专题19.9 课题学习 选择方案（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.9 课题学习 选择方案（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【知识点2】正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 【要点提示】要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 【知识点3】选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型目录 【题型1】分配方案问题（一次函数的实际应用）...................................1 【题型2】最大利润问题（一次函数的实际应用）...................................2 【题型3】行程问题（一次函数的实际应用）.......................................3 【题型4】一次函数与几何综合...................................................4 【题型5】其他问题（一次函数的实际应用）.......................................5 【题型6】梯度计价问题.........................................................6 【题型7】直通中考.............................................................7 【题型8】拓展延伸.............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例1】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【变式2】（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【题型2】最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例2】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【变式1】（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【变式2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 【题型3】行程问题（一次函数的实际应用） 【例3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 【变式1】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 【变式2】（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； （2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【题型4】一次函数与几何综合 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边点N，若直线将分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． （1）填空：________； （2）连接，若四边形是平行四边形，求的面积； （3）将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【题型5】其他问题（一次函数的实际应用） 【例5】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 【变式1】（2025·山西大同·二模）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【题型6】梯度计价问题 【例6】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： （1）该地出租车的起步价是______元； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【变式1】（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 【题型7】直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【例2】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． （1）分别求出点、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.9 课题学习 选择方案（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【知识点2】正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 【要点提示】要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 【知识点3】选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型目录 【题型1】分配方案问题（一次函数的实际应用）...................................1 【题型2】最大利润问题（一次函数的实际应用）...................................4 【题型3】行程问题（一次函数的实际应用）.......................................6 【题型4】一次函数与几何综合..................................................10 【题型5】其他问题（一次函数的实际应用）......................................15 【题型6】梯度计价问题........................................................19 【题型7】直通中考............................................................21 【题型8】拓展延伸............................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例1】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案： 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【变式2】（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 解：（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 【题型2】最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例2】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【变式1】（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 【变式2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 【答案】（1）每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元；（2）该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 【分析】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元，根据“用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”可列出分式方程，故可求解； （2）设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元，列出不等式组，求得的范围，再求得y关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 解：（1）解：设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意 ． 每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元； （2）解：设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元， 根据题意，得， 解得（为整数）． ， ， 随的增大而减小， （为整数）， 当时，值最大，， 此时购进空调的数量是台， 该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 【题型3】行程问题（一次函数的实际应用） 【例3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意先分别求出段函数解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程即可得到本题答案． 解：设：段直线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵轿车再休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需， ∴点的坐标为， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵两车相距分两种情况： ①当轿车休息前与货车相距时，有：，解得， ②当轿车休息后与货车相距时，有：，解得：， 综上所述：两车出发h或h时，两车相距． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用，首先利用待定系数法求出，然后求出当时，，进而求解即可． 解：设当时，y与x的函数关系式为 将代入得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴ ∴小明与小亮交谈的时间为． 故答案为：． 【变式2】（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； （2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1）；（2）200千米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可． 解：（1）如图所示，    根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴， ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米． 【题型4】一次函数与几何综合 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边点N，若直线将分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先根据点A和点B的坐标求出的面积，再利用待定系数法直线l解析式，进而得到点M的坐标，再由直线将分成面积相等的两部分得到的面积，据此利用三角形面积计算公式列式求解即可． 解：∵直线l与x轴交于点，与轴交点， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， ∵点是直线l上一点， ∴，解得， ∴， ∵直线将分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． （1）填空：________； （2）连接，若四边形是平行四边形，求的面积； （3）将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【答案】（1）5；（2）；（3）或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，求出，根据四边形是平行四边形，可得出，求出x的值即可求解； （3）分类讨论，当D在y轴的左侧和右侧，根据折叠的性质、等角对等边等可得出，构建方程求解即可． 解：（1）解∶对于， 当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， 设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的面积为； （3）解：当D在轴左侧时，如图， ， ∵翻折， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴D的坐标为或； 当D在y轴的右侧，如图， 同理， 设，则， ∴， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上，D的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 【题型5】其他问题（一次函数的实际应用） 【例5】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）小逸同学依据漏刻（如图）的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是 ． … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … 【答案】1.2 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为，当时，，当时，，判断即可得解． 解：设水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴水位h（单位：）关于时间t（单位：）的函数关系式为， 当时，， 当时，， ∴h的值记录错误的是1.2， 故答案为：1.2． 【变式1】（2025·山西大同·二模）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据利用待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系， ∴设, 将表中数值代入得， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【答案】（1）48；（2）；（3）8千克或13千克 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用， （2）分和用待定系数法可求得； （3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可． 解：（1）解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元， ∴甲采摘园的门票费用是48元． 故答案为：48； （2）当时： 设， 把代入，得， 解得， ∴． 当时： 设，把和代入，得 解得 ∴ 综上， （3）∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得 甲采摘园的费用函数为． 分情况讨论： 当时，令， 解得， 当时，令， 解得， ∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克． 【题型6】梯度计价问题 【例6】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： （1）该地出租车的起步价是______元； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由图象即可得到答案； （2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案； （3）由题意可知，当时，列方程求解即可得到答案． 解：（1）解：由图象可知，该地出租车的起步价是元， 故答案为：； （2）解：当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得到， 解得， 当时，求关于的函数关系式为； （3）解：由（1）知起步价为元， ， 由（2）知，当时，求关于的函数关系式为， 当时，，解得， 答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是． 【变式1】（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当时，费用相差（元）；第二段时当时，费用相差小于元；第三段当时，根据函数图象列出两种收费方式的收费与时间之间的函数关系式，根据关系式求出所收费用的差距． 解：由函数图象可知，当时，费用相差（元）， 当时，费用相差小于元， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，， （元）， 这两种方式所收的费用最多相差元． 故答案为： ． 【题型7】直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 【例2】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． （1）分别求出点、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 解：（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）；；（3）证明见分析 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 解：（1）解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． （2）解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． （3）解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【点拨】本题考查了直线过定点，一元一次方程有无数解，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，平移，熟练掌握待定系数法，平移，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$