专题19.3 一次函数（5大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.3 一次函数（5大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 【知识点2】一次函数的性质 （1）一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （2）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点3】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点4】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点5】两条直线间的位置关系 设直线，. （1）相交；（2）平行；（3）垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 题型目录 【考点一】一次函数的图象 【题型1】图象的识别与画法.....................................................3 【题型2】图象位置的判定.......................................................4 【题型3】图象位置与参数的取值范围.............................................5 【题型4】一次函数图象与坐标轴交点坐标.........................................5 【题型5】待定系数法求一次函数解析式...........................................6 【题型6】一次函数图象的平移（行）.............................................6 【考点二】一次函数的性质 【题型7】一次函数的增减性比较大小.............................................7 【题型8】由一次函数的增减性求参数或参数取值值范围.............................7 【题型9】一次函数的位置与增减性...............................................8 【考点三】一次函数的图象与性质 【题型10】一次函数图象与性质综合..............................................8 【题型11】一次函数图象性质与几何综合..........................................9 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考...........................................................10 【题型13】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【一次函数的图象】 【题型1】图象的识别与画法 【例1】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： （1）补全表格中y对应的值． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． （3）若点在函数的图象上，求出m的值． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【变式2】（21-22八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【题型2】图象位置的判定 【例2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． （1）若，则这个函数图象不经过第 象限； （2）若这个函数的图象经过原点，求的值． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【题型3】图象位置与参数的取值范围 【例3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． （1）若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； （2）若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是 ． 【题型4】一次函数图象与坐标轴交点坐标 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）试判断点P是否在直线上，并说明理由； （2）若点A是直线与y轴的交点，且的面积为．求点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，直线与轴交于点，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C，则 ． 【题型5】待定系数法求一次函数解析式 【例3】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求直线的解析式； （2）求的值． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知点关于轴的对称点和都在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 【题型6】一次函数图象的平移（行） 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为 ．    【一次函数的性质】 【题型7】一次函数的增减性比较大小 【例7】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； （3）当时，求x的取值范围． 【变式1】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【题型8】由一次函数的增减性求参数或参数取值值范围 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数， （1）若该函数y随着x的增加而减小，求m的取值范围． （2）若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【题型9】一次函数的位置与增减性 【例9】（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数． （1）当k为何值时，函数图象经过原点； （2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限； （3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 【变式1】（21-22八年级下·山东菏泽·期末）一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（19-20八年级下·吉林·期末）已知一次函数y=kx+2，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 象限． 【一次函数的图象与性质】 【题型10】一次函数图象与性质综合 【例10】（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【变式1】（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 【题型11】一次函数图象性质与几何综合 【例11】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． （1）求两直线的交点坐标； （2）轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 【变式1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【例2】（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【题型13】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 一次函数（5大知识点4大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 【知识点2】一次函数的性质 （1）一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （2）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点3】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点4】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点5】两条直线间的位置关系 设直线，. （1）相交；（2）平行；（3）垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 题型目录 【考点一】一次函数的图象 【题型1】图象的识别与画法.....................................................3 【题型2】图象位置的判定.......................................................7 【题型3】图象位置与参数的取值范围.............................................9 【题型4】一次函数图象与坐标轴交点坐标........................................11 【题型5】待定系数法求一次函数解析式..........................................13 【题型6】一次函数图象的平移（行）............................................14 【考点二】一次函数的性质 【题型7】一次函数的增减性比较大小............................................17 【题型8】由一次函数的增减性求参数或参数取值值范围............................19 【题型9】一次函数的位置与增减性..............................................21 【考点三】一次函数的图象与性质 【题型10】一次函数图象与性质综合.............................................23 【题型11】一次函数图象性质与几何综合.........................................26 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考...........................................................30 【题型13】拓展延伸...........................................................32 第二部分【题型展示与方法点拨】 【一次函数的图象】 【题型1】图象的识别与画法 【例1】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： （1）补全表格中y对应的值． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． （3）若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】（1）；；2；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可． （2）根据描点法画图象解答即可． （3）根据点在函数的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，解方程求出m的值． 本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键． 解：（1）解：由， 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：    2． （2）解：根据题意，如答图所示， 图象即为所求． （3）解：点在函数的图象上， 将代入， 得． 解得． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 【变式2】（21-22八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 解：y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点拨】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 【题型2】图象位置的判定 【例2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． （1）若，则这个函数图象不经过第 象限； （2）若这个函数的图象经过原点，求的值． 【答案】（1）四；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活运用是解答关键． （1）把代入中，结合一次函数的性质求解． （2）根据这个函数经过原点，得到且来求解． 解：（1）解：， ． ，， 函数图象经过一、二、三象限， 则这个函数图象不经过第四象限. 故答案为：四． （2）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴综合得． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定m，k的取值范围，再根据k，m的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴一次函数图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【题型3】图象位置与参数的取值范围 【例3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． （1）若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； （2）若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； 根据一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数和常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 解：（1）解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：若一次函数的图象不经过第二象限， ， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案． 解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交， ∴函数经过一、三、四象限， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；当的图象在一，二，三象限；，的图象在一，三，四象限；的图象在一，二，四象限；的图象在二，三，四象限．解决本题的关键是用表示出． 先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则k的范围为，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围． 解：把代入得，故， 因为直线经过第一、二、三象限， 所以，，即， 所以k的范围为， 因为， 所以m的范围为． 故答案为：． 【题型4】一次函数图象与坐标轴交点坐标 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）试判断点P是否在直线上，并说明理由； （2）若点A是直线与y轴的交点，且的面积为．求点P的坐标． 【答案】（1）在，理由见分析；（2）或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）根据条件列出方程，即可得到点P坐标． 解：（1）解：点P在直线上，理由如下： 当时，， 点P在直线上． （2）解：点A是直线与y轴的交点， ， 点P的坐标为， ，即， 解得：或2， 点P的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，直线与轴交于点，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，直线经过一、三、四象限，可得，，据此推理判断即可． 解：直线经过一、三、四象限， ，， 故选项A、B错误； 直线与轴交于点， 当时，函数， ，故D错误； ∴，故C正确； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，求出点A、B的坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征得到，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，再利用进行计算即可． 解：当时，，解得，则； 当时，，则， 所以， 因为以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， 所以， 所以． 故答案为∶ ． 【题型5】待定系数法求一次函数解析式 【例3】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求直线的解析式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出这条直线的解析式， （2）把代入（1）的解析式，求出a的值即可． 解：（1）解：设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴这条直线的解析式为：， （2）把代入得：， ∴． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知点关于轴的对称点和都在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的坐标变化、待定系数法求函数解析式．先根据对称性求出点的坐标，再将和代入，联立解方程组即可得的值． 解：关于轴的对称点的坐标为， 将和代入得， ， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 【题型6】一次函数图象的平移（行） 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 解：（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可． 解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为 ．    【答案】 【分析】连接交于点T，先根据直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，得到T为的中点，进一步得到，再根据直线与x轴交于点，列出方程组求解即可. 解：连接交于点T，如下图所示，    ∵直线把平行四边形的面积分成相等的两部分， ∴T为的中点， ∵点B的坐标为， ∴， 又∵直线与x轴交于点， ∴， 解得， 故答案为：. 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和二元一次方程，判断为的中点是解题的关键. 【一次函数的性质】 【题型7】一次函数的增减性比较大小 【例7】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 解：， 随的增大而减小， 又点，，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征， （1）将代入即可得出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． 解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 【题型8】由一次函数的增减性求参数或参数取值值范围 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数， （1）若该函数y随着x的增加而减小，求m的取值范围． （2）若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． （1）根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； （2）根据一次函数图象与y轴交点在x轴上方，可得常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 解：（1）解：根据题意：， 解得：； （2）解：根据题意：， 解得：． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 解： y随x的增大而增大， ， 解得：， 的取值范围． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 解：因为点坐标为，点坐标为 ， 所以线段平行于轴， 则， 因为，两点不重合， 所以，即， 当时， ， 此时随的增大而增大，故不符合题意； 当时， ， 此时随的增大而减小， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【题型9】一次函数的位置与增减性 【例9】（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数． （1）当k为何值时，函数图象经过原点； （2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限； （3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由函数图象经过原点，将代入得，，计算求解即可； （2）由函数图象经过一、三、四象限；可得，解方程组即可； （3）由y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方，可知函数图象经过二、三、四象限，则，解方程组即可． 解：（1）解：∵函数图象经过原点， ∴将代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵函数图象经过一、三、四象限； ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，函数图象经过一、三、四象限； （3）解：∵y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴函数图象经过二、三、四象限， ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 【点拨】本题考查了根据一次函数增减性求参数，已知函数经过的象限求参数范围，一次函数解析式，解一元一次不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】（21-22八年级下·山东菏泽·期末）一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意分别求得和，再进行判断即可． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数中y随着x的增大而减小， ∴， ∴， ∵，， ∴该图像不经过的象限是第一象限， 故答案为：A． 【点拨】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式2】（19-20八年级下·吉林·期末）已知一次函数y=kx+2，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】先根据一次函数的增减性得出，再根据一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴上，由此即可得． 解：y随x的增大而减小 当时， 则一次函数的图象经过点，即一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴上 因此，它的图象不经过第三象限 故答案为：三． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 【一次函数的图象与性质】 【题型10】一次函数图象与性质综合 【例10】（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数来能掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质逐一判定即可． 解：A、因为，，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，所以选项A错误，不符合题意； B、令，则，解得，所以图象与x轴交于点，所以选项B错误，不符合题意； C、当时，，所以点在函数图象上，所以选项C正确，符合题意； D、因为，，所以y随着x的增大而减小，若点和在函数的图象上，当，则，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的知识，熟练掌握一次函数图像的性质是解题的关键．根据一次函数的与值，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 解：由可知，当，即时，不管为何值，永远为，故该一次函数一定过，故A选项正确； 当，例如时，，该函数过第一，二，三象限，故B错误； 当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，例如，那么函数图象经过第一、三、四象限，故D错误； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 【答案】D 【分析】设一次函数的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C．根据一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，可得一次函数的图象经过第二、三、四象限，可判定A；根据，可求得，则，所以图象与x轴的交点坐标是，可判定B；根据，则一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，可判定C；过点O作于E，根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理可求得，由垂线段最短可判定D． 解：设一次函数的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C，如图， A、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项不符合题意； B、∵，轴于B，轴于C， ∴，， ∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象与x轴的交点坐标是，故此选项不符合题意； C、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∴一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，故此选项不符合题意； D、过点O作于E，则， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 根据垂线段最短，可得原点到该图象的最短距离是，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查一次函数图象和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． 【题型11】一次函数图象性质与几何综合 【例11】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． （1）求两直线的交点坐标； （2）轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）联立两直线解析式求解即可； （2）设，利用 ，列式计算即可． 解：（1）解：联立直线和直线可得：， 解得：， 将代入得：， ∴两直线的交点坐标为． （2）解：∵， 当 时， ，当 时， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 或， 或， 【变式1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，根据题意，得出直线由直线向下平移3个单位长度得到，据此求出直线的函数解析式，再求出直线的函数解析式，最后求出交点坐标即可． 解：将代入一次函数解析式得，， 所以点A的坐标为， 同理可得，点B的坐标为 又因为四边形是矩形， 所以，， 则直线可由直线向下平移3个单位长度得到， 所以直线的函数解析式为 令直线的函数解析式为， 将点B坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为 由得， ， 则， 所以点C的坐标为 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 解：将代入得，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：． 【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【例2】（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 解：（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 【题型13】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 解：如图，连接， ，，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键． 先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解． 解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图： ∵直线与交于点， 由图可知当时，函数的值大于函数的值， ∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可， ∵当直线平行于直线时，符合题意，此时 ∴满足题意，， 故答案为：． 1 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