期中考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一） 【本地期中精选】 1．（七中育才）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，．直线分别交线段于点E，G．直线分别交线段OA，BC于点D，F．连接DE，FG．四边形DEFG的面积为 ；的最小值为 ．    2．（树德实验中学）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ． 3．（西川中学）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为 ． 4．（室外西区）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 5．（天府七中）如图，中，，点E为线段上一动点，过点E作于点F，连接，点G为中点，连接．当最小时，线段的值为 ． 6．（成都外国语）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 7.（西川中学）如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为 ，当取得最小值时，的长为 ． 【全国各地期中精练】 1．在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 2．如图，在中，，，点在边上，点和在边上，且，当 时，的最小值是13． 3．如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 4．如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ． 5．如图，是等腰的角平分线，，，为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 7．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 8．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    9．如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，请直接写出之间的数量关系： ． 10．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 11．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ． 12．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 13．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    14．如图，直线分别交轴、轴于点、两点，，点、分别为线段和线段上的动点，交轴于点，且当的值最小时，则点坐标为 ． 15．如图，中，，，，，点，在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是 ．    16．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 17．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一） 【本地期中精选】 1．（七中育才）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，．直线分别交线段于点E，G．直线分别交线段OA，BC于点D，F．连接DE，FG．四边形DEFG的面积为 ；的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、两点间的距离公式、一次函数图像的性质等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键． 由正方形的性质可得,，然后确定、，再运用割补法即可求得四边形DEFG的面积；如图根据勾股定理构造直角三角形且满足，进而说明三点共线时，取最小值，即为的最小值，最后根据勾股定理求得的值几颗． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴,， ∵直线分别交线段于点E，G， ∴； 直线分别交线段OA，BC于点D，F， ∴； ∴四边形DEFG的面积为: ； ， 可根据勾股定理构造直角三角形，满足，    ∵， ∴三点共线时，取最小值，即为的最小值， 在中，， ∴． 故答案为：，． 2．（树德实验中学）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ． 【答案】 【分析】①过点C作，使得，证明，得到，那么当，，三点共线时，最短，求出此时的度数即可； ②过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为，利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及等腰直角三角形的性质，分别用和表示出和，然后利用三角形的面积公式表示两个三角形的面积，化简即可得出答案． 【详解】 解：如图1，过点C作，使得，连接，． 是等边三角形，，， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ，， ， ∴当的值最小时，； 如图3，过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为， 则，， ， ， 在中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：， ，， 在中，， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积公式等知识点，学会添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．（西川中学）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，，，在中，应用勾股定理，即可求解． 【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 将点代入， ， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 则，， 四边形是平行四边形， ， 轴，， 在中，，即：， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．（室外西区）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（天府七中）如图，中，，点E为线段上一动点，过点E作于点F，连接，点G为中点，连接．当最小时，线段的值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】解：如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，    当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 6．（成都外国语）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，过点作，使，连接，可证明，得到，即得，可知当三点共线时，的值最小，此时，点为线段与线段的交点，再利用待定系数法分别求出线段的函数解析式，联立两函数解析式得到方程组，解方程组即可得到点的坐标，确定出点的位置是解题的关键． 【详解】解：过点作，使，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 联立函数式得，， 解得， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． 7.（西川中学）如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为 ，当取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，证明得，，从而点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，则四边形是矩形，可得．在中求出，在中求出，进而可求出的最小值；作于N，先求出，进而可求出即此时的长为为． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，D为边上中点， ∴． ∵线段绕点D逆时针旋转30°至， ∴． 将线段绕点D逆时针旋转至，作射线， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，点F在射线上运动， 作于点，则此时的值最小． 作于点H，作于点K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即的最小值是． 作于N， ∴， ∴ ∴， ∴，即此时的长为为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，以及垂线段最短等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【全国各地期中精练】 1．在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，则的最小值为的长． 【详解】解：∵， ∴， 过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，交轴于点，如图， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 点在直线上运动，作点关于直线的对称点，如图， ∴， ∴， ∴， 当，，三点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形找到点的运动路径是解题的关键． 2．如图，在中，，，点在边上，点和在边上，且，当 时，的最小值是13． 【答案】7 【分析】作点C关于直线的对称点，连接，证明，得，根据轴对称的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，的最小值是13， 在中，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理及轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 4．如图，为等腰直角三角形，，点P在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于点的对称点，连接，由平移的性质可得：，证明得到，由对称的性质可得：，推出，则，当在同一直线上时，的值最小，为，根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出，由勾股定理计算出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接， 由平移的性质可得：， ， ， ， ∴， ， ∵点关于点的对称点， ∴， ， 当在同一直线上时，的值最小，为， ∵为等腰直角三角形，， ， ， 在中，， ， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． 5．如图，是等腰的角平分线，，，为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ． 【答案】． 【分析】首先过点作、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，从而可得，连接，证，得，所以可得点在射线上运动，作点关于射线的对称点，当点、、三点共线时的周长最小，此时可得． 【详解】解：如下图所示，过点作、，连接， 平分， ，， ， 和分别看成以、为底边，则对应边上的高相同， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图，作作点关于射线的对称点，连接，，则，， ∴的周长 由题意得为定值， ∴如下图所示，当点、、三点共线时，最小，即的周长最小， ∵， ∴同的理由可得， ∵，， ． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短，解决本题的关键是根据对称性得到当点、、三点共线时的周长最小． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过轴于点，过作轴于点，作点关于对称点，连接交于点，由旋转性质可知，，则有，证明，根据性质得出，则点在上运动，从而，由，则当三点共线时有最大值，即有最大值，设直线解析式为，求出直线解析式为，然后当时即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，过作轴于点，作点关于对称点，连接交于点， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， 则点在上运动， ∴的纵坐标为， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最大值，即有最大值， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【详解】解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 8．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，     ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 9．如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，请直接写出之间的数量关系： ． 【答案】 【分析】以A为直角顶点，为腰，在上方作等腰直角三角形，连接；则可证明，有，由知，点D、F、C三点共线时，最大，由C是中点，得，则，易得， 由勾股定理得，由，即可得． 【详解】解：如图，以A为直角顶点，为腰，在上方作等腰直角三角形，连接； 则，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴当点D、F、C三点共线时，最大，如图； ∵C是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为中线上的动点，是边长为2的等边三角形， ，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接， 设交于点，则， 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即， ， ， ， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质知识点，熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称的性质是解题的关键． 12．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，并利用等腰三角形的性质作出辅助线是解题的关键，过点B作，使，连接，，则，易证得，得到，故当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值，过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，则，再利用证得，，，在中，利用勾股定理可得到，从而得到，的值，再次利用勾股定理可求得的值，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，过点B作，使，连接，， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值， 过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 14．如图，直线分别交轴、轴于点、两点，，点、分别为线段和线段上的动点，交轴于点，且当的值最小时，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【详解】解：对于直线：， 当时，， 当时，，解得， ∴，， 又∵， ∴， 如下图，取点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， 即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，构建全等三角形解决问题． 15．如图，中，，，，，点，在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,以为边向外作等边三角形,作直线，证明，推出，推出点N在直线上运动，作点C关于的对称点，连接交于点,求出可得结论． 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,   , , , , , 是等边三角形，, 平分, , , , ， 如上图，作交x轴于点H， ， ， ， 由勾股定理得，， , 如上图，以为边向外作等边三角形,作直线, 是等边三角形， ,, , , , , 点在直线上运动，作点关于的对称点,连接交于点, ， , , , 垂直平分线段, ,， ,， , , , 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路程问题，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 16．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 17．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于H，交延长线于J．证明，推出，推出点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G，在中，，则，求出， 得到，则，在中，，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图，作于H，交延长线于J, ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$