精品解析：江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

扬州市第一中学2024-2025学年度第二学期 高二数学期中考试试卷 命题人：王昊 审核人：池岩 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.4 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 2. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用列方程，解方程求得的值. 【详解】，依题意，即. 此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意. 所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题. 3. 平面经过三点，，，则平面的法向量可以是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量. 【详解】设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D. 【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】 由导函数图象与原函数图象关系可解. 【详解】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在处取极大值，在处取极小值. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值 导数法研究函数在 内单调性的步骤： (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 5. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 A. 21种 B. 315种 C. 153种 D. 143种 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种， 选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D. 6. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可判断AC；根据二次函数和指数函数的图象与性质即可判断BD. 【详解】对于A：，则，所以在上单调递减，故A满足条件； 对于B：，函数图像抛物线开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递增，故B不满足条件； 对于C：函数，定义域为，，由，解得， 即函数的单调递减区间为，故C不满足条件； 对于D：在定义域R上单调递增，故D不满足条件． 故选：A 7. 如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 8. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种 A. 144 B. 264 C. 288 D. 432 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法， 对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3， 则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种． 反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种． 同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种， 则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种， 所以双面绣不同色彩设计方法共有种． 故选：B． 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，，， 故，D正确. 故选：ABD 10. 对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A. 使的一定是函数的极值点 B. 在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件 C. 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D. 若在R上存在极值，则它在R一定不单调 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断. 【详解】A选项，不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误； 在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误； 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误； 根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确. 故选：ABC 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知，，当时，实数的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意依次算得的值，然后根据列方程即可求解. 【详解】因为，， 所以 ， 因为， 所以， 解得 故答案为：6. 13. 若函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的加法法则得出，再求其在处的函数值. 【详解】因，则， 则. 故答案为： 14. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_______种． 【答案】36 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出． 【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊， ①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， ②，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， ③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法， 不同的安排方案共有种； 故答案为： 四、解答题 15. 从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试． （1）若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？ （2）若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？ 【答案】（1）60 （2）630 【解析】 【分析】（1）直接由排列的意义以及排列数即可解决； （2）先组合，再排列，即利用到分步乘法计数原理，结合组合数、排列数即可解决. 【小问1详解】 由题意从5名女生中选取3人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5名女生中选取3人依次进行排列， 此时对应有种不同的面试方法. 【小问2详解】 安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步： 一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步： 第一步从5名女生中选取1名女生；第二步从7名男生中选取名男生； 由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种. 另一方面：注意到3名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3名面试者进行一次排列， 有种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有 种. 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以， 易知平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，，可求得切线方程； （2）对恒成立，分离变量得，求得的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 则，所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即（或）. 【小问2详解】 假设存在实数，使得在上单调递增， 则对恒成立， 即对恒成立． 当时，为减函数，则， 所以，又，所以的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得面，进而有，且，最后根据线面垂直的判定，面面垂直的判定及性质证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值； （3）问题化为判断以为直径的球体与平面是否存在交线，结合点面距离判断中点与面的距离与的大小，即可判断. 【小问1详解】 由侧面底面，侧面底面，面， 又底面是直角梯形，，故， 所以面，面，则， 由侧面是正三角形，E为中点，则， 而且都在面内，则面，面， 所以面面，而，面面，面， 所以平面. 【小问2详解】 依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，， 所以，， 令是面的一个法向量，则， 令，则， 令是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【小问3详解】 由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上， 又，其中点坐标为，则， 由（1）（2）知，是面的一个法向量， 所以到面的距离， 所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使. 19. 已知函数 （1）求函数的极值； （2）当时，判断方程的实根个数，并加以证明； （3）求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）2个，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，判断单调性，得出结果； （2）令，求导，判断单调性，由零点存在性定理可得结果； （3）讨论a的判断单调性，得出结果． 【小问1详解】    ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，函数存在极大值，无极小值； 【小问2详解】 令， ， ，，即， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，， ， 函数在R上连续，所以有一个零点0，且在上有一个零点， 即函数有两个零点， 当时，方程的实根个数为2个； 【小问3详解】 由（2）知，即证：当时，对于任意实数 不等式恒成立．   ， ，   当，即时，则时，，单调递减； 时，，单调递增，  ， 当时，恒成立；  当，即时， 则时，，单调递增； ，单调递减； 时，，单调递增，  ，  ，   当时，恒成立； 综上：当时，对于任意实数，不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市第一中学2024-2025学年度第二学期 高二数学期中考试试卷 命题人：王昊 审核人：池岩 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.4 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 2. 已知函数在处取得极值，则（ ） A 1 B. 2 C. D. -2 3. 平面经过三点，，，则平面的法向量可以是 A. B. C. D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 5. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 A. 21种 B. 315种 C. 153种 D. 143种 6. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种 A 144 B. 264 C. 288 D. 432 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A. 使的一定是函数的极值点 B. 在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件 C. 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D. 若在R上存在极值，则它在R一定不单调 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知，，当时，实数的值为____________． 13. 若函数，则__________. 14. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_______种． 四、解答题 15. 从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试． （1）若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？ （2）若参加面试人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？ 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线EF与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q轨迹长度；若不存在，请说明理由． 19 已知函数 （1）求函数的极值； （2）当时，判断方程的实根个数，并加以证明； （3）求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$