精品解析： 福建省德化第二中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2025德化第二中学高一数学期中测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，与的夹角，则（ ） A. 10 B. -10 C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积运算即可求出结果. 【详解】因为，，与的夹角， 所以， 故选：B. 2. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：，得， 由正弦定理：. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以，， ， 故选：A． 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数得，由余弦函数周期性质求解. 【详解】根据题意，， 所以最小正周期为. 故选：D 5. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】解法一：设，则， 解得，所以，所以， 解法二：因为，所以， 解法三：方程两边同时平方，有，所以， 故选:A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简等式求出，利用二倍角公式即可得出结论. 【详解】由题意，， ∴，即 ∴，解得：， ∴， 故选：D. 7. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出，再利用向量的夹角公式求解作答. 【详解】依题意，是两个单位向量，则在上的投影向量为， 于是，即，解得， 所以. 故选：C 8. 已知复数（其中i为虚数单位），给出下列题：p1：z的共轭复数为4﹣i；p2：z的虚部为3i；p3：z的模为25；p4：z在复平面内对应的点位于第四象限，其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件化简复数，然后判断四个命题的真假即可． 【详解】复数，为虚数单位，可得 ． 的共轭复数为，所以不正确； 的虚部为，所以不正确； 的模为，所以不正确； 在复平面内对应的点位于第一象限，所以不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查复数的基本概念，复数的代数形式混合运算，命题的真假的判断，是基础题． 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意得，分别求模、共轭复数、化简即可得到结果. 【详解】根据复数z在复平面上对应点为，则，所以A错； ，所以B错； ，所以C正确； ，所以D正确． 故选：CD． 【点睛】本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题. 10. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，逐个验证向量平行、垂直、夹角和模的问题. 【详解】由题意，，， 则 ， ，故A错误； 易知，由， 所以与不平行，故B错误； 又 ，即，故C正确； 因为 ， 又 ，所以与夹角为，故D正确． 故选：CD． 11. 已知向量，，，设，所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两边平方，将条件代入可得，再由可得，再求出，从而可对各个选项作出判断，得到答案. 【详解】向量，， 由，可得， 即，解得，所以A正确； ，所以， 又，所以，所以C正确，D不正确； ，则，故B正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标运算求解． 【详解】由得，， 则，所以． 故答案为：． 13. 设复数，则下列命题中正确的是______填序号 ①； ②； ③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部2． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，依次求解即可． 详解】解：， 对于①，，故①正确， 对于②，，故②正确， 对于③，在复平面上对应的点在第一象限，故③正确， 对于④，的虚部为1，故④错误． 故答案为：①②③ 14. 已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系得sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简求解即可. 【详解】依题意，有：sinθ＝－， ＝＝＝ 故答案为. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知复数. （1）若纯虚数，求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）或1-2i. 【解析】 【详解】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求. 详解：（1）若是纯虚数， 则， 所以 （2）因为， 所以， 所以或. 当时，， 当时，. 点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了. 16. 已知向量； （1）若3与共线，求m； （2）若，求||. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出，，由与共线，能求出； （2）由，求出，从而，由此能求出． 【详解】解：（1），， ∵与共线， ∴﹣3（2m+6）﹣13（2﹣3m）＝0，解得； （2）∵ ∴，解得m＝4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量平行与垂直的坐标运算，属于基础题． 17. 已知复数满足: ． （1）求并求其在复平面上对应的点的坐标； （2）求的共轭复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，代入已知，化简计算，根据复数相等的概念列出关于，的方程组，并解出，，可得； （2）将（1）求得的代入，化简计算后，根据共轭复数的概念求解． 【小问1详解】 设，则， ，解得， 其在复平面上对应的点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）知 ， 故的共轭复数为. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 即： ，由得： （2），的周长为 由余弦定理可得： 的面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型. 19. 已知，，设函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性，利用整体思想求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 令，则， 所以函数的单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025德化第二中学高一数学期中测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，与的夹角，则（ ） A. 10 B. -10 C. 5 D. -5 2. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 若复数满足，则（ ） A 1 B. -1 C. D. 16 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数（其中i为虚数单位），给出下列题：p1：z的共轭复数为4﹣i；p2：z的虚部为3i；p3：z的模为25；p4：z在复平面内对应的点位于第四象限，其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 11. 已知向量，，，设，所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则___________. 13. 设复数，则下列命题中正确的是______填序号 ①； ②； ③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部2． 14. 已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）若，求. 16. 已知向量； （1）若3与共线，求m； （2）若，求||. 17 已知复数满足: ． （1）求并求其在复平面上对应的点的坐标； （2）求的共轭复数. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，周长为，求的面积． 19. 已知，，设函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$