期中考试数学B卷解答题之相交线与平行线压轴题专项训练（一）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷解答题之相交线与平行线压轴题专项训练（一） 【本地期中精选】 1．（室外西区）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 2．（七中育才）如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 3．（树德实验）已知：直线，点为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上，，为直线上的两个动点点在点的左侧连接，，且． (1)如图，若，，则 ； (2)射线为的角平分线． 如图，当点在点左侧时，若，求的度数； 当点与点不重合，且时，试用含的代数式表示的度数． 4．（成都外国语）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 5.（天府七中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 6．（成都外国语）如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 7．（石室天府）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作的角平分线交的延长线于点，的角平分线交的反向延长线交于点，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点，请直接写出与的数量关系． 【全国各地期中精练】 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 6．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 7．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 8．（23-24七年级下·浙江金华·期中）直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 （用含α、β的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷解答题之相交线与平行线压轴题专项训练（一） 【本地期中精选】 1．（室外西区）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可． ②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则. 答图1 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：=. （2）解：①∵， ∴ 又∵的平分线交直线于点O． ∴ 又∵， ∴. 又∵， ∴. ②当点N在点G的右侧时． ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 又∵平分， ∴ 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2. 答图2 ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴ 又∵平分， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. 2．（七中育才）如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． （1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：当，分别在点，的右侧；当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可． 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）当，分别在点，的右侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； 当点，分别在点，的左侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 3．（树德实验）已知：直线，点为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上，，为直线上的两个动点点在点的左侧连接，，且． (1)如图，若，，则 ； (2)射线为的角平分线． 如图，当点在点左侧时，若，求的度数； 当点与点不重合，且时，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识： （1）根据平行线的性质以及题干中即可推出的度数． （2）①设，则，，由角平分线性质得，再由即可求得答案． 设，，分三种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧，点在点右侧时，当、均在点左侧时，分别求出的度数． 解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图， ， ，， ，， ． 故答案为： （2）①如图， ， ，， ， ， 设， ， ，， 射线平分， ， ， ； 设，， 当点在点右侧时， 如图，此时有， 则， ， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 当点在点左侧，点在点右侧时，如图， 则，， ，， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 当、均在点左侧时，如图， 则，， ，， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 4．（成都外国语）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析． (2)①，②． 【分析】（1）过E作ETAB，由ABCD，得ETABCD，即有∠B=∠BET，∠D=∠DET，即可得∠BED=∠B+∠D； （2）①同（1）方法可知：∠AEC=∠BAD+∠BCD，即知∠AEC=116°=∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； ②延长DH交AG于K，由DGCB，∠BCD=80°，得∠CDG=100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH=∠CDG=50°，又ABCD，可得∠AKD=130°，根据∠BAD=36°，AH平分∠BAD，得∠KAH=∠BAD=18°，即可得∠AHD=148°． 【详解】（1），理由如下： 如图1：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）①同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ②延长DH交AG于K，如图3： ∵DGCB， ∴∠BCD+∠CDG=180°， ∵∠BCD=80°， ∴∠CDG=100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=∠CDG=50°， ∵ABCD， ∴∠CDH+∠AKD=180°， ∴∠AKD=130°， ∵∠BAD=36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH=∠BAD=18°， ∴∠AHK=180°-∠KAH-∠AKH=32°， ∴∠AHD=180°-∠AHK=148°， ∴ 故答案为：148． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 5.（天府七中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)所有满足条件的t的值为1或4或7或13或16． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴ ； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； （3）解：总的时间为：，， 则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为， 由（1）得：，则， ∵， ∴， ∴， 当时，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，如图： 则， ∵，， ∴， 解得：； 当时，设与交于点G，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，设与交于点I，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，连接并延长，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上，所有满足条件的t的值为1或4或7或13或16． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键． 6．（成都外国语）如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②50 (3)或；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键． （1）根据平分和，可证明，即可解答． （2）①根据题意画图即可；②依据平行线的性质可得，再根据平分，，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； （3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图1， ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ 解得； 故答案为：50； （3）α和β之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）得， 当点G在点F的左侧时，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 7．（石室天府）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作的角平分线交的延长线于点，的角平分线交的反向延长线交于点，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)），理由见解析 (3)或 【分析】（1）过作，根据平行线的性质可得； （2），根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，进而可得结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，过作， ， ， ，， ． 故； （2）解：，如图， 理由：平分，平分， ，， ， ， 由（1）得，， ， ， 与互补， ， 整理得，， ； （3）解：①．如图， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ， ． ②．如图， ， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键． 【全国各地期中精练】 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴，解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)0或3或6或12或15 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴ ； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； （3）解：总的时间为：，， 则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为， 由（1）得：，则， ∵， ∴， ∴， 当时，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，如图： 则， ∵，， ∴， 解得：； 当时，设与交于点G，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，设与交于点I，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，连接并延长，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质定理，解决问题的关键是添加辅助线，运用平行线的性质，让角与角产生关联从而解决问题． （1）利用平行线的性质，分别同得，的度数，相加即可； （2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可； （3）利用平行线的性质，按照前面方法写出数量关系即可． 【详解】（1）解：过点P做，， ， ， ，， ， 即， ，， ； 故答案为：． （2） 如图，过点P做， ，， ， ， （3） 过点P做，过点K做， 则， ，，，， ， ∵平分，垂直于，平分， ∴，，，， ， , ． 5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 【答案】（1）①， ；②；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义； （1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得 ②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出； （2）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）① ， 平分， ， ．． 又 平分， ②平分， 平分． ， 设， ； ，则 ， （）①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ， 与互相垂直时， 解得： ②如图所示，当返回时， 解得： ③当第次从出发，与垂直时，如图所示， 解得： 综上所述， 时，与互相垂直 6．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过G作，根据平行线的性质求解即可； （2）过G作，过P作，首先得到，，设，，然后根据平行线的性质求解即可； （3）过E作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过G作 ∴ ∵ ∴     ∴ ∴     即 ∵ ∴； （2）解：如图，过G作，过P作 ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴     ∴ ∵ ∴ （3）解：如图，过E作，过G作． ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴     ∵ ∴，解得 ∴ 7．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； ()过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可求解； ()过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，过点作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过作，过作，设，， ∵交于，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24七年级下·浙江金华·期中）直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 （用含α、β的代数式表示）． 【答案】(1)．理由见解析 (2)． (3) 【分析】本题考查平行公理的推论，利用平行线的性质求角度，角平分线的相关计算等知识，理解和运用（1）中结论并结合角平分线探究角的关系是解题的关键． （1）过点作，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解； （2）先证明，继而得到，再利用（1）的方法得到，从而得到，从而得解； （3），，从而得到，又证明，从而得到，利用（1）得方法得到，继而得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$