第12章 二次根式（思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优优选真题难度分层练 共74题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重点难点培优知识讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重难点培优讲练（优等生培优版） 第12章 二次根式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优选压轴题专练 共74题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节指数回顾梳理 3 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 3 知识点梳理02：二次根式的运算 4 知识点梳理03：二次根式的相关概念和性质 5 知识点梳理04：二次根式的运算 6 易错考点点拨汇总 7 第一部分：概念理解类易错点 7 易错知识点01：二次根式双重非负性忽略 7 易错知识点02：最简二次根式判定错误 7 第二部分：运算规则类易错点 7 易错知识点01：合并同类二次根式错误 7 易错知识点02：分母有理化操作失误 7 易错知识点03：运算定律误用 8 第三部分：应用与隐含条件类易错点 8 易错知识点01：隐含条件忽略 8 易错知识点02：比较大小方法不当 8 易错知识点03：双重二次根式化简困难 8 期末真题考点汇编练 8 期末考向一：二次根式 8 重点考点讲练01：求二次根式的值 8 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 9 重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 9 重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 9 重点考点讲练05：复合二次根式的化简 10 期末考向二：二次根式的乘除 10 重点考点讲练06：二次根式的乘法 10 重点考点讲练07：二次根式的除法 11 重点考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 13 重点考点讲练09：最简二次根式的判断 13 重点考点讲练10：化为最简二次根式 13 期末考向三：二次根式的加减 14 重点考点讲练11：同类二次根式 14 重点考点讲练12：二次根式的加减运算 15 重点考点讲练13：二次根式的混合运算 15 重点考点讲练14：分母有理化 16 重点考点讲练15：已知字母的值，化简求值 17 重点考点讲练16：已知条件式，化简求值 18 重点考点讲练17：比较二次根式的大小 19 重点考点讲练18：二次根式的应用 19 优选真题难度分层练 21 中档题—夯实基础能力 21 压轴题—强化解题技能 22 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【细节剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【细节剖析】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【细节剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【细节剖析】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【细节剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【细节剖析】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 知识点梳理03：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【细节剖析】 二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【细节剖析】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【细节剖析】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易细节剖析】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理04：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【细节剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【细节剖析】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第一部分：概念理解类易错点 易错知识点01：二次根式双重非负性忽略 错误表现：未同时考虑被开方数非负（a≥0）和结果非负（）。 举例：若题目要求√(x-3)有意义，需同时满足x-3≥0，而非仅关注结果非负。 纠正方法：解题时标注双重条件，如=|a|，需分情况讨论a的正负。 易错知识点02：最简二次根式判定错误 错误表现：未彻底化简根式，如将写成（正确），但误保留√(4×3)或漏拆分母。 判定标准： 根号内无平方因子（如需拆为）； 分母不含根号（如需有理化为）。 第二部分：运算规则类易错点 易错知识点01：合并同类二次根式错误 错误表现：未化简直接合并，如将+写成（应为）。 关键步骤：先化简为最简根式（如=），再合并同类项（+=）。 易错知识点02：分母有理化操作失误 错误类型： 单根式分母：未有理化（正确为）； 复合分母：未用平方差公式处理（应分子分母同乘。 易错点：有理化后未约分或符号处理错误，如有理化后应为，而非。 易错知识点03：运算定律误用 典型错误： 分配律滥用：（错误）； 根式拆分错误：√(a²+b²)=a+b（错误）。 纠正方法：严格区分根式内外运算，遵循（a,b≥0）的规则。 第三部分：应用与隐含条件类易错点 易错知识点01：隐含条件忽略 举例：题目给出√(a²)=3，直接解得a=3，忽略a可能为-3的情况（正确为a=±3）。 应对策略：关注题目中变量范围（如题目隐含a>0或b≠0等），结合绝对值处理。 易错知识点02：比较大小方法不当 错误表现：直接比较与2的大小，未平方处理（≈2.236>2）。 复杂情形：比较−2与1时，需先计算≈2.645，得结果≈0.645<1，而非估算错误。 易错知识点03：双重二次根式化简困难 难点：如，需配凑为√(√2+√3)²=。 方法：观察能否拆分为形式，利用(a+b)²=a²+2ab+b²匹配原式结构。 期末考向一：二次根式 重点考点讲练01：求二次根式的值 【母题精讲】（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【训练1】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【训练2】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【训练1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【训练2】（20-21八年级上·四川达州·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 【母题精讲】（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知，则 ． 【训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）当实数 时，有意义． 【训练2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【训练1】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，点是边上的中点．如果点是上的动点，那么的最小值为 ． 【训练2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 重点考点讲练05：复合二次根式的化简 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【训练2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 期末考向二：二次根式的乘除 重点考点讲练06：二次根式的乘法 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 【训练1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【训练2】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ． 重点考点讲练07：二次根式的除法 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【训练1】（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 重点考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【训练1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【训练2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，则 ． 重点考点讲练09：最简二次根式的判断 【母题精讲】将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【训练2】（22-23八年级下·北京大兴·期末）下列各式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练10：化为最简二次根式 【母题精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） (2)求的长度． 【训练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，． (1)求正方形空地的边的长； (2)求郁金香的种植面积． 期末考向三：二次根式的加减 重点考点讲练11：同类二次根式 【母题精讲】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 【训练1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 重点考点讲练12：二次根式的加减运算 【母题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【训练2】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 重点考点讲练13：二次根式的混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 【训练1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． 【训练2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 重点考点讲练14：分母有理化 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【训练1】（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 【训练2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 重点考点讲练15：已知字母的值，化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【训练1】（24-25八年级上·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【训练2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 重点考点讲练16：已知条件式，化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【训练1】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 重点考点讲练17：比较二次根式的大小 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【训练1】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 重点考点讲练18：二次根式的应用 【母题精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)求船体移动距离的长度． 【训练1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【训练2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．（2025·广东湛江·一模）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 6．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 8．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）计算； （2）解方程组时，某位同学有如下两种解法： 解法一：由①－②，得：解法二：由①得③，把③代入②，得 ①反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）； ②请运用你喜欢的方法求解此方程组． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)与________是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 13．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图所示，用面积为4的正方形做成一副七巧板后砌成一个长方形，则长方形的宽是（   ） A． B．1 C． D． 14．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）已知、满足，则 ． 15．（2025八年级下·安徽·专题练习）已知，则 ． 16．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 18．（24-25八年级上·江西吉安·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 19．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 20．（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重难点培优讲练（优等生培优版） 第12章 二次根式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节指数回顾梳理 3 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 3 知识点梳理02：二次根式的运算 4 知识点梳理03：二次根式的相关概念和性质 4 知识点梳理04：二次根式的运算 6 易错考点点拨汇总 6 第一部分：概念理解类易错点 6 易错知识点01：二次根式双重非负性忽略 6 易错知识点02：最简二次根式判定错误 7 第二部分：运算规则类易错点 7 易错知识点01：合并同类二次根式错误 7 易错知识点02：分母有理化操作失误 7 易错知识点03：运算定律误用 7 第三部分：应用与隐含条件类易错点 8 易错知识点01：隐含条件忽略 8 易错知识点02：比较大小方法不当 8 易错知识点03：双重二次根式化简困难 8 期末真题考点汇编练 8 期末考向一：二次根式 8 重点考点讲练01：求二次根式的值 8 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 9 重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 10 重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 11 重点考点讲练05：复合二次根式的化简 13 期末考向二：二次根式的乘除 15 重点考点讲练06：二次根式的乘法 15 重点考点讲练07：二次根式的除法 17 重点考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 21 重点考点讲练09：最简二次根式的判断 23 重点考点讲练10：化为最简二次根式 24 期末考向三：二次根式的加减 28 重点考点讲练11：同类二次根式 28 重点考点讲练12：二次根式的加减运算 30 重点考点讲练13：二次根式的混合运算 31 重点考点讲练14：分母有理化 33 重点考点讲练15：已知字母的值，化简求值 35 重点考点讲练16：已知条件式，化简求值 38 重点考点讲练17：比较二次根式的大小 40 重点考点讲练18：二次根式的应用 42 优选真题难度分层练 47 中档题—夯实基础能力 47 压轴题—强化解题技能 52 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【细节剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【细节剖析】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【细节剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【细节剖析】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【细节剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【细节剖析】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 知识点梳理03：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【细节剖析】 二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【细节剖析】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【细节剖析】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易细节剖析】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理04：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【细节剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【细节剖析】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第一部分：概念理解类易错点 易错知识点01：二次根式双重非负性忽略 错误表现：未同时考虑被开方数非负（a≥0）和结果非负（）。 举例：若题目要求√(x-3)有意义，需同时满足x-3≥0，而非仅关注结果非负。 纠正方法：解题时标注双重条件，如=|a|，需分情况讨论a的正负。 易错知识点02：最简二次根式判定错误 错误表现：未彻底化简根式，如将写成（正确），但误保留√(4×3)或漏拆分母。 判定标准： 根号内无平方因子（如需拆为）； 分母不含根号（如需有理化为）。 第二部分：运算规则类易错点 易错知识点01：合并同类二次根式错误 错误表现：未化简直接合并，如将+写成（应为）。 关键步骤：先化简为最简根式（如=），再合并同类项（+=）。 易错知识点02：分母有理化操作失误 错误类型： 单根式分母：未有理化（正确为）； 复合分母：未用平方差公式处理（应分子分母同乘。 易错点：有理化后未约分或符号处理错误，如有理化后应为，而非。 易错知识点03：运算定律误用 典型错误： 分配律滥用：（错误）； 根式拆分错误：√(a²+b²)=a+b（错误）。 纠正方法：严格区分根式内外运算，遵循（a,b≥0）的规则。 第三部分：应用与隐含条件类易错点 易错知识点01：隐含条件忽略 举例：题目给出√(a²)=3，直接解得a=3，忽略a可能为-3的情况（正确为a=±3）。 应对策略：关注题目中变量范围（如题目隐含a>0或b≠0等），结合绝对值处理。 易错知识点02：比较大小方法不当 错误表现：直接比较与2的大小，未平方处理（≈2.236>2）。 复杂情形：比较−2与1时，需先计算≈2.645，得结果≈0.645<1，而非估算错误。 易错知识点03：双重二次根式化简困难 难点：如，需配凑为√(√2+√3)²=。 方法：观察能否拆分为形式，利用(a+b)²=a²+2ab+b²匹配原式结构。 期末考向一：二次根式 重点考点讲练01：求二次根式的值 【母题精讲】（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据二次根式的概念进行判断即可． 【规范解答】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【训练1】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【思路点拨】根据二次根式成立的条件即可解答． 【规范解答】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【训练2】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【思路点拨】把代入解题即可 【规范解答】解：把代入得， 故选：C． 重点考点讲练02：求二次根式中的参数 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【思路点拨】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【训练1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【思路点拨】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【训练2】（20-21八年级上·四川达州·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】-1 【思路点拨】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可； 【规范解答】∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案是-1． 重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 【母题精讲】（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 【训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）当实数 时，有意义． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：要使有意义，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【训练2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，二次根式有意义的条件， 根据算术平方根的定义和立方根的定义和二次根式有意义的条件一一计算并判断即可． 【规范解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，无意义，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴，二次根式性质，整式的加减，根据数轴上的位置，可得，，由此得出，然后再化简绝对值进行计算即可． 【规范解答】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 【训练1】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，点是边上的中点．如果点是上的动点，那么的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识，要求的最小值，需考虑通过作辅助线确定点P的位置，根据轴对称的最短路径问题，作C的对称点，就是点B，连接与的交点就是点P，从而找出其最小值为BE求解． 【规范解答】解：连接，与交于点P， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点C关于的对应点为点B， ∴， ∴， ∴就是的最小值， ∵点E是边上的中点，等边的边长为4， ∴，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【训练2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【规范解答】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 重点考点讲练05：复合二次根式的化简 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【规范解答】解：原式 ， 故选：D． 【训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【思路点拨】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 【训练2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【规范解答】解： ； 故答案为：． 期末考向二：二次根式的乘除 重点考点讲练06：二次根式的乘法 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，二次根式的运算，解一元一次方程等知识点，正确应用直角三角形的性质是解题关键．利用直角三角形面积求法即可得出答案． 【规范解答】解：是斜边上的高， 为直角三角形，， ， ，解得：． 【训练1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，9 【思路点拨】本题考查的是整式的化简求值，二次根式的乘法运算，正确进行整式化简是解题关键．根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式． 【训练2】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【规范解答】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 重点考点讲练07：二次根式的除法 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．过点作于点，先得出平分，垂直平分，从而可得，，，再求出，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后利用勾股定理可得的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 由题意可知，平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为， 故选：A． 【训练1】（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点E作于，于，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【思路点拨】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【规范解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 重点考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【思路点拨】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了； ∴得分应是分， 故选：． 【训练1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了二次根式乘除法的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键．根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【训练2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查分式的加减法和代数式求值，先根据已知中条件把分式通分，求出，再利用完全平方公式求出，，最后把所求代数式分解因式，再把和的值代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ， ∴； ∴， ， ∴； ∴ ； ∴， 当时， ； 当时， ； 综上，， 故答案为： 重点考点讲练09：最简二次根式的判断 【母题精讲】将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【规范解答】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 【训练1】（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可． 【规范解答】解：由题意知，A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，是最简二次根式，故符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 【训练2】（22-23八年级下·北京大兴·期末）下列各式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据最简二次根式的定义:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【规范解答】A、是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 重点考点讲练10：化为最简二次根式 【母题精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【规范解答】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 【训练1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹） (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理： （1）如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； （2）利用勾股定理得到，则由三角形中位线定理可得． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求； （2）解：由网格的特点和勾股定理可得， ∵的中点分别为E，F， ∴是的中位线， ∴． 【训练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，． (1)求正方形空地的边的长； (2)求郁金香的种植面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据算术平方根的意义结合二次根式的性质计算即可． （2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且． 利用三角形面积公式求出的面积即可得到答案． 本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的逆定理，正方形的性质等等． 【规范解答】（1）解：∵正方形的面积为， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵，，． ∴， ∴， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴郁金香的种植面积为. 期末考向三：二次根式的加减 重点考点讲练11：同类二次根式 【母题精讲】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 【训练1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 【训练2】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可． 【规范解答】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 重点考点讲练12：二次根式的加减运算 【母题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【训练1】已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)以a，b，c为边能组成一个三角形，周长为 【思路点拨】本题考查了非负数的性质，二次根式的加法，解题的关键是掌握绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性． （1）根据偶次方，算术平方根以及绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据三角形三边关系进行判断，并计算周长即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴以a，b，c为边能组成一个三角形， ∴周长为． 【训练2】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【规范解答】解：原式 ． 重点考点讲练13：二次根式的混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根据式的乘法，并运用完全平方公式计算，最后算加减法即可． 【规范解答】解： ． 【训练1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题． 【规范解答】解： ． 【训练2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次根式的大小比较和计算． （1）用平方差公式进行分母有理化； （2）先分子有理化再比较； （3）先分母有理化再计算． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 重点考点讲练14：分母有理化 【母题精讲】（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【规范解答】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 【训练1】（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，分母有理化； （1）根据算术平方根的定义估算和的大小，得出小数部分，进而代入代数式求得代数式的值； （2）估算的大小，确定的值，进而根据代数式的值为有理数，得出的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴的小数部分是 ∵为的小数部分， ∴ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵，即， ∴ ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∵的值为有理数，为有理数， ∴， ∴ ∴ ． 【训练2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 重点考点讲练15：已知字母的值，化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)3 【思路点拨】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简． （1）仿照题中给出的方法计算即可； （2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ． 【训练1】（24-25八年级上·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， 即， ， ， 原式． 【训练2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 重点考点讲练16：已知条件式，化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 【训练1】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【规范解答】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 重点考点讲练17：比较二次根式的大小 【母题精讲】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路点拨】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【思路点拨】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【规范解答】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 重点考点讲练18：二次根式的应用 【母题精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)求船体移动距离的长度． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）直接利用勾股定理得出的长，进而得出的形状； （2）利用勾股定理得出的长，进而得出的长． 【规范解答】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 故船体移动距离的长度为． 【训练1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【思路点拨】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【规范解答】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 【训练2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【思路点拨】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用： （1）根据已有等式进行推导即可得出结果； （2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去，减去，再加上，进行求解即可； （3）设长方形的长为，宽为，列出方程求出长和宽，比较宽与面积为的正方形的边长大小，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ∴，； （2）由（1）可得：，，， ∴， ∵ ∴大正方形的边长为：， ∴空白部分的面积； （3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： 设长方形的长为，宽为，则：， ∴， ∴长方形的宽为：， ∵， ∴， ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【规范解答】解：，是有理数； ，不是有理数；，是有理数； 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有张， 故选：B． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路点拨】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 4．（2025·广东湛江·一模）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【规范解答】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围即可． 【规范解答】解∶根据题意，得， 解得， 故答案为∶． 6．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的性质和化简，其中利用了，掌握以上知识是解题的关键； 根据二次根式的性质和化简，进行作答，即可求出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）计算； （2）解方程组时，某位同学有如下两种解法： 解法一：由①－②，得：解法二：由①得③，把③代入②，得 ①反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）； ②请运用你喜欢的方法求解此方程组． 【答案】（1）；（2）①一；②见解析 【思路点拨】本题考查二次根式的加减法，解二元一次方程组； （1）先去括号，再合并同类二次根式即可； （2）①根据加减消元法即可得到答案； ②根据加减消元法和代入消元法求解即可. 【规范解答】（1）解： ； （2）①∵由，得， ∴解法一是错误的， 故答案为：一； ②解法一：由，得，解得：， 把代入①得：，解得：； ∴ 解法二：由①得③， 把③代入②，得，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴. 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)与________是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 【答案】(1) (2)不是 【思路点拨】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得关于1的“平衡数”； （2）根据，可以先求出m的值，然后即可计算出与的和，再看是否等于2即可． 本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答问题． 【规范解答】（1）解：设与x是关于1的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴与不是关于1的“平衡数”． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的性质，开立方，算术平方根，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【规范解答】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图所示，用面积为4的正方形做成一副七巧板后砌成一个长方形，则长方形的宽是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的应用，先根据正方形的面积求出边长，再求出正方形对角线的长，易得长方形的长，再结合长方形的面积与正方形的面积相等，利用二次根式的除法即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据题意得：的长度为正方形的对角的长， 正方形的面积为， 正方形的边长为：， 正方形的对角线长为，即 结合图形可得：， 长方形的长为， 长方形和正方形的面积相等都为， 长方形的宽为：， 故选：C． 14．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）已知、满足，则 ． 【答案】或34 【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【规范解答】解：依题意，得：， 解得：； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； ∴的值为或34， 故答案为：或34． 15．（2025八年级下·安徽·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，从而可得的值，再代入计算负整数指数幂即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，正确运用已知运算公式是解题关键．直接利用运算公式代入，进行计算即可得解 ． 【规范解答】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，分点在下方和上方，两种情况进行求解即可； （3）分T在O上方和T在O下方，两种情况，进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）联立，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在直线下方时：， ∴， 当时，， ∴； 当点在直线上方时：， ∴， 当时，， ∴； 综上：或． （3）当T在O上方时，过T作轴于M，过Q作于N，如图： ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 此时， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴T； 当T在O下方时，同理可得T， ∴T的坐标为或． 18．（24-25八年级上·江西吉安·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 【答案】(1)小亮 (2) 【思路点拨】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键． （1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的； （2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， ， 小亮的解法是不正确的， 故答案为：小亮； （2）解：原式， ，， 原式． 19．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)① (2)过程见解析，， 【思路点拨】本题主要考查了分式的加减运算． （1）观察该同学的解答过程，可发现第①步通分错误，通分应该分子分母同乘以相同的因式； （2）先将原式通分，然后按照同分母分式相加法则进行计算，再约分，最后将代入求值即可． 【规范解答】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：正确的化简过程如下： ， 当时，原式． 20．（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$