精品解析：湖南省株洲市第二中学2024-2025学年七年级下学期数学期中考试卷

株洲市二中初中部2025年上学期期中学科素养检测试卷 初一年级 数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. = B. = C. D. 6. 如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，得到的一对内错角的角平分线互相平行 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短 8. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 截至2025年2月，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．数据“73300000”用科学记数法表示为_______． 12. 比较大小：_______7．（填“”“”或“”） 13. 直线、 互相垂直，垂足为，直线过点 ，，则_________． 14. 如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点．若阴影部分的面积为，，，则平移的距离为_____． 15. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 16. 如图，一张长方形纸片剪去两个角，已知，且测得，，则______． 17. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 18. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“卓越数”．例如，，，，，就是三个卓越数．在正整数中，从1开始，第2025个卓越数是_____________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列一元一次不等式（组），并把解集在下列数轴上表示出来． （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：．其中，． 22. 如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 23. 近日，中国大学生篮球一级联赛正在株洲火热进行中．赛场内掌声雷动，赛场外市集精彩，主题篮球和球衣深受大家喜爱．已知购买3个篮球比购买2件球衣多用120元；购买1个篮球和2件球衣共用200元． （1）篮球和球衣的单价分别是多少元？ （2）某支队伍决定购买篮球和球衣带回学校做纪念品，共70个（件），总费用不超过5000元，则至少应购买球衣多少件？ 24. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 25. 如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． （1）若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； （2）现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； （3）已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 26. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． （1）若，则 ； （2）作交于点，且满足，当时，试说明：； （3）在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中初中部2025年上学期期中学科素养检测试卷 初一年级 数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键． 根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项A不符合题意； B．选项B中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”，熟记无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是有理数，则此项不符合题意； B、1是有理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项符合题意； D、是有理数，则此项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误，不符合同意； B．，计算错误，不符合题意； C．，原式错误，不符合同意； D．，原式正确，不符合同意． 故选：D． 4. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 5. 下列运算正确的是（ ） A. = B. = C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】A、=2，故本选项错误； B、=﹣，故本选项错误； C、=﹣2，故本选项正确； D、=﹣1，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 6. 如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键； 根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， ， 的补角的大小为； 故选：B 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，得到的一对内错角的角平分线互相平行 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确掌握相关定义是解题关键．分别利用平行线的性质以及垂线的性质对上述说法作出判断，即可解题． 【详解】解：A、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，符合题意； B、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B项说法错误，不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，得到的一对内错角的角平分线互相平行，C项说法错误，不符合题意； D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，D项说法错误，不符合题意． 故选：A． 8. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由矩形的性质的可得，可得即可求解． 【详解】解：由矩形的性质的可得，， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形与折叠的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 9. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于20分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为， 则走路的时间为 ， 故选：D． 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 截至2025年2月，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．数据“73300000”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“73300000”用科学记数法表示为； 故答案为：． 12. 比较大小：_______7．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小比较，掌握无理数的估算方法是关键． 根据无理数的估算比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 13. 直线、 互相垂直，垂足为，直线过点 ，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义和对顶角的性质，注意领会由垂直得直角是解答此题的关键．已知，利用对顶角相等可求，因为直线、 互相垂直，则，用互余关系可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线、 互相垂直， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点．若阴影部分的面积为，，，则平移的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、三角形面积计算的知识．根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，求得，即可得到答案． 【详解】解：由平衡的性质得，，，， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴三角形沿着方向平移的距离为， 故答案为：2． 15. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和． 16. 如图，一张长方形纸片剪去两个角，已知，且测得，，则______． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可． 【详解】解： 过作，交于， 四边形是长方形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：130． 17. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，； 故答案为：． 18. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“卓越数”．例如，，，，，就是三个卓越数．在正整数中，从1开始，第2025个卓越数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，乘方运算，理解数量关系找出规律是关键． 根据题意把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，由此推理即可求解． 【详解】解：设两个数分别为，为整数， ∴， 设两个数分别为，为整数， ∴， ∴ 除4外，所有能被4整除的偶数都是卓越数，即当时，均为卓越数，另外，还有如等，这样不能被4整除的数，均不是卓越数， ∴被4除余2的正整数不是卓越数， 同时，根据表格信息可得，除1外，所有奇数均为卓越数， ∴把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，依次类推， ∴， ∴第个卓越数在 （组），且是第三个数， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，乘方，同底数幂的乘方运算，掌握算术平方根，立方根，整式乘法的运算法则是关键． （1）计算算术平方根，立方根，乘方的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列一元一次不等式（组），并把解集在下列数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），作图见详解 （2），作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，一元一次不等式组的解集，并把解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，取值方法是关键． （1）根据不等式的性质求解集，表示在数轴上即可； （2）根据不等式的性质求解集，根据不等式组取值的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集并表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 合并同类项得，， ∴不等式的解集为：， 表示在数轴上如图所示， 【小问2详解】 解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：， 表示在数轴上如图所示， ． 21. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值．直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22. 如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 【答案】（1）； （2）点到的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 【小问1详解】 解：点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 23. 近日，中国大学生篮球一级联赛正在株洲火热进行中．赛场内掌声雷动，赛场外市集精彩，主题篮球和球衣深受大家喜爱．已知购买3个篮球比购买2件球衣多用120元；购买1个篮球和2件球衣共用200元． （1）篮球和球衣的单价分别是多少元？ （2）某支队伍决定购买篮球和球衣带回学校做纪念品，共70个（件），总费用不超过5000元，则至少应购买球衣多少件？ 【答案】（1）一个篮球的单价为元，一件球衣的单价为元 （2）至少应购买球衣件 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设一个篮球的单价为元，一件球衣的单价为元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购买篮球个，则购买球衣件，由数量关系列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设一个篮球的单价为元，一件球衣的单价为元， ∴， 解得，， ∴一个篮球的单价为元，一件球衣的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买球衣件， ∴， 解得，， ∴， ∴至少应购买球衣件． 24. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质；掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行得，再由平行线的性质得，结合已知条件，由同旁内角互补，两直线平行，即可得证； （2）由平行线的性质得，，，结合角平分线的定义，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图所示，现有边长分别为、的正方形、邻边长为和的长方形硬纸板若干． （1）若要用这三类纸板拼成一个长为，宽为的长方形，则长方形面积可表示为______（结果需化简）．其中需要①类纸板________张，②类纸板________张，③类纸板______张； （2）现有①类纸板4张，②类纸板12张，则应至少取③类纸板_______张才能用它们拼成一个新的长方形； （3）已知长方形②的周长为30，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】（1）；；； （2）8 （3）376 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算以及完全平方式和几何关系以及应用，解题的关键是熟练掌握用整式的运算法则以及完全平方式的形式． （1）根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答； （2）根据乘法公式，即可进行解答； （3）根据题意可得，，转化为完全平方式即可进行解答． 【小问1详解】 解：长方形面积可表示为．其中需要①类纸板张，②类纸板张，③类纸板张； 故答案为：；；；； 【小问2详解】 解：∵或或或， ∴现有①类纸板4张，②类纸板12张，应至少取③类纸板8张才能用它们拼成一个新的长故答案为：8； 【小问3详解】 解：由已知得：，， ∴． 26. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． （1）若，则 ； （2）作交于点，且满足，当时，试说明：； （3）在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】（1）100° （2）见解析 （3）的值或或． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． 【小问3详解】 ． 当时，则，如图， ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图， ∵， ． ， ． ． 当时，，如图， ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $