期中考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（二）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（二） 【本地期中精选】 1．（七中育才）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接．当时，求的长度． 2．（树德外国语）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 3．（实外西区）如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，，连接，点M是分的中点，连接，． (1)若点D在边上，如图1，试探究，之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求的长． 4．（成都外国语）（1）如图1，分别以的边为腰往外部作等腰三角形，使，且，连接，找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）如图2，中，，分别以的边为腰往外部作等腰直角三角形，使，且，连接，求的长； （3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，则______． 5．（成都实外）如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数； (3)在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值． 【全国各地期中精练】 1． 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 2．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图，若，求； (3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 3．如图，在中，，，点是平面内一点，满足． (1)延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 4．如图，在中，，，点是平面内一点，连接，，且． (1)如图1，若点在内部，，求的长； (2)如图2，若点在内部，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与交于点，证明：； (3)如图3，若点在边上，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，直接写出的值． 5．（1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 6．为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 7．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 8．如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 9．在拓展课常上，共学小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为4，宽为2．    【实践探究】 （1）小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上，试探究的形状，并说明理由. 【解决问题】 （2）如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，若时，求的值. 【拓展研究】 （3）从图1开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若直线与线所成夹角为时，请直接写出的面积． 10．（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 11．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，，过点C作，垂足为H，与交于点F． (1)求证：； (2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求的长． 12．已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（二） 【本地期中精选】 1．（七中育才）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接．当时，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据证明得，进而可求出的度数； （2）作交于点T，由折叠的性质得，．求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，延长交于点T，证明得，．证明得，可证四边形是平行四边形，从而，然后分两种情况求出的长度即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴． ∵将绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作交于点T， ∵将沿折叠至， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长交于点T， ∵点G绕B顺时针旋转至点K， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵作点G关于直线的对称点H， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴H在的中垂线上且为定长． 如图4， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 同理可证， ∴， ∴的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，分类讨论是解（3）的关键． 2．（树德外国语）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）方法一：根据全等三角形的判定求出，根据全等三角形的性质得出，，求出，，即可得出答案； 方法二：由得，根据三角形的内角和外角的关系推出，进而推出，即可证得； （2）作交的延长线于点，则，所以，则，再证明，得，由，得； （3）延长至，使，连接，过作于点，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：方法一：如图1（1）：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 方法二，如图1（2）：延长至点，使，连接， ， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接，过作于点， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（实外西区）如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，，连接，点M是分的中点，连接，． (1)若点D在边上，如图1，试探究，之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求的长． 【答案】(1)，，理由见详解 (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半即可证明相等，再根据等边对等角结合三角形外角的定义与性质可得，问题得证； （2）延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，先证明四边形是平行四边形，即有，，表示出，再结合，，可得，即可证明，问题随之得解； （3）延长交于点H，证明，再证明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解． 【详解】（1），理由： ∵，点M是的中点， ∴在中，， 同理在中可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：，； （2）成立，理由如下： 延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，如图， ∵点M是分的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，； （3）延长交于点H，    ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转可得，，即， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴． ∴． ∴，， 即，． ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键． 4．（成都外国语）（1）如图1，分别以的边为腰往外部作等腰三角形，使，且，连接，找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）如图2，中，，分别以的边为腰往外部作等腰直角三角形，使，且，连接，求的长； （3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，则______． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等等： （1）利用即可证明； （2）先求出， 由勾股定理，得，进而求出，由勾股定理，得，再证明，即可得到； （3）如图所示，过点B作使得，连接，求出，得到，由线段垂直平分线的性质得到，证明，得到；如图所示，过点D作于H，求出，得到，则由勾股定理可得． 【详解】解：（1），证明如下： ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ， 在等腰直角，由勾股定理，得， ∵， ， 在直角，由勾股定理，得 ∵， ∴， 在和中， ， ； （3）如图所示，过点B作使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点D作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（成都实外）如图1，在等边中，D、E分别为边、边上的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，D、E分别在边、边边的延长线上，且，连接，连接并延长交于点F，求的度数； (3)在（2）的情况下，如图3，将关于对称得到，交于M；将关于对称得到，交于．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）可推出，进一步得出结论； （2）可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）作于G，可证得，进而证得，从而得出，设，则，从而得出，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 作于G， ∴， ∵将关于对称得到，将关于对称得到， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，完全平方公式的应用。利用类比思想解答是解题的关键． 【全国各地期中精练】 1． 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）根据证明得，进而可求出的度数； （2）作交于点T，由折叠的性质得，．求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，延长交于点T，证明得，，由旋转得，从而有．证明得，可证四边形是平行四边形，从而． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴． ∵将绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作交于点T， ∵将沿折叠至， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长交于点T， ∵点G绕B顺时针旋转至点K， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵作点G关于直线的对称点H， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质． 2．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图，若，求； (3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ，， ； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．如图，在中，，，点是平面内一点，满足． (1)延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①首先证明，推出是等腰直角三角形，可得结论； ②如图2中，过点A作于点H，交于点T，证明，推出，证明，推出，再证明，可得结论； （2）如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．证明点M在线段的垂直平分线上，设垂足为Q，当线段的垂直平分线时，的值最小，设交于点J（如图3-2中），求出，可得结论． 【详解】（1）解：①如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图2中，过点A作于点H，交于点T． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即, ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴； （2）解：如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小， 设交于点J（如图3-2中）， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质、勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 4．如图，在中，，，点是平面内一点，连接，，且． (1)如图1，若点在内部，，求的长； (2)如图2，若点在内部，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与交于点，证明：； (3)如图3，若点在边上，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则，根据含的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，过C作交的延长线于M，则，证明，得出，，导角可求出，，则，然后证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）过Q作于G，连接，根据等腰直角三角形的性质可求出，证明，得出，，则，根据等边对等角求出，则可判断点Q在直线上运动，故当时，取最小值，此时，则，设，根据勾股定理依次求出，，，，，则，然后代入计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接，过C作交的延长线于M， 则， ∵旋转． ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）解：过Q作于G，连接 ∵，D在上，， ∴， 又， ∴， ∵旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴点Q在直线上运动， 当时，取最小值， 此时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．（1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） ，；（2），；（3），；（4） 【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）证明，得出，最后证出即可． （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1），， ， 即， 是的外角， ； 故答案为：，； （2）和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：； （3）， 和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． （4）， ． 故答案为：． 6．为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)的值为2 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质与判定，添加辅助选构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，可得，结合等腰三角形的性质，利用AAS证明； （2）证明，得到，可得，进而证明，即可求解； （3）在上截取，证明，得出，，继而证明，得出，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， ， 的值为； （3）解：． 证明：在上截取，如图， 在和中 ， ， ，， ∵为等腰直角三角形， ， ， 而， ， ， 在和中， ， ， ， ． 7．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 【答案】(1)3， (2)见解析， (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图2中，连接，作于，于．证明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性质即可解决问题． （3）延长到，使得，连接，，作于．首先证明，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：连接， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 同理，， ； （2）证明：如图2中，连接，作于，于． ，， ，， ，， ，， ∴ ， ， ， ， ∴ ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，，作于． ，，， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 由题意得：用三条线段、、围成的三角形的面积为，即由、、组成的三角形， ， ， ， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 8．如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的值为或3或或1 【分析】（1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）由（1）知，则，由可得，可知，由勾股定理可得，，即可得证； （3）分四种情况：①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 由勾股定理可得：， 又∵是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 由（1）（2）可知，，， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去），即：， ∴； ②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 则， 即 解得：，负值舍去； ③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 同理，可得，，， 则， 即， 解得：，负值舍去； ④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， 同理，可得，，， 则， ∴ 解得：， ∴； 综上所述，的值为或3或或1． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，通过“”证明三角形全等是解题的关键． 9．在拓展课常上，共学小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为4，宽为2．    【实践探究】 （1）小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上，试探究的形状，并说明理由. 【解决问题】 （2）如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，若时，求的值. 【拓展研究】 （3）从图1开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若直线与线所成夹角为时，请直接写出的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形，（2）；（3）为或． 【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识； （1）证明得出，，进而证明，即可得出是等腰直角三角形； （2）取的中点，得出是等边三角形，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解； （3）分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下， 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形； （2）∵ ∴ 又 ∴ ∴ 取的中点，连接如图所示，    ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∴； （3）如图所示，设交于点，过点作于点，    ∵ 又 ∴ ∴在上， ∴ 同（2）可得 ∴ ∴平分 ∴， 又∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴是的中点， 在中，， ， ， ， ， ， 如图所示：当旋转角大于时，    过作于， 中，， ， ， ， 综上所述，为或． 10．（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：； （3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）方法一：根据全等三角形的判定求出，根据全等三角形的性质得出，，求出，，即可得出答案； 方法二：由得，根据三角形的内角和外角的关系推出，进而推出，即可证得； （2）作交的延长线于点，则，所以，则，再证明，得，由，得； （3）延长至，使，连接，过作于点，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：方法一：如图1（1）：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 方法二，如图1（2）：延长至点，使，连接， ， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接，过作于点， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 11．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，，过点C作，垂足为H，与交于点F． (1)求证：； (2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)（1）的结论仍然成立 (3)CF的长为或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，，得出，，则可得出结论； （2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． （3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ； （2）解：（1）的结论仍然成立．理由如下： 作交直线于点，如图2， ， 又， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ， 又， ，， ， ． （3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点， ，，， ，， ， ， ，，， ， ， 由（2）知， 又，， ， ， ， ， ； ②当点在的上时，过点作于点，如图4， 同理可得，，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10或 【分析】（1）设交于点P，根据平行四边形的性质得出,证明，得出，，得出，求出，，求出，即可得出答案； （2）①过点A作于点H，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，求出，； ②由翻折的性质得出：，分两种情况：当时， 当时， 分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：设交于点P， ∵四边形为平行四边形， , ， 由翻折可得： 在和中，， ， ， 同理得：， ∴， 在中，， 在中，， , ， ∴； （2）①解：过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ， ， 由翻折的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ∴在中，； ②解：由翻折的性质得：， 为等腰三角形， ∴有以下两种情况： 当时，过点A作于点H，如图所示： 由①可知：四边形为矩形， , 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 当时，过点B作于M，如图所示： 由①可知：，四边形为矩形， ， 设,则， , 在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得： , , 解得：， ； 综上所述：的长为：10或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，注意进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$