专题19.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正比例函数的定义 1.正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2.正比例函数的等价形式 （1）是的正比例函数； （2）（为常数且≠0）； （3）若与成正比例； （4）（为常数且≠0）. 【知识点2】正比例函数的图象与性质 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【知识点3】待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 考点与题型目录 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义.................................................................2 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置.........................................................4 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围.....................................5 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性.............................................................7 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置...................................................9 【题型6】正比例函数图象与性质综合......................................................10 【题型7】正比例函数性质与几何综合......................................................12 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式..................................................15 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接......................................................................18 【题型10】拓展延伸.....................................................................18 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义 【例1】（23-24八年级下·吉林松原·期末）已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点不在该函数的图象上，理由见分析 【分析】（1）先利用正比例函数的定义设，然后把，代入求出，从而得到与之间的函数解析式； （2）通过一次函数图象上点的坐标特征，计算自变量为2所对应的函数值可判定点是否在该函数的图象上． 解：（1）解：（1）设， 把，代入得， 解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：点不在该函数的图象上． 理由如下： 当时，， 点不在该函数的图象上． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）若函数是关于x的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解答关键． 根据正比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可． 解：函数是关于的正比例函数， ，且， ． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、坐标与图形、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键． 设，则，，再根据勾股定理求出的长，然后再代入计算即可． 解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置 【例2】（22-23八年级上·陕西渭南·期中）已知正比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）指出该函数的图象所经过的象限． 【答案】（1）；（2）正比例函数的图象过第二，四象限 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）根据可得，函数图象过第二，四象限 解：（1）解：因为正比例函数的图象过点， 所以， 解得． （2）解：因为， 所以正比例函数的图象过第二，四象限． 【点拨】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）正比例函数经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质，理解并掌握正比例函数的性质是解题关键．正比例函数，当时，函数图像过一、三象限；当时，函数图像过二、四象限．根据题意可得，即可获得答案． 解：∵， ∴正比例函数经过的象限是第二、四象限． 故选：D． 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·期末）若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】根据正比例函数定义可得：m2＝1且m−1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案． 解：由题意得：m2＝1且m−1≠0，解得：m＝−1， ∴函数解析式为y＝−2x， ∵k＝−2＜0， ∴该正比例函数的图像经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 【点拨】此题主要考查了正比例函数定义和性质，掌握正比例函数是一次函数，自变量的指数为1是解决问题的关键． 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围 【例2】（21-22八年级下·广东广州·期中）已知正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 【答案】5 【分析】本题主要考查正比例函数及分式的运算，熟练掌握正比例函数的性质及分式的运算是解题的关键；根据正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，可得，即有，再根据分式的混合运算法则化简即可． 解：∵正比例函数的图象分别位于第二、第四象限， ∴， ∴， ∴ ． ． 【变式1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解不等式，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质． 根据正比例函数的性质（正比例函数，），当时，该函数的图象经过第二、四象限，解不等式即可． 解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性 【例4】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知点在正比例函数的图象上． （1）求的值； （2）若点在（）中函数的图象上，求的值； （3）若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）把点代入正比例函数解析式为中即可求出的值； （）根据正比例函数，随的增大而减小即可求解； 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴正比例函数解析式为， ∵点在正比例函数解析式为的图象上， ∴， ∴； （3）解：由（）得正比例函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃临夏·开学考试）已知点，都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题． 解：∵正比例函数， 随的增大而增大， 又点，都在正比例函数的图象上，且， ． 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置 【例5】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． （1）k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 解：（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的性质和点所在象限的特征，根据正比例函数的图像在第二、四象限，，则，根据点所在象限的特征即可得到答案． 解：∵正比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解不等式，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质． 根据正比例函数的性质（正比例函数，），当时，该函数的图象经过第二、四象限，解不等式即可． 解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型6】正比例函数图象与性质综合 【例6】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列关于函数的结论正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 【答案】B 【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 解：A、当时，， 则函数图象不经过点，此项错误，不符合题意； B、函数中的， 则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意； C、函数中的， 则随的增大而增大，此项错误，不符合题意； D、只有当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． 【变式2】（19-20八年级下·湖北随州·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象经过点 D．无论为何值，总有 【答案】B 【分析】A、由k=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出函数y=-2x的图象经过第二、四象限，选项A不符合题意； B、由k=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、代入x-1求出与之对应的y值，进而可得出函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意； D、代入x=0求出与之对应的y值，结合y随x的增大而减小可得出当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意． 解：A、∵k=-2＜0， ∴函数y=-2x的图象经过第二、四象限，选项A不符合题意； B、∵k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、当x=-1时，y=-2×（-1）=2， ∴函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意； D、当x=0时，y=-2×0=0，且y随x的增大而减小， ∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 【题型7】正比例函数性质与几何综合 【例7】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 【答案】（1）；（2）E点的坐标为 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解． （2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解． 解：（1）解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为． （2）∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为． 【变式1】（19-20八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和上，点A（0，2），B点在x轴正半轴上．已知四边形ABCD是正方形，则k＝（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见分析），设点B的坐标为，则，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据线段的和差可得，从而可得点D的坐标，代入直线可求出b的值，同理可得出点C的坐标，将其代入直线即可得． 解：如图，过点D作轴于点F，过点C作轴于点E， 设点B的坐标为，则，且， ． 四边形ABCD是正方形， ， ， ． 在和中， ， 点D的坐标为， 将代入直线得：，解得， 同理可得：， 点C的坐标为， 将代入直线得：，解得． 故选：C．    【点拨】本题考查了正比例函数的性质、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式2】（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式 【例8】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数． （1）点在它的图象上，求这个函数的表达式． （2）在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正比例函数图象的增减性，图象上点的坐标特征，求函数关系式，解题关键是理解正比例函数的增减性． （1）把点代入中，即可求解的值； （2）分别计算出自变量为和所对应的函数值，然后根据正比例函数的性质确定的取值范围． 解：（1）解：把点代入得：， 解得：， 这个函数的表达式为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 随的增大而减小， 的取值范围：． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）正比例函数的图象经过，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质；根据正比例函数的图象经过，可以求得该函数的解析式，再根据点在该函数图象上，即可求得的值． 解：设该函数的解析式为， 正比例函数的图象经过， ， 解得， ， 点在该函数图象上， ， 解得， 故答案为：． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接 【例1】（2023·甘肃武威·中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 解：∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点拨】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 【例2】（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图象，“对于正比例函数（是常数，），当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限”，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．根据正比例函数的图象经过第一、三象限可得，由此即可得． 解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，直线L：与正方形的边有两个交点M，N，当时，的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图中的阴影部分，即可求出的取值范围． 解：如图，当直线L：经过点时，此时    同理，当直线L：经过点或或时，均有 此时或或， 而当直线L：经过点时，均有 如图中的阴影部分，k的取值范围是或． 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，正比例函数图象的性质，本题的关键是数形结合的思想方法． 【例2】（18-19八年级下·上海浦东新·期中） 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    【答案】 【分析】先结合图形确定的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得． 解：由题意可得：当时，， ∴ ∴， ∵直线l1⊥x轴，直线l2⊥x轴，直线l3⊥x轴，，直线ln⊥x轴 ∴l1∥l2∥l3∥∥ln ∴当时四边形An-1AnBnBn-1是梯形 ∵平行线间距离处处相等，所以梯形An-1AnBnBn-1的高为1 ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题是规律题，考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等，根据特殊情况找出一般规律是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正比例函数的定义 1.正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2.正比例函数的等价形式 （1）是的正比例函数； （2）（为常数且≠0）； （3）若与成正比例； （4）（为常数且≠0）. 【知识点2】正比例函数的图象与性质 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【知识点3】待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 考点与题型目录 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义.................................................................2 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置.........................................................2 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围.....................................3 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性.............................................................3 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置...................................................4 【题型6】正比例函数图象与性质综合.......................................................4 【题型7】正比例函数性质与几何综合.......................................................4 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式...................................................5 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接.......................................................................6 【题型10】拓展延伸......................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义 【例1】（23-24八年级下·吉林松原·期末）已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）若函数是关于x的正比例函数，求的值． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ． 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置 【例2】（22-23八年级上·陕西渭南·期中）已知正比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）指出该函数的图象所经过的象限． 【变式1】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）正比例函数经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·期末）若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第 象限． 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围 【例2】（21-22八年级下·广东广州·期中）已知正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 【变式1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性 【例4】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知点在正比例函数的图象上． （1）求的值； （2）若点在（）中函数的图象上，求的值； （3）若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃临夏·开学考试）已知点，都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置 【例5】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． （1）k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 【题型6】正比例函数图象与性质综合 【例6】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列关于函数的结论正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 【变式2】（19-20八年级下·湖北随州·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象经过点 D．无论为何值，总有 【题型7】正比例函数性质与几何综合 【例7】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 【变式1】（19-20八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和上，点A（0，2），B点在x轴正半轴上．已知四边形ABCD是正方形，则k＝（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式 【例8】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数． （1）点在它的图象上，求这个函数的表达式． （2）在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）正比例函数的图象经过，，则 ． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接 【例1】（2023·甘肃武威·中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【例2】（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，直线L：与正方形的边有两个交点M，N，当时，的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 【例2】（18-19八年级下·上海浦东新·期中） 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$