反比例的意义以及一个数比另一个数多百分之几，熟练掌握它们的运算 方法并灵活运用。 5.【答案】(1)正(2)20 【分析】(1)判断路程和时间成什么比例，需要看路程和时间的比值或乘积是否一定。这里 通过计算不同时间对应的路程的比值来判断。 (2)先根据图中信息求出步行速度，再用速度乘以时间得到4小时所走的路程。 【详解】（1)判断小明一家步行的路程和时间成什么比例 从图中可以看到，当时间是1小时的时候，路程是5千米，那么此时速度为5÷1=5（千米/ 时)；当时间是2小时的时候，路程是10千米，速度为10÷2=5（千米/时）；当时间是3 小时的时候，路程是15千米，速度为15÷3=5（千米/时）。 可以发现，不管时间怎么变化，路程除以时间的商始终是5，也就是速度不变。因为两种相关 联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这 两种量就叫做成正比例的量，所以小明一家步行的路程和时间成正比例。 (2)求点A表示小明一家4时走的路程 由前面的计算可知小明一家步行的速度是5千米/时。 根据路程=速度×时间，当时间是4小时的时候，所走的路程为5×420（千米）。 所以点A表示小明一家4时走了20千米。 6.【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是 备学科网·超子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这 两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A.已经读的页数+未读的页数=总页数（一定），和一定，则已经读了的页数与未 读的页数不成比例： B.妈妈年龄一小光年龄=年龄差（一定），差一定，则小光的年龄和妈妈的年龄不成比例； C.平行四边形的底×高=平行四边形的面积（一定），乘积一定，则平行四边形的底和高成 反比例关系； D.出勒人数÷总人数=出勤率（一定），商一定，则出勤人数和总人数成正比例关系。 故选C 【点睛】考察两种相关联的量之间成什么比例。 7.【答案】/ 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】根据分析：车轮前进的距离：转数=车轮的周长，周长=直径x,因为车轮的直径 定，则车轮的周长就一定，是比值一定，所以车轮的转数和它前进的距离成正比例，原题说法 正确。故答案为：/ 8.【答案】× 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数；判断两种相关联的量成不成比 例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值 (商)一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值 (商)不一定，就不成比例，据此解答。 【详解】分析可知，非零自然数×它的倒数=1（一定），符合反比例的定义，所以非零自然 数与它的倒数成反比例，题目说法错误。 故答案为：× 9.【答案】D 【分析】平均每天读的页数×读的天数=一本书的总页数，因为一本书的总页数一定，平均每 天读的页数和读的天数成反比例，由此列出比例解决问题。 【详解】小华读一本文学名著，原计划平均每天读20页，15天读完。实际平均每天读25页， 备学科同·超子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 用天读完。用比例解是25x=20×15。 故选D。 【点睛】解答此题的关键是，判断两种相关联的量成何比例。 10.C 【分析】乘积一定的两个量成反比例关系，商一定的两个量成正比例关系。据此分析，找出选 项中成反比例关系的即可。 【详解】A.爸爸年龄一小红年龄=25岁，爸爸的年龄和小红的年龄不成比例关系： B.现价÷原价=折扣（一定），所以原价和现价成正比例关系： C.速度×时间=路程（一定），所以速度和所用时间成反比例关系。 故选C 【点睛】本题考查了正比例和反比例，掌握二者的定义是解题的关键。 11.【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【详解】A因为=4（一定），比值一定，所以x和y(均不为0)成正比例； B.y=10(一定)，乘积一定，所以x和y成反比例： C.因为2y=x,所以x÷y=2(一定)，商一定，所以x和y成正比例。 故选B 【点睛】考察正比例和反比例的意义与辨识。 12.【答案】3小时 【分析】从邹城到济南的路程是固定的。根据公式“路程=速度×时间”，当路程一定时，速 度和时间成反比例关系，即去程速度与去程时间的乘积等于回程速度与回程时间的乘积。我们 可以设返回邹城需要x小时，然后根据反比例关系列出方程求解。 【详解】90×2=180（千米） 解：设返回邹城需要x小时。 60x=90×2。 60xs180 60 x=3 5 备学科网·超子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 答：返回邹城需要3小时。 【点睛】本题的关键是理解路程一定时速度与时间的反比例关系，并能正确运用这一关系来建 立方程求解。 13.【答案】(1)成正比例关系。理由：判断两个相关联的量成正比例关系的依据是它们的比 值一定。 (2)依次找出(0,0)、(1,80)、(2,160)、(3,240)、(4,320)、(5,400)、(6,480)这些点的位 置，然后用直尺顺次连接这些点。 (3)在；总价是560元 【分析】(1)先算出总价和数量的比值，80：1=80；160：2=80；240：5=80；320：4=80； 400:5=80;480:8=80。因为总价：数量=单价（一定），所以购买这种草莓熊玩偶的总价 与数量成正比例。 (2)根据表中的数据描点，再连线。 (3)当数量是7的时候，总价是560元，则单价就是80元/个。即在这条直线上。这一点表 示数量为7的总价。 【详解】（1)计算总价与数量的比值：80÷1=80,160÷2=80,240÷3=80,320÷4=80…可 以发现总价与数量的比值始终为80（一定），所以购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比 例关系。 (2)在平面直角坐标系中，横坐标表示数量，纵坐标表示总价。根据表格中的数据，依次找 出(0,0)、(1,80)、(2,160)、(3,240)、(4,320)、(5,400)、(6,480)这些点的位置，然后用直 尺顺次连接这些点。 (3)因为前面已得出，总价与数量的比值为80，当数量是7时，总价=80×7=560元，所以点(7,560) 在这条直线上。 这个点表示购买7个这种草莓熊玩偶时，总价是560元。 14.【答案】2小时 【分析】根据题意可知，轮船往返甲、乙港的路程不变，即速度×时间=路程（一定），一定， 那么速度和时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设返回时要用x小时到达。 30x=25×12 30x=300 6 备学科同·照子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 30x÷30=300÷30 x=10 12-10=2(小时) 答：可以提前2小时到达。 【点睛】先确定路程一定，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出速度和时间成反比例关 系，列出相应的比例方程。 15.【答案】1310 【分析】由题意可知：设学校到图书馆的距离是x米，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有 786米，即吴媛走了x米时，施慕走了x-786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全 程的二没走，即当吴媛走了x米时，施意走了：x米，利用比例的意义进行解答即可。 4 【详解】解：设学校到图书馆的距离为x米。 :(x-786）=:(1-x 4 x:(x-786)=x:5x x:（x-786)=5:4 2x=5x-3930 3x=3930 x=1310 答：学校到图书馆有1310米。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确两次走的路程是解题的关键。 16.【答案】8米 【分析】根据题意可知，同一时刻，物体的实际高度与影长的比值一定，那么物体的实际高度 与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设这根旗杆的实际高度是x米。 1.6:2.4=x:12 2.4x=1.6×12 2.4x=19.2 x=19.2÷2.4 x=8 7 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 答：这根旗杆的实际高度是8米。 17.【答案】30 【分析】12：20=3：5，发给全班每人分得的本数与每位女生分得的本数之比是3：5，因为 人数的占比×每人平均分得的本数=本子总数（一定），所以人数占比与每人分得的本数成反 比，那么总人数可以看作5份，女生人数可以看作3份；所以女生人数占全班的，男生人数占 全班的1号号 设男生平均每人可分得x本，因为这批本子的总数量是一定的，所以人数的占比×每人平均分 得的本数=本子总数（一定），即人数占比与每人分得的本数成反比例。根据男生人数的占比 ×每位男生平均分得的本数=女生人数的占比×每位女生平均分得的本数，可得号x=×20, 由此解答即可。 【详解】12：20=3：5 女生人数占全班的： 3 男生人数占全班的：1亏 32 解：设男生平均每人可分得x本，由题意得： ×20 5 2 *=12 =2*号 x=30 答：只发给男生，平均每人可分得30本。 【点睛】应用反比例解决问题，主要是能够根据反比例的意义及辨识来确定反比例关系。 18.【答案】2人 【分析】题中的工作总量不变，则需要的人数和需要的天数成反比例，（原计划的人数+增派 的人数)×后来需要的天数=原计划的人数×原计划需要的天数，据此解答。 【详解】解：设需要增派x人才能按时完成任务。 (12-3)×(6+x)=12×6 9(6+x)=12×6 9(6+x)=72 8 备学科同·超子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 6+x=72÷9 6+x=8 x=8-6 x=2 答：需要增派2人才能按时完成任务。 【点睛】本题主要考查应用反比例知识解决实际问题，找出两种相关联量之间的反比例关系是 解答题目的关键。 19.【答案】6天 【分析】由题意可知，每天植树的棵数一定，则植树棵数与植树天数成正比例，剩下树苗的棵 数：剩下树苗需要的天数=已经植树的棵数：已经植树的天数，据此解答。 【详解】解：设还要x天能把小树苗都植完。 (800-320):x=320:4 480:x=320:4 320x=480x4 320x=1920 x=1920÷320 x=6 答：还要6天能把小树苗都植完。 【点睛】本题主要考查运用正比例关系解决实际问题，利用比例的性质求出未知数是解答题目 的关键。 20.【答案】C 【分析】本题核心在于理解糖水浓度的概念，糖水浓度可通过糖与糖水的比例来体现。要使加 入糖后糖水浓度不变，那么加入糖和水后糖与糖水的比例应与原来相同。我们先算出原来糖水 中糖的质量，再根据变化后的糖的质量和不变的浓度求出变化后糖水的总质量，进而得出应加 入水的质量。 【详解】①计算原来糖水中糖的质量：已知在100克糖水中，糖与糖水的比是2：10，那么原 来糖水中精的质量为10×号20克。 ②计算加入10克糖后糖的总质量：加入10克糖后，糖的总质量变为20+10=30克。 ③根据浓度不变求出加入糖和水后糖水的总质量：因为要使糖水浓度不变，即糖与糖水的比还 备学科同·短子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 是2：10，现在糖的质量是30克，设此时糖水总质量为x克，则30-3 ,交叉相乘可得2x=30×10, x10 即2x=300,解得x=150克。 ④计算应加入水的质量：原来糖水质量是100克，加入了10克糖，现在糖水，总质量要达到150 克，所以应加入水的质量为150-100-10=40克。 【点睛】本题关键在于把握糖水浓度不变这一条件，即糖与糖水的比例始终保持一致。 10