期中考试数学B卷解答题之一次函数与几何综合压轴题专项训练（三）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷解答题之一次函数与几何综合压轴题专项训练（三） 【本地期中精选】 1．（七中育才）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； (3)在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1），则直线的表达式为：，联立上式和得：，即可求解； （2）先求出直线绕点C顺时针旋转后的解析式，由的面积，即可求解； （3）分，，，三种情况讨论即可，利用两坐标见距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 则直线的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：， ∴点； （2）解：由（1）知直线的解析式为：， 令，则，解得， ， ， 直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D， 设点， 是直角三角形， ， ，即， 解得：， ， 设新直线的表达式为：， 则，解得， 则新直线的表达式为：， 则E的坐标为：， 则的面积； （3）解：存在，理由： 设点，则点， 由点P、E、O的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：或， 当时，， 当时，， 则点或； 当时， 则， 解得：或0（舍去）， 当时，， 则点的坐标为：； 当时， 则， 解得：， 当时，， 则点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或或或． 2．（实验外国语）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； (3)在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1），则直线的表达式为：，联立上式和得：，即可求解； （2）先求出直线绕点C顺时针旋转后的解析式，由的面积，即可求解； （3）分，，，三种情况讨论即可，利用两坐标见距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 则直线的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：， ∴点； （2）解：由（1）知直线的解析式为：， 令，则，解得， ， ， 直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D， 设点， 是直角三角形， ， ，即， 解得：， ， 设新直线的表达式为：， 则，解得， 则新直线的表达式为：， 则E的坐标为：， 则的面积； （3）解：存在，理由： 设点，则点， 由点P、E、O的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：或， 当时，， 当时，， 则点或； 当时， 则， 解得：或0（舍去）， 当时，， 则点的坐标为：； 当时， 则， 解得：， 当时，， 则点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或或或． 3．（实验外国语）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接CA，CB，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或者 (3)、、、或者 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可确定点的坐标； （2）设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，可得，求出，即，根据题意设，则有，结合，，，可得，解方程即可求解； （3）分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，以上、、、、即是满足要求的Q点，先利用勾股定理求出，在中，，即可得，则有，采用勾股定理，其他点同理可求． 【详解】（1）∵实数，满足， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； （2）设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线交y轴于点G， 如图， 当时，， ∴， ∵轴，， ∴，即， 根据题意设， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或者， ∴，或者； （3）如图，分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，如图， ∴，， ∵，，轴， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵轴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：符合要求的Q点坐标为：、、、或者． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键． 4．（天府七中）如图1，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)若点与点关于点对称，求直线的解析式； (2)平移线段至线段，当点落在直线上，点落在轴上时， ①如图2，若，求点的坐标； ②如图3，作点关于直线的对称点，连接，若四边形是平行四边形，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题意，得到、，再由对称性得到点的坐标为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）①根据平移性质，设，结合平行四边形性质、中点坐标公式及点的平移求出，由勾股定理及两点距离公式代值求解即可得到答案；②将解析式联立得，求出交点坐标，由点的平移可知，将平移到的过程与将平移到相同，则，再由点关于直线的对称点，即直线是线段的垂直平分线，由，利用两点距离公式列式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令,得，则， 令，得，则， ∴由点的对称性可得，点的坐标为，代入得，， ； （2）解：①连接，如图所示： ∵平移线段，点的对应点， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 与互相平分，即点是的中点，也是的中点， ，， ， 设， 由点的平移可知，将平移到的过程与将平移到相同，则， ， 由勾股定理可得，则，解得， ； ②直线；直线； 将解析式联立得，解得， ， 由（2）知，， 若四边形是平行四边形，如图所示： ， 由点的平移可知，将平移到的过程与将平移到相同，则， 点关于直线的对称点， 直线是线段的垂直平分线，即， ，即，解得或； 故存在四边形是平行四边形的情况，或． 【点睛】本题考查直线与平行四边形综合，涉及点的对称性、待定系数法确定函数关系式、直线平移性质、平行四边形性质、中点坐标公式、点的平移、勾股定理、两点距离公式、求直线交点坐标、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，掌握直线与平行四边形综合题型的解法是解决问题的关键． 5．（铁中）如图，直线AB：y＝x+b，其中B（﹣1，0），点A横坐标为4，点C（3，0），直线FG垂直平分线段BC． （1）求b的值与直线AC的函数表达式； （2）D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC'D′，若C'恰好落在线段FG上，求C'和点D的坐标； （3）设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式． 【答案】（1）b＝，；（2）点C′的坐标为（1，2），点D坐标为（1，）；（3）或 【分析】（1）把点B（﹣1，0）代入直线AB的函数关系式可求b的值，求出A点坐标，利用A，C两点坐标用待定系数法可求解析式； （2）由点A，B的坐标可以求出∠ABC＝30°，再△BCD翻折得到△BC'D′，若C'恰好落在线段FG上，得BC＝BC′，∠CBC′＝60°，用勾股定理即可求解； （3）分类讨论，利用全等三角形知识探索直线BP的特征． 【详解】（1）把点B（﹣1，0）代入直线AB：y＝x+b中， 得×（﹣1）+b＝0， ∴b＝， ∴AB的函数关系式：y＝x+， 当x＝4时y＝， ∴点A的坐标为（4， ）， 设AC的函数关系式为：y＝mx+n， 把A（4，），C（3，0）两点坐标代入， 得， ∴k＝，b＝-5， ∴直线AC的函数表达式为：； （2）过点A作AF⊥x轴于点F， 由点A（4，），B（﹣1，0）得， ， ∴∠ABF＝30°， 由翻折得∠C′BC＝60°，BC＝BC′＝4， 在Rt△BGC′中，BG＝2，BC′＝4，GC′＝， ∴点C′的坐标为（1，2）， 在Rt△BDG中，∠DBG＝30°， ∴， ∴DG＝, ∴点D坐标为（1，）； （3）∵直线FG垂直平分线段BC，在FG上取（2）中的C′， ∴BC＝BC′，QB＝QC， 由（2）知∠CBC′＝60°，∠CBD＝∠C′BD， ∴△BCC′是等边三角形，AB垂直平分CC′， ①点P在x轴上方，如图2， ∵△BCC′和△PQC都是等边三角形， ∴CC′＝CB，CP＝CQ，∠PCQ＝∠BCC′＝60°， ∴∠PCC′＝∠QCB， ∴△PCC′≌△QCB（SAS）， ∴PC′＝QB， ∵QB＝QC，CP＝CQ， ∴PC＝PC′， ∵BC＝BC′， ∴PB垂直平分CC′， ∴点P与点A重合， ∴PA的函数关系式就是AB的函数关系式：y＝x+； ②点P在x轴下方，如图3， ∵△BCC′和△PQC都是等边三角形， ∴CC′＝CB，CP＝CQ，∠PCQ＝∠BCC′＝60°， ∴∠PCCB∠QCBC′， ∴△PCB≌△QCC′（SAS）， ∴∠CBP＝∠CC′Q＝30°， 在Rt△BHO中，BO＝1，， ∴HO＝， ∴点H的坐标为（0，）， 设BP的函数关系式为y＝mx+n， 把点B（﹣1，0），H（0，）代入得， ， 解得k＝﹣，b＝﹣， ∴PA的函数关系式y＝﹣x﹣， 综上所述PA的函数关系式或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是准确把握已知，综合运用所学知识进行推理运算，会分类讨论． 6．（成都外国语）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E． (1)求证：，； (2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标； (3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点R的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或或 【分析】本题考查一次函数的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，构造全等三角形是解答的关键． （1）先判断，进而得到，证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）过点M作轴，垂足为F，过点N作，交的延长线于G，先得到，，进而求得，，求得，即可得出结论； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，当点Q为直角顶点时， 当点R为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形分别画图求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，； （2）解：如图2，过点M作轴，垂足为F，过点N作，交的延长线于G， 由已知得，且， ∴由（1）得，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：分三种情况： 当点P为直角顶点时，如图3， 过点作轴于点E， 由（1）知，， ∴，， ∵直线，分别与x轴、y轴交于点Q、点P， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得； 当点Q为直角顶点时，如图4， 过点作轴于点D， 由（1）知， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得； 当点R为直角顶点时，如图5， 过点作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交于点D， 由（1）知， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 综合以上可得，点R的坐标为或或或或或． 7．（石室天府）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，10 (2)或 (3)或或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得； （2）设点P的坐标为，根据，的面积为7，得出点P在线段或在线段的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可； （3）分三种情况：当N点在轴下方，点P在上，时，当点P在线段上，点在x轴上方，时，当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； ． （2）解：设点P的坐标为， ∵，的面积为7， ∴点P在线段或在线段的延长线上， ∴， ∴， 当点P在线段上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时； 当点P在线段的延长线上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时点； 综上分析可知，点P的坐标为：或． （3）解：当N点在轴下方，点P在上，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形，， ∴，， 设，， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∴， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 当点P在线段上，点在x轴上方，时，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴此时点与关于对称， 则，即， 此时； 当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 根据上一种情况可知，此时点的坐标仍然为，点的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点的坐标为； 综上分析可知：存在或或使是以为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【全国各地期中精练】 1．已知点，点，，且、满足． (1)求出点、、的坐标； (2)如图，若点的坐标为，点是第三象限内一点，且，，连接交轴于，求的值； (3)如图，点为轴上一动点（在点上方），在延长线上取一点，使，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式可得，即可求出，，的值，即可； （2）作轴于，证明，可得，，再证，可得，进而求得，，即可求解； （3）如图，在点上方轴上取点，使得，作轴交延长线于，连接，，证明是等腰直角三角形，得，进而证明，得，，又证明为等腰直角三角形，得，又，得与重合，于是，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：如图，作轴于， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵和等高， ∴； （3）解：，， 如图，在点上方轴上取点，使得，作轴交延长线于，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴与重合， ∴，． 【点睛】本题主要考查了偶次幂的非负性，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．    (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，根据点得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）连，在上取一点P，使，连，证明进而得出，即可求解； （3）延长到G，使，连，同理可得，延长交于Q点，得出，证明，即可得出，进而可得． 【详解】（1）解：， 过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，如图， ∴， ， ， ，垂足为A， ， ， ； （2）解：，理由如下： 连，在上取一点P，使，连， 在与中， ， ， ， 于M， ， ； （3）解：，理由如下： 延长到G，使，连，如图， 同理可得， ， ， 延长交于Q点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，且． 3．在平面直角坐标系中，点． (1)如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； (3)如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变，是定值 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）构造“一线三垂直”全等即可得解； （2）证明线段的和差关系优先考虑截长补短，根据题干条件过作交轴于点，易证，得到，再通过得到即可得证； （3）根据前述两问的思路本题依然构造全等三角形，点作，交轴于点，先证得到，再证得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题干坐标很容易发现为等腰直角三角形时，如果点在第三象限，则此 时，， ， ， 如图，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，则 ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：过作交轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的值不会发生变化．理由如下：过点作，交轴于点，则， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点， ， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终值是． 4．【基础模型】如图，等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“K形图”． (1)【模型应用】 如图1所示，已知，，连接BC，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点A在第一象限，则点A的坐标为___________． (2)【模型构建】： 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点． ①请求出直线的函数解析式； ②P为x轴上一点，连接，若，求点P的坐标． (3) 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）过作轴于，证，得，，即可得出答案； （2）①设，由直线与轴，轴分别交于点，，可得，，利用勾股定理可得，则，利用待定系数法即可求解； ②分两种情况：当点在左侧时，当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于，如图1， 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，又，， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：①设， 直线与轴，轴分别交于点，， 当时，， 当时，可得，解得， ，， ，，，，， 根据勾股定理可得，即， 解得， ， 设直线的函数解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的函数解析式为； ②分两种情况： 当点在左侧时，过点作交于，过作轴于， ， 为等腰直角三角形， 同（1）得， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 的坐标为； 当点在右侧时，过点作交于，过作轴于， 则为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，点为y轴正半轴上一点，且． (1)三角形是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为中点，点P为y轴上一点，当三角形周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示） (2)在（1）的基础上，延长至点E；使点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在上，且交于点N． ①求证：三角形是等边三角形； ②求证：； ③点P在运动过程中，的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是；； (2)①见解析②见解析③的值是定值，为4． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键，难点在于根据边的长度相等得到相等的边． （1）由两点间距离公式求出，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，由直角三角形两锐角互余得出，可判断出是等边三角形，由中点坐标公式求出，连接，得的最小值为，求出，，从而可求出的周长最小值，运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出，可得点P的坐标； （2）①由（1）知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再求出，从而得到，可得，结合即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，即可得证； ③由是等边三角形可得，然后求出，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； ∵，，为的中点， ∴，即， 连接交轴于点，则， 根据两点间距离最短得的最小值为，即， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为； 设直线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，求出， ∴点的坐标为； 故答案为：是；；； （2）解：①证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； ②证明：由三角形的外角性质得，，， 所以，； ③∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的值是定值，为4． 6．已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上． (1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论：为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明） 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)结论成立，见解析． 【分析】根据同角的余角相等，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，求出的长度，即可得到点的坐标； 如下图所示，延长、交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； 过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得为定值； 【详解】（1）解：点坐标，点的坐标， ，， ， ， 又， ， ， 又垂直于轴， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：． 证明：如下图所示，延长、交于点， 轴恰平分， ， 又轴， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， ； （3）解：为定值． 证明：如下图所示，过点作于E， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形，解本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系． 7．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着x轴方向向左平移3个单位长度，得到点的坐标分别为______；______；从而求出经过点的直线对应的函数表达式为___________________； 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．将一次函数的图象关于x轴对称，所得图象对应的函数表达式为________________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为_______________； ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为________________． 【拓展应用】 （5）①如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． ②如图4，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则的最小值是______． 【答案】（1） （2），， （3） （4）①；② （5）①或；② 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）①分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可； ②先求出，根据两点间距离公式求出，则求的最小值，相当于求点到和距离和的最小值，然后根据轴对称的性质，两点间的距离公式等求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或； ②设，如图，过B作于H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴求的值，相当于求点到和距离和的最小值， 即相当于在直线上找点，使点P到和的距离最小， 作N关于直线的对称点，同理可求， ∴， ∴当M、P、三点共线时，取最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得    解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图：    同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的上方，如图 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ⑤⑥联立解得：， ∴；    当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴．    综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 9．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最小时点的坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系，图形的平移，三角形内角和定理． （1）根据点平移的性质即可得点、点的坐标； （2）先根据平移的性质得四边形是平行四边形，进而得，，，再根据三角形内角和定理可得出与的数量关系； （3）由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小，即可得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设交于F，交于P， 由平移可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：最小时点的坐标为，理由如下： 连接交于， 由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小， 即Q在位置时最小， ∵直线轴于， ∴G的横坐标2， 设Q点坐标为，， ∴， 解得， ， ∴， 即最小时点的坐标为． 10．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为） (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， ①求出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能，见解析 (2)①，；②、、、． 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解； ②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明如下： 连接，如图， ， ， ， ； （2）解：①设，则，又， 根据翻折可知： ，， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时， 当时， 设，则，解得， ， ； 当时，， ； 当点在轴负半轴上时， 当时， ， ； 当时，， ． 答：符合条件的所有点的坐标为：、、、． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”．        (1)若，则点的“伴随点”的坐标为 ； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 【答案】(1) (2)，点的“伴随点”的坐标为或 (3)线段的长为 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质可得点共线，，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，在中，，可证，得到；第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，可证是等腰直角三角形，，则，则，，所以；第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解． 【详解】（1）解：直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，，如图所示， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据（1）的计算得到，，， 在中，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，，，，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，点的“伴随点”的坐标为或； （3）解：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 由（2）可得，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，垂直平分，是等腰直角三角形，，，， ∴； 综上所述，线段的长为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是关键． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，求出点、点的坐标，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）根据解析式求得点，点，点的坐标得，，，可得，设点的坐标为，且，根据，且，列出方程求出点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称可知，则，当点在上时取等号，即的最小值为，结合勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，根据对角线互相平分，结合中点坐标公式，列方程即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得，解得， ∴直线的解析式为； （2）对于直线，当时，，当时，， 即点的坐标为，即点的坐标为， ∴，，则， 对于直线，当时，，即点的坐标为，则， 设点的坐标为，且， ∵，且 ∴，解得：， ∴点的坐标为， 作点关于轴的对称点，连接，， 由轴对称可知， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为； （3）设点的坐标为，点的坐标为， 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，坐标与图形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷解答题之一次函数与几何综合压轴题专项训练（三） 【本地期中精选】 1．（七中育才）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； (3)在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（实验外国语）已知如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，且． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求的面积； (3)在（2）的情况下，直线上是否存在的一个点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（实验外国语）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接CA，CB，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（天府七中）如图1，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)若点与点关于点对称，求直线的解析式； (2)平移线段至线段，当点落在直线上，点落在轴上时， ①如图2，若，求点的坐标； ②如图3，作点关于直线的对称点，连接，若四边形是平行四边形，求出此时的值． 5．（铁中）如图，直线AB：y＝x+b，其中B（﹣1，0），点A横坐标为4，点C（3，0），直线FG垂直平分线段BC． （1）求b的值与直线AC的函数表达式； （2）D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC'D′，若C'恰好落在线段FG上，求C'和点D的坐标； （3）设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式． 6．（成都外国语）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E． (1)求证：，； (2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标； (3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点R的坐标． 7．（石室天府）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【全国各地期中精练】 1．已知点，点，，且、满足． (1)求出点、、的坐标； (2)如图，若点的坐标为，点是第三象限内一点，且，，连接交轴于，求的值； (3)如图，点为轴上一动点（在点上方），在延长线上取一点，使，写出与的关系，并说明理由． 2．已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．    (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 3．在平面直角坐标系中，点． (1)如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； (3)如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 4．【基础模型】如图，等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“K形图”． (1)【模型应用】 如图1所示，已知，，连接BC，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点A在第一象限，则点A的坐标为___________． (2)【模型构建】： 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点． ①请求出直线的函数解析式； ②P为x轴上一点，连接，若，求点P的坐标． (3) 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，点为y轴正半轴上一点，且． (1)三角形是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为中点，点P为y轴上一点，当三角形周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示） (2)在（1）的基础上，延长至点E；使点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在上，且交于点N． ①求证：三角形是等边三角形； ②求证：； ③点P在运动过程中，的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由． 6．已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上． (1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论：为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明） 7．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着x轴方向向左平移3个单位长度，得到点的坐标分别为______；______；从而求出经过点的直线对应的函数表达式为___________________； 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．将一次函数的图象关于x轴对称，所得图象对应的函数表达式为________________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为_______________； ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为________________． 【拓展应用】 （5）①如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． ②如图4，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则的最小值是______． 8．探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 10．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为） (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， ①求出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”．        (1)若，则点的“伴随点”的坐标为 ； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$