专题19.6 一次函数与方程、不等式（6大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.6 一次函数与方程、不等式（6大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【知识点2】一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为（3，－2），则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【知识点3】方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【知识点4】一次函数与一元一次不等式 　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【要点提示】求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 【知识点5】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点6】如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 题型目录 【考点一】一次函数与方程 【题型1】已知直线与坐标轴交点求方程的解.......................................3 【题型2】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点...............................4 【题型3】利用图象法解一元一次方程.............................................6 【考点二】一次函数与不等式 【题型4】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集...................................8 【题型5】根据两条直线的交点求不等式的解集....................................10 【题型6】两直线的交点与二元一次方程组的解....................................12 【题型7】图象法解二元一次方程组..............................................14 【考点三】一次函数与方程、不等式几何综合 【题型8】求直线围成的图形面积................................................17 【题型9】一次函数与方程、不等式几何综合......................................21 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考...........................................................27 【题型11】拓展延伸...........................................................28 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一次函数与方程 【题型1】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 （k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【题型2】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． （1）求出该一次函数的解析式； （2）并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 【题型3】利用图象法解一元一次方程 【例3】（22-23八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 解：（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 【考点二】一次函数与不等式 【题型4】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）的图象经过点． （1）求的值； （2）不等式组的解集是__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了对一次函数与一元一次不等式，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）知一次函数的解析式为，令，求出一次函数的图象经过点，再结合一次函数的图象经过点，即可解答． 解：（1）解：一次函数的图象经过点， 则， 解得：； （2）解：由（1）知， 则一次函数的解析式为， 令，解得：， 则一次函数的图象经过点， ∵一次函数的图象经过点， ∴不等式组的解集是． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图像法是解题关键．关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2，结合函数图像，求出此时的取值范围即可得． 解：关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2， 由函数图像可知，当一次函数的函数值小于2时，， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【题型5】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例5】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案． 解：（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【变式1】（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 所以关于x的不等式的解集是， 所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点的坐标，再根据函数图象和点的坐标即可得到结果．求出点的坐标是解题的关键． 解：由题意可得：， 解得：， ∴， 根据图象可知，当时，， ∴当时的取值范围是． 故答案为：． 【题型6】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例6】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，其中．正比例函数的图象与直线相交于点，求点坐标． 【答案】． 【分析】本题主要考查一次函数的图象以及性质、求两条直线的交点．利用待定系数法求出一次函数的关系式，联立方程组求出点的坐标即可． 解：将点代入得， 解得． 故直线所对应的函数表达式为， 联立得方程组，解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先利用得到点P坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故选：B． 【变式2】（广西壮族自治区南宁市2025届初中毕业班质量调研数学一模）方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系．熟练掌握两个一次函数的图象交点坐标为两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键． 依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为1，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 解：∵方程组的解为， ∴函数与函数的图象交点坐标为． 故答案为：． 【题型7】图象法解二元一次方程组 【例7】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． （1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； （2）直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； （3）根据图象，写出方程组的解． 【答案】（1）画图见分析；（2），；（3）． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【考点三】一次函数与方程、不等式几何综合 【题型8】求直线围成的图形面积 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）如图直线：与直线：交于点B． （1）求的面积； （2）点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【答案】（1）216；（2） 【分析】本题主要考查了两条直线的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形与四边形的面积． （1）根据直线的解析式求出A点坐标，将两直线的解析式联立求出B点坐标，根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）设点C的坐标为，则，那么，根据四边形的面积为120列出方程，解方程即可求出点C的坐标． 解：（1）解：∵直线：， ∴时，， ∴， 由，解得， ∴， ∴的面积； （2）解：如图，设点C的坐标为，则， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 【变式2】（22-23八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求一次函数围成的三角形面积等．先求出点的坐标，求出直线与坐标轴的交点坐标，得出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，根据一次函数平移的性质得出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，联立方程组求出直线与直线的交点的坐标，根据即可求解． 解：∵直线：经过点， 故， 解得：， ∴， ∵直线与坐标轴交于点、， 故当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、在直线：上， ∴把，，代入直线得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故当时，， ∴， 将直线向下平移个单位得到直线：， ∵直线交轴于点， 故当时，， ∴， ∵直线与直线交于点， 故联立方程组：， 解得：， ∴交点的坐标为， ∴． 故答案为：． 【题型9】一次函数与方程、不等式几何综合 【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，平面直角坐标系中，点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形． （1）若点在第一象限，且正方形的边长为，则的值为 ； （2）当点在正方形内部（不含边界）时，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，正方形的性质，理解过点作轴的平行线，得到点的坐标，掌握一次函数图象与直线的交点的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可得，且点在第一象限，则，根据两点之间距离的计算方法可得，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当在轴的正半轴上时，如图所示，过点作平行与轴的直线交于点，数形结合可得点的横坐标为，由，可得的取值；当在轴的负半轴上时，，如图所示，可得点到轴的距离为，由，即可求解． 解：（1）如图所示， 已知点，， ∴点的横坐标为， ∵点分别在直线与直线的图象上， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）当在轴的正半轴上时，如图所示，过点作平行与轴的直线交于点， ∵点在正方形内部（不含边界）， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， 解得，， ∴ 当在轴的负半轴上时，，如图所示， ∵点，， ∴， ∴， ∴点到轴的距离为， ∴， 解得，； 综上所述，当点在正方形内部（不含边界）时，则的取值范围是或； 故答案为：（1）；（2）或 ． 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短． 设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 解：如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得，     ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得，     ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为1，的最小值为． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（    ） A．方程组的解为 B． C．为直角三角形 D．当的值最小时，点的坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地求得函数解析式是解题的关键．、根据题意得到方程组的解为，故不符合题意；、把，代入解方程组得到直线，求得直线的解析式为，把，代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；、解方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到为直角三角形；不符合题意；、作点故轴的对称点连接交轴于此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，得到，不符合题意，据此解答即可． 解：、直线与直线都经过， 方程组的解为，故此选项正确，不符合题意； 、直线交轴于点，交轴于点，直线经过， ，解得，， 直线， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线， 解得， ， 在中，令，则，解得， ， ，故此选项错误，符合题意； 、在中，令，则， ， ， ，， ， ， ， 为直角三角形，故此选项正确，不符合题意； 、直线交轴于点， ， 如图，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故此选项正确，不符合题意； 故选：． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或；或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式； （2）由直线可得，由直线：得，即可得的面积； （3）设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可； 设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可． 解：（1）解：把代入中，得， ， 设直线的表达式，把和代入得： ， 解得：，， 的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ， 直线：与轴相交于点， ， 点， ， ； （3）解：点在轴正半轴时，过点作轴于，如图， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，，， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 设点的坐标为， 点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.6 一次函数与方程、不等式（6大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【知识点2】一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为（3，－2），则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【知识点3】方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【知识点4】一次函数与一元一次不等式 　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【要点提示】求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 【知识点5】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点6】如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 题型目录 【题型1】已知直线与坐标轴交点求方程的解.......................................2 【题型2】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点...............................3 【题型3】利用图象法解一元一次方程.............................................4 【题型4】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集...................................4 【题型5】根据两条直线的交点求不等式的解集.....................................5 【题型6】两直线的交点与二元一次方程组的解.....................................6 【题型7】图象法解二元一次方程组...............................................7 【题型8】求直线围成的图形面积.................................................8 【题型9】一次函数与方程、不等式几何综合.......................................9 【题型10】直通中考...........................................................10 【题型11】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 （k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【题型2】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． （1）求出该一次函数的解析式； （2）并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【题型3】利用图象法解一元一次方程 【例3】（22-23八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 （1） （2） 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【题型4】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）的图象经过点． （1）求的值； （2）不等式组的解集是__________． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【题型5】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例5】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值． 【变式1】（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【题型6】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例6】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，其中．正比例函数的图象与直线相交于点，求点坐标． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（广西壮族自治区南宁市2025届初中毕业班质量调研数学一模）方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 【题型7】图象法解二元一次方程组 【例7】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． （1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； （2）直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； （3）根据图象，写出方程组的解． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【题型8】求直线围成的图形面积 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）如图直线：与直线：交于点B． （1）求的面积； （2）点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是 ． 【题型9】一次函数与方程、不等式几何综合 【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，平面直角坐标系中，点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形． （1）若点在第一象限，且正方形的边长为，则的值为 ； （2）当点在正方形内部（不含边界）时，则的取值范围是 ． 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【题型10】直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（    ） A．方程组的解为 B． C．为直角三角形 D．当的值最小时，点的坐标为 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$