重庆南开中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2026届高二（下)半期考试 数学试题 本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分 钟，第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡的相应位置上， 1,从1,2,3,4,5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为( A.60 B.70 C.80 D.90 2.函数y=(x)的导函数y=f"(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是() A.y=f(x)在区间(-2，-1)上单调递减 B.y=f(x)在区间(-l,1)上单调递增 C.-3是函数y=∫(x)的极大值点 y=f(x) D.-1是函数y=(x)的极小值点 3.多项式(x+y+z)展开式中，9z2项的系数为（·) A.12 B.24 C.48 D.96 4.函数y=x-3x的图象与直线y=m恰有两个公共点，则m=( A.-1或0 B.-1或1 C.-2或0 D.-2或2贝9年 5.随机变量X的分布列如右表，则方差D(X)=( 2 A B 6.过抛物线x2=4y的焦点F作斜率为（化>0）的直线1与抛物线交于A,B两点，0为坐标原点，设 0A0B的解率为，若气+-主，则k= A.2 B.1 c D. 高2026级数学试题第1页共4页 7.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学 与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至 少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( 7 N0 B. 13 0 80 n品 8.已知直线y=:+m为f)=e的一条切线，将y=f日)的图象向右平移e个单位，向上平移1个单位 后仍与直线1相切，则m=( 2 A.1 B. c.0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答 题卡相应的位置上， 9.己知f)=(2x2-y的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有() A.n=9 B.展开式中第四项和第五项的二项式系数最大园 C.f(-)除以4的余数为1 D.展开式中常数项为672 10.在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1一4的小球。从中有放回地随机取两次，每次取1 个球，记事件A:“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B:“两次取到球的号码之和为奇数”，事件 C:“两次取到球的号码之积为偶数"，则() A.B与C互斥 B.A与C相互独立 7 C.P(A+O)=8 D.()-号 出花南平客件容 11.己知函数f()及其导函数∫'(x)定义域均为R,且满足f'(x)=3沦2-fx),了"(0)=2，则下列说法正 确的有( A.函数(x)在R上单调递增 B.函数y=f(x)-2x2存在极小值 情心阳出》装( C.若f(a)-f(b)=1,则2a-b≥h2 奶证10风及 D.若f(a)-f(b)=1,则ln(a-b)+a+b<-ln2 出的比民 高2026级数学试题第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 12。现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到 次品的件数的数学期望为。 13。已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频 率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的橛率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的 概率为0.6，则填对第二空的概率为 14。按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为(4,4,4,4：已知全集U={红，2,34号的子集 4,4,4满足(4∩4)U4=U.若4恰有两个元素，则这样的集合列(4,4,4)有个：所有 满足条件的集合列(4,4,4)有个。 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案 填写在答题卡相应的位置上， 15.(13分)已知函数f(x)=nx+a-2(a∈R). (1)若x=1为函数f(x)的极大值点，求a的值： (2)若x>0,f()s2ax恒成立，求a的取值范围. 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，Q为PB的中点. (1)证明PD∥平面OAC: (2)若P在平面ABCD上的射影为AD中点，且AP=AB=2, 求平面OAC与平面PAD夹角的余弦值， .(5分》已知双曲线C:号一卡=(Qb>0的图象品过点6同.其中一条新近线方程为y-5, 3 (1)求双曲线C的标准方程： (2)过点P1,0)作垂直于x轴的直线1，过点03,0)作直线AB与双曲线右支交于AB两点，过点A作1 的垂线，垂足为点D,证明：直线BD过定点，并求出该定点的坐标， 高2026级数学试题第3页共4页 18。(17分)重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺。某 漆器厂准备制作AB,C三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制 作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程 也正立.的厂作8C宽路-道工艺合格来分为手9名第二通工艺合格率分别为行 ,465 (1)求经过第一道工艺以后4，B,C三件瓷盘中恰有两件合格的概率： (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元：如果不合格，每件亏 损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额X的数学期望： (3)该厂决定研发瓷盘D,计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成 功的概率为p,每名二级技工制作成功的概率为p2(0<p<).现三人按照一定顺序依次制作D瓷盘， 从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失 败，也停止制作).三个人的制作过程相互独立。若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费， 未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以 下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作： 方案二：由二级技工第三个制作。 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由， 19.(17分)已知函数f)=血x (1)判断函数f(x)在(0，π)上的单调性： (2)设函数g(x)= f(x),x∈(0，π) e-1,xe(-o,0] ,若方程g(x)=1在(0，)上有三个不同的根x,为，出(：<无2<为)， 求运：+2西*> (3)求证：(2-nx)f(x)s1. 命题人：高二数学备课组 高2026级数学试题第4页共4页