精品解析：四川省成都市锦江区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023—2024学年四川省成都市锦江区八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是（其中第9题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 1. 在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为等腰三角形，，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 8. 已知，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上） 11. 若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 12. 若，则_______． 13. 已知关于的分式方程有增根，则的值为_____________． 14. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 15. 已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为______． 18. 如图，四边形中，，连接对角线，，若平分，： ①若时，的长为________； ②若时，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）分解因式；； （2）解分式方程：． 20. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个你喜欢的整数代入求值． 21. 小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）若将关于原点对称得到，请在图中画出并写出各个顶点坐标； （2）若将绕着P点顺时针旋转得到，若，直接写出旋转中心P，、坐标． 23. 如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）求证：； （2）若时，的面积为，求的面积． 24. 某公园为了美化环境，预备购进两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的1.4倍，若花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株． （1）求两款花卉的单价是分别多少元？ （2）该公园有12480元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进两款花卉共1000株，其中款花卉数量不超过400株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 25. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”： 根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式： ① ； ② ； 【知识应用】 （2）请用上述方法，因式分解：； 【拓展提升】 （3）因式分解：． 26. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年四川省成都市锦江区八年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是（其中第9题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 1. 在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 3. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，逐一分析每个选项从左到右的变形是否将多项式化为几个整式积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意． 故选：D． 4. 如图，为等腰三角形，，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．由垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质，易求得的度数，又由，可求得的度数，继而可求得的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 6. 小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 【详解】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟， 根据题意，得：， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据，，求出，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过点D作轴于点E， ∵将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段， ∴，， ∴， ∵线段平移后得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 故选：C． 8. 已知，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了异分母的分式的加法，整体代入求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将左边进行通分，得到，整理成，可知，将代入即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 10. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，以及解一元一次不等式组和分式方程，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含a的式子表示y，利用分式方程有解，且有非负整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组至少有五个整数解， ， 解分式方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ，且，a为整数， 又为整数， 可以取，3，5， 所有整数a之和为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上） 11. 若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：可以用完全平方公式来分解因式， ． 故答案为：9． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的性质即可得出结论． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 13. 已知关于的分式方程有增根，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 由分式方程有增根得：增根为， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 15. 已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组有解， ， 则正整数m的和为． 故答案为：6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：求得A点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：如图， 由，解得， ， 根据图象，不等式的解集为 故答案为： 18. 如图，四边形中，，连接对角线，，若平分，： ①若时，的长为________； ②若时，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握 和 角的特征是解题关键． （1）过点作于点，证明是等边三角形，再证明是等边三角形，最后运用含的直角三角形特征计算即可； （2）过点作，通过换算证明，再运用含的直角三角形特征，最后运用勾股定理计算． 【详解】（1）平分，， ， 过点作于点， ， ， ， ，， 是等边三角形， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作于点， ，平分， ， ， ， 设， ， ， ，， 设， ， ， ， ， 又为公共角， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）分解因式；； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法和因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 分式方程变形得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 20. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，先利用分式的性质进行化简，再解一元一次不等式组，由分式的定义求得，，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 解不等式组，得：，其中整数有，，0，1， ∵，，， ∴，， 当时，原式． 21. 小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 【答案】能，损耗面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，求得．根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴损耗面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）若将关于原点对称得到，请在图中画出并写出各个顶点坐标； （2）若将绕着P点顺时针旋转得到，若，直接写出旋转中心P，、坐标． 【答案】（1），，；图形见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）在的下方取点P，使，且，则点P为旋转中心，再根据旋转的性质作图即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，，， 【小问2详解】 解：如图，在的下方取点P，使，且，则点P为旋转中心， 由图可得，点． 画出如图所示， ， 23. 如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）求证：； （2）若时，的面积为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 24. 某公园为了美化环境，预备购进两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的1.4倍，若花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株． （1）求两款花卉的单价是分别多少元？ （2）该公园有12480元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进两款花卉共1000株，其中款花卉数量不超过400株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 【答案】（1）A款花卉单价为14元，B款花卉单价为10元 （2）12400元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解答本题的关键． （1）设B款花卉单价为x元，则A款花卉单价为元，根据“花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株”列方程求解即可； （2）设A款花卉数量为a株，B款花卉为株，根据款花卉数量不超过400株，列不等式组并结合一次函数的性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：设B款花卉单价为x元，则A款花卉单价为元，由题意可得 ， ， 经检验，是原方程的解， (元) ， 答：A款花卉单价为14元，B款花卉单价为10元； 【小问2详解】 解：设A款花卉数量为a株，B款花卉为株， 根据题意得：， 解得：， 设该公园购买花卉的总费用 ∵ ∴随的增大而增大， ∴当A款花卉购买600株，此时总费用最少为元． 25. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”： 根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式： ① ； ② ； 【知识应用】 （2）请用上述方法，因式分解：； 【拓展提升】 （3）因式分解：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可； （2）两次利用材料中的方法将原式分解即可； （3）原式利用分组分解法即可． 此题考查了因式分解—十字相乘法和分组分解法，弄清题中因式分解的方法是解答本题的关键． 【详解】解：（1）依题意，①； ②； 故答案为：①；②； （2）依题意， ； （3）依题意， ． 26. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）；见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①如图所示，延长到点G使，连接，证明，得到是等边三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故； ②延长至H，使，连接、．由，得，，，设，得，，故，由，得，，故； （2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为时，过A作由，，得，故，，故为等腰直角三角形，得到，由旋转得，故为等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，当旋转角为时，同理求解即可． 【小问1详解】 ①解：如图所示，延长到点G使，连接 ，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由旋转的性质得 ，， 和都是等腰三角形， ， ； ②证明：延长至H，使，连接、 ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $