专题19.1 变量与函数（6大知识点3大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.1 变量与函数（6大知识点3大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 【要点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【知识点2】函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【要点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【要点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量取值范围的确定 　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 【要点提示】自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【知识点5】函数的几种表达方式： 　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： 　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【要点提示】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【知识点6】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【要点提示】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 考点与题型目录 【考点一】变量与函数 【题型1】函数的概念......................................................................2 【题型2】函数解析式求自变量的取值范围....................................................4 【题型3】求自变量的值或函数值............................................................5 【题型4】用表格表示变量间的关系..........................................................6 【题型5】用关系式表示变量间的关系........................................................8 【题型6】用图象表示变量间的关系.........................................................10 【考点二】函数的图象 【题型7】函数图象识别...................................................................12 【题型8】从函数的图象获取信息...........................................................14 【题型9】用描点法画函数图象.............................................................16 【题型10】动点问题的函数图象............................................................19 【题型11】函数的三种表示方法............................................................22 【考点三】链接中考与延伸拓展 【题型12】中考链接......................................................................24 【题型13】拓展延伸......................................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】变量与函数 【题型1】函数的概念 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，解题的关键是准确掌握函数的概念． 根据函数的概念可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 解：A. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； B. 对于的每一个取值，有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意； C. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； D. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）寒假辰辰一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，辰辰发现加油机上的数据显示牌（如图）金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（   ） A．金额是自变量 B．金额是油量的函数 C．168.8和20是常量 D．单价是自变量 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念．根据在一个变化的过程中，变化的量叫做变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，进行判断即可． 解：∵金额随着数量的变化而变化且单价保持不变， ∴金额是油量的函数，自变量是油量，因变量是金额，单价是常量， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数中的常量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了常量与变量，根据变量是改变的量，常量是不变的量，即可得出答案． 解：函数中的常量是， 故答案为：． 【题型2】函数解析式求自变量的取值范围 【例2】（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． （1）当点的横坐标为时，试求的面积； （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形； （1）直接运用面积公式即可求解； （2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围． 解：（1）解：当时，， ， （2）点在第一象限， ，， ， 综上，， 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为 ，定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，一元一次不等式组的解法，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式． 解：由题意得： 可得：， ∵， 解得：， 故答案为：，． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 解：由题可知， 且， 解得且 故选：D． 【题型3】求自变量的值或函数值 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． （1）求y与x之间的关系式； （2）点燃几分钟后，还剩? 【答案】（1）；（2）点燃后，还剩 【分析】本题考查了用函数解析式表示两个变量之间的关系，求函数值的问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长为的蜡烛，点燃，变短，得到每点燃，蜡烛变短，即可确定函数关系式； （2）将代入函数解析式即可求解． 解：（1）解：由题意可知，每点燃，蜡烛变短， 所以； （2）解：当时，， 解得． 故点燃后，还剩． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．把，代入求出函数解析式，再把代入即可求出y的值． 解：把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量代入函数解析式计算即可． 解：当时， ． 故答案为：． 【题型4】用表格表示变量间的关系 【例4】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； （2）在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）用含S的代数式来表示． 【答案】（1）50，38；（2）变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量；（3） 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，变量与常量，读懂图表信息是解题的关键． （1）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，由此填空； （2）根据常变量的定义可得出结论； （3）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，即可得到用S的代数式来表示． 解：（1）解：当，， ∴轿车油箱的容量为， 行驶的油耗为， ∴行驶，油箱剩余的油为， 故答案为：50，38； （2）解：在这个问题中，变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量； （3）解：∵该轿车油箱的容量为，油耗为行驶的油耗为， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键． 依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量． 解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为，放水时间为 ∴， ∴当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：C． 【变式2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 【答案】24 【分析】根据表格中的数字规律，得到与的函数关系，将代入即可得到答案， 本题考查函数的表示方法，得到函数关系式是解题的关系． 解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为． 当时，， 故答案为：24． 【题型5】用关系式表示变量间的关系 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． （1）求y与x之间的关系式； （2）点燃几分钟后，还剩? 【答案】（1）；（2）点燃后，还剩 【分析】本题考查了用函数解析式表示两个变量之间的关系，求函数值的问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长为的蜡烛，点燃，变短，得到每点燃，蜡烛变短，即可确定函数关系式； （2）将代入函数解析式即可求解． 解：（1）解：由题意可知，每点燃，蜡烛变短， 所以； （2）解：当时，， 解得． 故点燃后，还剩． 【变式1】（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 解：由题意得，， 故选：D． 【变式2】（22-23九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，设，，则与的函数解析式为 （不写自变量的取值范围）    【答案】 【分析】根据翻折的性质可得，，再结合为等腰直角三角形，以及勾股定理求解的长度，即可由求解． 解：如图所示，根据翻折的性质可得，， 设 ∵为等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点拨】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键． 【题型6】用图象表示变量间的关系 【例6】（23-24七年级下·广东佛山·期中）小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小明在书店停留了______分钟； （2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是______米； 【答案】（1）4；（2）2700 【分析】（1）观察图像即可得小明在书店停留的时间． （2）根据图像，将小明所走的三段路程求和即可得小明所走的总路程． 本题考查了用图像法表示变量之间的关系，弄清每一段图像的变化趋势及表示的意义是解题的关键． 解：（1）由图可得，小明在书店停留了（分钟）； 故答案为：4． （2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是 （米）． 故答案为：2700． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 【变式2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解． 解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为， 甲的速度为，乙的速度为， 甲乙的速度和为． 故答案为： 【考点二】函数的图象 【题型7】函数图象识别 【例7】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯一y值与之对应”进行判断即可．本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是； 其中选项A、B、C有且只有一个交点，故不符合题意， 而选项D中存在有两个交点的情况，故符合题意， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图像大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化 ，故B正确，C错误． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，零次幂； 根据任何一个不为零的数的零次幂都是1可得答案． 解：∵，（且） ∴函数恒过点， 故答案为：． 【题型8】从函数的图象获取信息 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键． 根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解． 解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动， 当点运动到点时，，即， ∴， ∴， 当点从点运动到点时，的面积是， ∴， 解得，， ∴长方形的周长为， 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【答案】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据函数图象求出两人的速度，求出小华到达乙地时，小明的路程，根据第二次相遇为小华追上小明，列出方程进行求解即可． 解：由图可知：小明的速度为：； 小华的速度为：， ∴当小华到达乙地时，小明的路程为：， 由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【变式2】（湖北省武汉市三校2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，如图，图中的折线表示与的函数关系．下列说法中错误的是（   ） A．修船过程中排水速度1吨/分 B．修船完工后的排水速度4吨/分 C．最初的进水速度和最后的排水速度相同 D．排水期间，平均每分钟的排水速度为吨/分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数的应用，明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键． 根据题意和图象中的数据，逐项判断即可． 解：根据函数图象得， 最初的进水速度为吨/分， 修船过程中排水速度为吨/分， 故选项A正确，不符合题意； 修船完工后的排水速度为吨/分， 故选项B正确，不符合题意； 最初的进水速度和最后的排水速度相同， 故选项C正确，不符合题意； 排水期间，平均每分钟的排水速度为吨/分， 故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【题型9】用描点法画函数图象 【例9】（24-25九年级上·山东临沂·期末）小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【答案】（1），；（2）见分析；（3）． 【分析】本题考查了函数图象，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格求出当时，当时的值即可； （）根据画函数图象的步骤即可； （）根据图象即可求解． 解：（1）解：当时，，即，当时，，即， 故答案为：，； （2）解：列表： 描点， 连线， 画出函数图象如下图所示， （3）解：根据图象可知： 当时，对应的自变量有个值， 故答案为：． 【变式1】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点拨】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式2】（2023·上海·模拟预测）试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 【答案】 高 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 【题型10】动点问题的函数图象 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： （1）图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； （2）图①中的图形的面积是多少？ （3）图②中b的值是多少？ 【答案】（1）8，24；（2）图①中的图形的面积为；（3） 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 解：（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键． 分别判断出当点P在线段上运动时，的长逐渐变大，点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案． 解：当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小； 所以D选项的图象符合． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键． 根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解． 解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动， 当点运动到点时，，即， ∴， ∴， 当点从点运动到点时，的面积是， ∴， 解得，， ∴长方形的周长为， 故答案为： ． 【题型11】函数的三种表示方法 【例11】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． （1）判断是否符合题意，并说明理由 （2）求与之间的关系式 （3）根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】（1）不符合题意，理由见详解；（2）；（3）18，16，随的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 解：（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 【变式1】（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 【变式2】（24-25七年级上·福建南平·期末）某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系 ． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 【答案】或 【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值260000，故可得解． 解：从表格中的数据可以得出， 所以，每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系是或， 故答案为：或． 【考点三】链接中考与延伸拓展 【题型12】中考链接 【例1】（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．（    ） 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 【例2】（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 【点拨】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（   ） A．6 B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·河南漯河·期末）如图1，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设为，线段与长度的和为，图2是关于的函数图象，最低点的坐标为，则图象右端点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，进而可得；再根据菱形的性质可得、；然后利用勾股定理及含的直角三角形性质求出；当点N运动到点时，图2图像到达F，，，，进而得到即可解答． 解：如图，连接，连接交于点，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵最低点的坐标为， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，即， ∴为等边三角形，， ∴，， 设，则， 在中， ， ， 解得：， 即， 取与的交点为， ∴， 当点N运动到点时，图2图像到达F，，，， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，含的直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.1 变量与函数（6大知识点3大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 【要点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【知识点2】函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【要点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【要点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量取值范围的确定 　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 【要点提示】自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【知识点5】函数的几种表达方式： 　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： 　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【要点提示】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【知识点6】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【要点提示】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 考点与题型目录 【考点一】变量与函数 【题型1】函数的概念......................................................................2 【题型2】函数解析式求自变量的取值范围....................................................3 【题型3】求自变量的值或函数值............................................................3 【题型4】用表格表示变量间的关系..........................................................4 【题型5】用关系式表示变量间的关系........................................................4 【题型6】用图象表示变量间的关系..........................................................5 【考点二】函数的图象 【题型7】函数图象识别....................................................................6 【题型8】从函数的图象获取信息............................................................7 【题型9】用描点法画函数图象..............................................................8 【题型10】动点问题的函数图象.............................................................9 【题型11】函数的三种表示方法............................................................10 【考点三】链接中考与延伸拓展 【题型12】中考链接......................................................................11 【题型13】拓展延伸......................................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】变量与函数 【题型1】函数的概念 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）寒假辰辰一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，辰辰发现加油机上的数据显示牌（如图）金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（   ） A．金额是自变量 B．金额是油量的函数 C．168.8和20是常量 D．单价是自变量 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数中的常量是 ． 【题型2】函数解析式求自变量的取值范围 【例2】（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． （1）当点的横坐标为时，试求的面积； （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为 ，定义域是 ． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【题型3】求自变量的值或函数值 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． （1）求y与x之间的关系式； （2）点燃几分钟后，还剩? 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【题型4】用表格表示变量间的关系 【例4】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； （2）在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）用含S的代数式来表示． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 【题型5】用关系式表示变量间的关系 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． （1）求y与x之间的关系式； （2）点燃几分钟后，还剩? 【变式1】（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，设，，则与的函数解析式为 （不写自变量的取值范围）    【题型6】用图象表示变量间的关系 【例6】（23-24七年级下·广东佛山·期中）小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小明在书店停留了______分钟； （2）本次上学途中，小明骑行的路程一共是______米； 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【考点二】函数的图象 【题型7】函数图象识别 【例7】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图像大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点 ． 【题型8】从函数的图象获取信息 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【变式2】（湖北省武汉市三校2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，如图，图中的折线表示与的函数关系．下列说法中错误的是（   ） A．修船过程中排水速度1吨/分 B．修船完工后的排水速度4吨/分 C．最初的进水速度和最后的排水速度相同 D．排水期间，平均每分钟的排水速度为吨/分钟 【题型9】用描点法画函数图象 【例9】（24-25九年级上·山东临沂·期末）小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【变式1】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【变式2】（2023·上海·模拟预测）试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 【题型10】动点问题的函数图象 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： （1）图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； （2）图①中的图形的面积是多少？ （3）图②中b的值是多少？ 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【题型11】函数的三种表示方法 【例11】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． （1）判断是否符合题意，并说明理由 （2）求与之间的关系式 （3）根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【变式1】（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·福建南平·期末）某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系 ． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 【考点三】链接中考与延伸拓展 【题型12】中考链接 【例1】（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．（    ） 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2】（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    【题型13】拓展延伸 【例1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（   ） A．6 B． C．8 D．12 【例2】（23-24八年级下·河南漯河·期末）如图1，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设为，线段与长度的和为，图2是关于的函数图象，最低点的坐标为，则图象右端点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$