卷12 立体几何初步-【三新金卷·先享题】2026年新高考数学真题分类优化卷

2026高考真题卷·数学（十二） g + 10g3·全国)已知图维的顶点为P,底面属心为O,AB为雀图直径： ∠APB一120，P1=2,点C在光面图周上，且二真角P-AC-0为45， 卷12立体儿何初步 c n 谢 A.技同m均体积为三 姓名 班级 坐号 得出 高(2·全国已知正三提台ACAG的体积为翠，A-6一-2 队淡铜维的例面积为十， 写A:A与半有A所域角的正切值为 本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟 入 C=22 BI 一，选择题：本题共《小楚，每小题口分，共4阳分，在每小题给曲的四个蔻 L△PAC的直积为石 项中，只有一项是粹合题日要术的 C,2 13 ,024·全国设为两个平雀m,n为两条直线，且a门=m,下逃四 6,(如心·全国)已加国鞋和圆锥的底面华径相等，衡面积相等，月它门的 1L.(22·全国)下列物体中.雀解整整体故入候长为1（单位：）的正方 个命题， 高均为3，期屑都的体积为 体容器（客馨壁厚度想略不计）库的有 ①若m琴，荆用基红现秀从月 A.2/ 且a,= A.直径为0.9m的球体 ②若w⊥和，荆mL度或用1月 6 9v1云 弘，衡有棱长均为1,4m的四宾棒 题若成▣且n成品则m》n T,(24·上喜》定文一个集合口，集合中的无素是密国内的点第，任填 C.底面直径为a,01m,高为：8m的圆柱体 鱼若n与：3新成的角幅等，则mLn 其中质有真合题的编号是 P,PP∈n,存在不全为u的实数AA,使得a1UP+a:OP+ 1在程直径为【，？m,高为0,01m的帽集体 A可® 队⊙灯 a0B-年.已加1,0,01∈n.联00,11任0的光分条针是 三，项空踊：本题共3小题，每小廉5分，具5分： G,①8 D,D3④ A.0.0,01∈0 且(-1,0.0)∈0 2.2·全国已知测台甲、乙的上丝面华径均为，下庭面半径均为 二202！·北京)妇周，在四战锥P-ACD中，底面ACD是边长为4的 C,0.l,00∈0 (0.0.-10en :周台的母线长分别为2(：一》，3一》，端图白甲与乙的体积之 正方无，PA一严B-4,PC一PD一2.该花锥的高为 8.如图①所示，将周个直角三角形群在一星得别国边形AD,且AC 比为 C-号AD-1,ACLAD,璞将△CD AC新起.使得点D到达点P ,《24·北京)仪代刘散登计的“前高量是羚，在，升，斗，都五量合一的 处，且二面角单-AC-B的大小为60，连接出P,如图⊙属示，若三棱排 标准量器，其中升量器，4藏深，解续器的形状均可视为厨陆。若开，年 P=AC的所有顶底均在饲一球面上，第流球的表育积为() A.1 .2 解量器的容积收公比为10的等比数料，威们直径依次为所mm: C.区 D:3 25mm,25mm,月韩量荐的高为20mm,期年量器的高为 三用斜二测测达横出的水平收置的△A的直翼活如用所示，其中矿是 m,升量海的高为 tm. ℃的中点，且AD8轴，轴.AD一C一2，那么s山- 山“用一个不渠直干圆管的结的平音就同恒，当得算的第与钱库所股的角 不同时.可以寻到不（的载口生找”，科用这个原理，小莲在家里用两个 A4量 )灯（射出的光单探为国解）在铺上授墨出两个相同的师图（图1， 且0a 已，4x D.7e 维的一条母线恰好与墙面意直，置？是一个射钉段影的直观图，属维 二，选择题：本哪共3小愿，每小题6分，共15分.在每小题给出的透项中 V)的针截育APH是等边三角形：耗国所在平雍为.PB上a:渊两 A. 有多项符合塑但裹求。全部透对的得6分，都分选对的得那分分，有法量 课O的离（米为 C.2厘 04 的得0分. 4.204:天潭-个五衡体A-DEF,已即ADB下，且两博之间 ,(20g空·全国)已相正方体ACD-A:BC:D1,则 距离为1并已知AD-1,一2，甲=a.期该五面体的体积为(1 A.直线风与DA:所域的角为0 且直线展与A,库域的角为0 二直线与平面BDD所成的角为 直线HC与平面ABCD所境的角为45 图2 【高考直婚花·蓝学（十 12一1】单元同测 【1含-21 【12-a】 网、解答置：本题共5小题，共77分，解答臣写出文字说明、证明过程或清 17,(本小隐满分15分) 10.《本小题累分17分) 算步深 (2如2·天津)已网棱柱ATD-A:BCD,中，底面AD为株形， 闭，在直三棱桂AC-A:B,C中，AB=AC-Ad,=1.A由⊥AC 1.本小题调分13分》 AH∥D,AA⊥平南AD,ADLB,其中AB=AA:-2,AD=C=, LA垂宜于平育A机，点P,E,F分黑为边A:C1,AA,AC上的动点 《的·全国》如图，在三棱柱AC-A:出CG中，AC⊥底罪ABC, N是B:C的中点，M是DD:的中点 (不包桥厦点)，且调足A一AF一A:P ∠ACB=o,AA1=2,A到平直CB的距真为L 1山求三按维场-A,PE的体积的量大葡： (I求证DN平面CB,M, 11证明：AC=A 《2)记平面BEF与平置P所成的段二面角为.当8最小时，求 (2)求甲面CM与平面BB:的夹角众弦值： 2已知AA与的距离为2，求A与平由℃C出，所域角的正 0的氧，并说明点P所处的位置， (3)求点出到平面C:M的距离 蕊值 6,本小赠调分15分 18.(本小避满分17分3 《24·全国)如周，平面四边想AD中，A甚=8，CDm3,1D=53 (2024·上海》如用为正四棱管P-AD,)为底南A议D的中心 ∠Ax=90∠BAD=30点E,F情足AE=号i.正=号A正指 △AEF结EF租折至△PEF,使薄P=4VA (1)若AP=5,AD-多2.求△P4绕U装转一周形境的儿何体 的体积： 《证明：EF⊥PD (2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平直A所我角 (2)求平底飞D与半真PHF所成的二商角的正蒸植， 大布 【t2-4】 【12-5】 【-6】卷12立体几何初步 深B址AC作CB∥PA具C=PA.进接PE,HE,时国经形ACEP为平行 1.A时①，台nCe,国为wm:二，形n名 四边彩， 当C子，明为m开：wa:时a· 长日解法1，分射取，，C的中点B,D,鞋AD=a瓦，A,D,=万， 青误ACPE,脑为ACLAP.两风AC⊥CE.尾A1C, 指N深不在日克不友料，风为解为期：二wC:别x里n及品故① 正喷， 可如sm-含×4×0×夏-后.8，一守×2×i-点 所以∠以CE是二面商P一AC-B的平面角， 中∠CE=, 叶②，看标⊥，侧用与1茶一父◆直，故②锋话： 设在三成合A以-A,BC的高为A, 在△CE中，电条孩党理可拜E一+C 对③，注直我魅分别作两平语与▣，？分别相义下直我3和直线， 风为。址直线n的平面与平面：岭交线为直线，射根林线面平行的祖 程V4一言方+后+万x厅A-坚，解样A- 2CCEs0-1+-1X1X2x-3 减定理知》， 如国，分用战A,D作真面合线，命发为，N,设 中BE.所xBE+■F,喻道IBE, 网厘得滑1，时1，风为实平面尾二平面3.朝平面名 AM= 是国为BCAC,AC8PE: 葛为二平自aa门9工m,别m:义图有u:制w及n,使E编 到M,M+A+, 降2C⊥E,”门=2，PE,EC平南PE, DN=AD-AM-MN=2- 阶以C⊥平面PBE,PBC平面PBE,群x以⊥PB 所以PC冷三检雄P一A的外排绿的直径， 可得0，-N+N√2万-+ 并以珍能球时华准R=安=V严+C-号 对①，希a几Y=w,将与d和目所成的角相平，如某u.两议2，副解u,就① 调： 体合年释杨和℃，B,可每-（学）+Dn 将以师地啡的表商核S一R一标×停一m,此选 缩上兴有①心延确，姓这A 2.D如图，成面ACD为E冷形， ,AD如两，填接BC,BC.国为DM,应HC,背以 台松郭的技长相平时，不蜡设A一P出一A一4， A M 片gAA与手雪ABC片点角特正智值为1∠AAD一 直座C点BC所或岭尾序为直线C:与A:所 P=PD=22. 或的角， 解表2：程正三幢台AC-A,BC释点正三枚单 分利泉AB,D的中AE,F,魂燥PB,PF,F, 因为刚边琴B:CC冷正方移，耐，C⊥，技重 P-AC,群AA与平西A风所成商即为PA平面 PE⊥A从，EF⊥AH,LPE门EF=E,PE,EFC平和PEF 直BC:与DA所盛的希为0“，A正晚： A所底角， 可知AE⊥年面PEF,卫A二年雷ACD, 雄排AC.国考AB⊥平面团CC,BCC平西 所保平面PEF⊥平面AD, BCC,射A,H⊥度C· 过P作EF的◆线，香是为O,和OLEF, 因为BBC,AB门BC=B,所红CL4有AB,C, 专平岳PFF门平奇AD=EF,O平面PEF 可v一，一是，-w 元四冷LC二平青A:B,C,阶以BC上CA:数B正峡： 所xOL平面AD, 量在三岭性P-AC的青冷d, 填提AC,设AC门BD=O.进是， 如周意可待：PE=2VN:PF=2,EF=4,时PE+P=EF,序PELPF, 国为H川，平面A1C0-CAG平面A八Cp·时C0LhI, 彩PE·PP-P0即可得0-四些-a 到m一x甘×省×4×要-格，释一有 因为C0上I,,D∩D=0,矫2CUL平雨D,D, EF 取度面AC岭中心为O,剩P)⊥填西AC,L)=空8， 防说∠C以)为直C与平面BH,DD防点的角， 所父四投维的高为√ 当相对的枝长和￥时，不动成PA=PC物4.P山=P)=2反， 所以A与十面AaC所表民竹玉海值m∠O一侣-1.能法载 成*条卡1C0-得.C=后C国品- 为BD=4E=P月十PD.生时不鹿帮点三角帮PBD,与周意不精，这律 系B登国性的成面来经为「，转■修的玲找瓷为/个+了， 所2，重线倒C,与平面B,D,D所表的角为0，故C传援 情见不个在，总该几 无它们的制前的转等，将保ar×=r×+F聊25=十T, 因为CC⊥年自A它，片以∠C,C为直线C,与平面AD两或的角， 3,D眼桥题意，名直观因还厚出原个西得彩为等张三扇 长r严3，故属蟑的你你为宁XX店=手数选及 易得∠CC=45,益D正确，蓝法ABD 非：如进种京， 10.AC鼓理套∠PB=120“,P1=2,降误P=1M==3 其中ADC,A=2A'D'=,C==2, ,C出题意知建兰个向量0P:OP,0P,其面，即垃三个南是不能肉或堂可 草平要用利的画机身品m=7新，AD=方×2以4= 的一个系焦， 属娘的体积为宁×■×()×1=元，A选填正编， 由室间直商类林果局如(0,0.0,11,0,03,0,0,1》三个☆要养面，朝雪 故送D. 威雄的侧雨教为需×√石×2一25言，B送两情联： 4一1,0,00,1,00)∈0无差推出(0,0,110.tA0溪： 4.C属一个完全杯习的五面体H1月=MN(骑A与面 这D成C的中成.4接，PD: 由皇间直嘴案师摩易如（一1,0,0），1,0,01(0,0,1)三个向亚4面，到》 体AC-DEF一一对虚)与镇五画朵相燕，使得D:N:E,:F,L重合： 韩C⊥D,C⊥PD 0.0,》,(10,0∈口无读接出0,0,1》丘2，镜B情溪1 翼为AD∥BE这CF,且两再之司面离为1，AD=1, 所2/PD0是二面扇P+AC0的平南角， 电室间直角逢标参易如(1,0,0)，0,0,1)，0,1,0》元个向量不养面，可前或 BE-2.CF-3. 利∠P=矿，岸以P一(0=1， 空间的一令系店， 时利表的背恒合体为一个三陵但， 时h(1.0,0,(0,1,91∈0能推#(0.4,11华0， 位4D一CD=T-反，则C-2反，C4项王： 道三棱处的直黄面（与侧性香直的煮面）为这长为1的羊 由室间直角皇物录号如1,0,0).t0,0,1),0,04一11兰个向重是番： 边交角形，侧性长为1十3=2十2=1十1=4， PD个干可-及，州以5么m-立×2后×，夏-2越项婚说，数域C 时当(0-0，一1)(10,01∈口无法拉出0,0.1)年口，故D蜡民.故选C 【知】 AD国为B,羽m<1解，即味格的重经小于业市保岭授头， 在△Pg0中.P0=点r.Pm=鸟.0m=.由李t龙理T据 2AC-AC:RCLA C.BCLAC. 两以线邮黄整体致入区方体内：盆小正哦： ,RIACINR△ACB,BA=BA1 用为正方炼的面对用气天为2w:见2>14： 过B钟D⊥AA:变A八干D,则D为A4中点， 所滨线够做整体数入五方体内，威日玉哺： 南直线AA1与BB,原离为2，年以BD=: 2PA·U 闲为正方缘的条时用风来为w,几3C1,8, 2×4,X 14 号AD=1.60=2..AB=AB=5. 所试不装傅批整作量入玉方体内，故已不玉城： 因为，2m1用：可加浪厨正才形不线息合圆枕的盘面园， 在△P00,由于m∠0Pm-沿 在R:△ACP,C=VA=AC=石 是装AC,使AC=C3f,速排， 如图，过AC的中是)作（尾⊥AC,瓷(『门AC=含， 御CAAC,是A,C:知雪垃A:CC为干行臂垃利， 物A0底，o-tad-5,at-夏Hm/cc-是-器 C MAC.∴C平面A,又AC平面A6C, C MLAM 转在R△AC,M◆.Af-2AC.C,M-A,C.÷AC√2ACT+AC 、龙新PQ瓦了、 在△ABC,◆，AC=V2A+AC.BC,-iC- 故坛C为仙了健时林置感面直楼为1,2m的国核， “ABV但++函行万 成韩国队姓轴的两个面点为G,H,连料G,PH分 着或面直径冷1,2m的面花车至家伟的上F成后持相切，设国社的成面属 其A州平所HCB,是满也为， 利义层性下B,下， 心为0，与正为体的下焦面的初左为， 将保A,与手百℃儿，等成角的正装慎为于一正 CC 0M TC10M,0,M-0,则an∠CAG一元一G· 4于aGn△PE,青a0-0= 由下PE为自锥号找，所误P店=A一2： 疫，部得40-以.区， 著案，E明地解所：2得 从6有1-PE-是×2-r 14.解折：山女A5-)-5万.求-名Ai.- 想概对雄性可如调社的马为 在：△P3中，山均我瓷理可得 5-2×0021.732-1.2×1.414=0.0332>0.01, 件AE-2行.AF=4,又∠HAD=U.在△M5市中， o--T-√)-(g-9 的余律瓷理浮 所以能够城整低种入正衣信角，其D正确，故感AD 12,解析：山观意军存两女国台的高分鲜为 片在特国0十-一号，6-1GC0-受 NAE+-2A·Am∠西-6+2-2·1+25.号 A,2n-刀(r-rT-5(n- 片保AE+EE=AF,则AE至EF,即E下⊥AD。 A:/3n-方]-r,--2(,-r, 群=√停)(= 所议F⊥PE,EF⊥E,又PE门店=B,PE,DE二+面PDE 片候EFL平面PDE,文PD二年而PDE, 念卡卓 故FLPD 、则心许为=后左卓 (2)速4CE,由∠A/C=阳“，D=言后.)=3. 名名9 朝CE=ED+D-16. 在△PC中，0=1VB,PE2B,ECm6,時2+PE=, 以，解折：设年是器的高为，平量号的高为A:4羊丛都是mm): 省案马 年2PE⊥℃，由(I如PK1F,文门F=B,C.下C丰备ACD 受学× 15.解析：1)加8 片xPE⊥平面1CD,元E二年自AD, -=10 A,CL曦香AC,HCC香A:ACL, 新江P那⊥D,则E,F,D两青舍直，建点如图空网直角生标系罪-W, 见议LM,AC,C平面ATA,A.COAC=C, 群E0,,0,P{0,02m,D03,e.C(8,3,e1F42,0,o, ⊥平到CA,又e平面批GH, =28m6=号= A(0,-25,01 年面ACCA,⊥年自CC。 南F是AB的中点，样B,250) 普案：55或号 过A,作AO交千， 克平面ACA,门年面BCB,=TA平面AC,A, 将2元-(81瓦.-2PD-(0,3成，一上 1,解析：提AB-2,出于PB,所以PB⊥A,在等连三扇特P非中， AL平面HCH PB=425,-2,PF(2,0,-2: 点M为PB的中流，个是A一石，在平面a中，由摇置的对称注可知 A到年面BB,的爬离有1，，A,=1, 设平面PCD和平南PHF的一个法向量分利为n=《1,::,雨= 0--速00，P,区长m与A变子在Q, 在R△A,CT中，AC⊥ACC=1A,=t y11 液0=，则C小=2一， 齿于0.d为中点片以在AA中，PW-,-号 △A,△A(,0A为直扇三角形：且C■2， 利"-，十3-- COFA0-ACA0+O-CAACFAC-CC. nPD-8Vy-254,=0 海布政瓷可保%√中0T=√P+(停=华 1十+1+2一a)=4,解得r=1, m·P8-《,+2有y,-28x,T0 AC-AC-AC-.AC-AC m·PF-8上1-ti-0 【斜】 18.解析：I1)应回陵律满龙其P)L平AD,出C平面AD.时M入 朝厂11=a4一21十3十《十2)2r-》= 见五臂校维集面A仪CD是五才琴，山ADT3反军将，A=3, 22-10-1+2), tPO=√/PA)=, r-+8=）+子0， 银携圆使岭定义，△代A绝F)故转一周用或岭无何保是这四)为陆 A0为是面丰径的翼第， sE(0,安）t)<0. ◆=2万，浮10,3--1，■1 序即维的高为代0一4，是面来径为A)一3， 背话n=0239m=(万，-11) 聚悟网维销华积处人，对得期缘的紫机是×有×3×世2 当e(分时f>, aom万m得 (2速转EA,U,,打随意枯合压增推维竹灶情可 典-安)-（仔+什-1+8）-器 如，每个侧面都是等边之命形。 爱+毒D和十商P球片成得为，别n-一mG-B延， 65 由E是PB中A,周AFLPB,CE1PH m石-子 又AEnCE=E,AB,CC平断ACE. 降平香灯力和牛西PBF臂成得E微程为面 故PBL平后AE,即EL平香ACE 传泉为配角时，孕随0的增大奇减小，故峰9最小时，有s里最大， 又Dn平面AE-O, 17解析：1)取CB:岭中A为P,连侵NP,AfP. 于是直线BD本平面A以时点扇的大小即冷∠E, 即此时ms小一音元时一即点P在A仁中成 南N是BC的中A,此NPCC,具NP-C 不龄度AP一AD-6,对0-区，5E-8,m∠0E- 答紫，安2a-音P在A.G中点 女M是DD,的中点：故D,M-号DD,-℃DM0G· 卷13空间向量与立体几何 别有DMNP,D,M=NP, 又线西角特地因乏[0登]，故∠述-京中为所表 1n-m+-+n不+BG-AM-+i t回当琴D,MPN成平行时边形，故DN成aP, 答案：0)1242 又MP二平面HM,N工平面H,M, 一++e,此选队 9,解折，(1}由AA:套重于平西AC,LA取-AB,C为直三格社.越 故DN平唐CUM: AM,上平南ABC: 1.D由81eM*e-0之上一4+2-0→2=2 )以1为原点建之如国时市堂间直周染标原。 故A,E角三酸锥E-A:BP的高 由8过-子y-2-t 有A0,0,01,Br2,6,0)、(2,0,21,10,1.1) 最AE=AF=A,'=2E(0,1,附A,E=1-t, 41,1,0).1.129, 由AB兰AC.量A⊥AC, 骑a20+1=121,1,1)+(1,-2,1)1=3,0,3)1=1克.故域 3目这HA为x,罪为y轴，C为名轴建众堂 剩看8=1，-1-29.2f=(-10.12.n=0,020. 附S-A,P以A,北- 网直商标不，4《1.00)，C0,0l1 袋平所CB,计与平面BCC的淡向量会利为用 CM-A. 好n=(为3+ 线=-一75441--吉- fr,0,1一，(0，，0g,F1,1,,N=BF w"B=一+=0 别有 -》+ X7,1,0), w=一1十-0 则N=+1-可=@-+可0<1)，y ·CB,=,+=0 故一是时，苏桃缘机一A,PB的修期有痕大植 (2》南AA,南是于平面AC.AH、A二平面A, 动-2中e[专]精建减〔（仔]满壁增， a·BB=2=0 故AA⊥AB,AL⊥A,元AB1AC: 分料取有■12=1，狮有=3,3=1，为=152■0， 故AA.AC-AB骨再合重 片以一时，N最小值洛号一=1时：MN道大位茶1，浙园MNE 年n=(1.3.1》,题m《1.1,0: 陵AE=AF=AP=E0,1), [婆小址4拉 mm汤开 规恩 以A为原风，建上如图所帝空同直局林最， 有A0-0,03.1,0,0》.0-0,1,F0,1,0).P0,7,1).0,1,0, .D提0正-0丽十，C,南异面南量发理得A尼为李面BCD内位意一水. 长十香B与平后朋，CC与先考拿然值为产要 故F-(-,o2.8F-(-1+03.HP--14,mC-(-t,1. L4一UB-一yC=1-E=EL 成平面沙与平而仪半的法向黄分剩为新-)一 斯县0N-rO那-y-EA, (31★BB.=(0,0,2,平面CB,的潘向是为m=61.,13, 附有-0成-0 r1+9=0-F十w1+=0 w·hF-ow·-8十-0一十：- 求01一r州一yC峰量小挂，中求来A到平西CD的面高， m++ 设点A到平西)的短鼻为h。 ◆11=：=1，得别=1，=1,3=1=1一1： 车高甜到牛合团，的是将为酒 北博=，1,10，w-1-1,1一12， 由是意如5m=士×2n于=万 +1+1-士 著案：话明见斯析（位2径（ 北maww,l-1中1·1+1- ■面廉D特华红V-吉5a·A=2店， ◆f1=(十2(0-21十3).2∈0,1， 解据斯=，故所桌最中佳为《数感) 【】