第9章 中心对称图形——平行四边形（思维导图+知识梳理+易错点拨+33大考点讲练+优优选真题难度分层练 共86题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重点难点培优知识讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重难点培优讲练（优等生培优版） 第9章 中心对称图形--平行四边形 （思维导图+知识梳理+易错点拨+33大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 讲义简介 3 思维导图指引 4 章节知识回顾梳理 5 知识点梳理01：旋转的概念和性质 5 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 5 知识点梳理03：平行四边形 5 知识点梳理04：矩形 6 知识点梳理05：菱形 6 知识点梳理06：正方形 6 易错考点点拨汇总 7 易错知识点梳理01：平行四边形的定义与性质 7 易错知识点梳理02：平行四边形的判定 7 易错知识点梳理03：平行四边形的面积与周长 7 易错知识点梳理04：平行四边形的特殊类型 8 易错知识点梳理05：平行四边形的综合应用 8 期末真题考点汇编讲练 8 期末考向一：图形的旋转 8 重点考点讲练0：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 8 重点考点讲练02：坐标与旋转规律问题 9 重点考点讲练03：线段问题(旋转综合题) 10 重点考点讲练04：面积问题(旋转综合题) 11 重点考点讲练05：角度问题(旋转综合题) 12 重点考点讲练06：其他问题(旋转综合题) 13 期末考向二：中心对称与中心对称图形 14 重点考点讲练07：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 14 重点考点讲练08：求关于原点对称的点的坐标 15 重点考点讲练09：已知两点关于原点对称求参数 16 重点考点讲练10：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 16 期末考向三：平行四边形 17 重点考点讲练11：平行四边形性质和判定的应用 17 期末考向四：矩形、菱形、正方形 18 重点考点讲练12：求矩形在坐标系中的坐标 18 重点考点讲练13：矩形与折叠问题 19 重点考点讲练14：添一条件使四边形是矩形 20 重点考点讲练15：根据矩形的性质与判定求角度 21 重点考点讲练16：根据矩形的性质与判定求线段长 22 重点考点讲练17：根据矩形的性质与判定求面积 23 重点考点讲练18：根据菱形的性质与判定求角度 24 重点考点讲练19：根据菱形的性质与判定求线段长 25 重点考点讲练20：根据菱形的性质与判定求面积 26 重点考点讲练21：正方形折叠问题 26 重点考点讲练22：求正方形重叠部分面积 27 重点考点讲练23：根据正方形的性质与判定求角度 28 重点考点讲练24：根据正方形的性质与判定求线段长 29 重点考点讲练25：根据正方形的性质与判定求面积 30 重点考点讲练26：根据正方形的性质与判定证明 31 重点考点讲练27：中点四边形 32 重点考点讲练28：(特殊)平行四边形的动点问题 33 重点考点讲练29：四边形中的线段最值问题 34 重点考点讲练30：四边形其他综合问题 36 期末考向五：三角形的中位线 37 重点考点讲练31：与三角形中位线有关的求解问题 37 重点考点讲练32：与三角形中位线有关的证明 38 重点考点讲练33：三角形中位线的实际应用 39 优选真题难度分层练 41 中档题—夯实基础能力 41 压轴题—强化解题技能 44 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 知识点梳理03：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理04：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理05：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理06：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形 易错知识点梳理01：平行四边形的定义与性质 定义混淆：学生可能混淆平行四边形的定义，如将两组对边分别平行但不一定相等的四边形误认为是平行四边形。 性质记忆不全：平行四边形的性质较多，包括对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等、邻角互补等。学生可能只记得部分性质，导致在解题时遗漏关键信息。 易错知识点梳理02：平行四边形的判定 判定条件混淆：平行四边形的判定条件有多种，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。学生可能混淆这些条件，导致判定错误。 忽视特殊情况：在判定平行四边形时，学生可能忽视特殊情况，如矩形、菱形等，它们既是平行四边形，又具有特殊的性质。 易错知识点梳理03：平行四边形的面积与周长 面积公式应用错误：平行四边形的面积公式为底乘以高，但学生可能误用其他公式，如三角形的面积公式或矩形的面积公式。 周长计算错误：平行四边形的周长为四边之和，但学生可能由于计算错误或忽视题目中的条件（如某两边相等）而导致周长计算错误。 易错知识点梳理04：平行四边形的特殊类型 矩形与菱形的性质混淆：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，但它们具有不同的性质。学生可能混淆这些性质，导致在解题时出错。 特殊类型的判定：矩形和菱形的判定条件与平行四边形有所不同，学生需要明确这些条件，以便在解题时正确判断。 易错知识点梳理05：平行四边形的综合应用 综合运用能力不足：在解决涉及平行四边形的综合问题时，学生可能需要综合运用多个知识点。由于知识点之间的关联性较强，学生可能因综合运用能力不足而出错。 忽视题目中的隐含条件：题目中可能包含一些隐含条件，如平行四边形的对角线互相平分等。学生需要仔细审题，避免忽视这些条件。 期末考向一：图形的旋转 重点考点讲练0：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【母题精讲】（2022·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【训练1】（20-21八年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2021次旋转得到△OA2021B2021，则顶点A的对应点A2021的坐标是 ． 重点考点讲练02：坐标与旋转规律问题 【母题精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕O点按顺时针方向旋转．长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段（n为正整数），则点的坐标是 ． 【训练1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练03：线段问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点顺时针旋转60°或绕点逆时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)已知，，，，，，求的度数． 【训练1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为 ．    重点考点讲练04：面积问题(旋转综合题) 【母题精讲】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 ． 【训练1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    重点考点讲练05：角度问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【初步感知】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，将等腰三角形纸片与等腰三角形纸片按图示位置摆放，其中，．    求证：，请你完成证明． 【深入探究】 （2）如图2，中，，点在底边上，，，点在点的右侧，连接．求证：． 小明和小红分别给出如下思路： ①小明同学从轴对称变化的角度做了研究：以为对称轴，利用轴对称构造一个与全等的三角形，通过研究角的大小关系解决了问题． ②小红同学从旋转变化的角度做了研究：以点为旋转中心，利用旋转构造一个与全等的三角形，也通过研究角的大小关系解决了问题． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【学以致用】 为了帮助学生更好地感悟类比推理思想，李老师将图2进行修改并提出下面问题，请你解答． （3）如图3，在（2）的条件下，将“点在点的右侧”改为“点在点的左侧”，其他条件不变，点E在线段上，且满足，当，，时，求的长．（用含的式子表示） 【训练1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 重点考点讲练06：其他问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 【训练1】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 期末考向二：中心对称与中心对称图形 重点考点讲练07：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【训练1】（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 重点考点讲练08：求关于原点对称的点的坐标 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，如图： (1)写出点的坐标__________； (2)画出点关于原点的对称点； (3)画出点关于直线的对称点； (4)以点为顶点的三角形形状是__________三角形，的面积__________． 【训练1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．    重点考点讲练09：已知两点关于原点对称求参数 【母题精讲】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【训练1】（20-21九年级上·重庆渝中·期末）若点与点关于原点对称，则 ． 重点考点讲练10：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【训练1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 期末考向三：平行四边形 重点考点讲练11：平行四边形性质和判定的应用 【母题精讲】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 期末考向四：矩形、菱形、正方形 重点考点讲练12：求矩形在坐标系中的坐标 【母题精讲】（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 【训练1】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，直线交x轴于点，交y轴于点B，直线经过点B，交x轴于点C．    (1)求直线的函数解析式； (2)点D为坐标平面内一点，当四边形为矩形时，求点D的坐标； (3)如图2，将直线向右平移得到直线，点E是与直线的交点，点P，Q分别在射线上，且轴，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N． ①设四边形的周长为l，设点P的横坐标为m，直接写出l与m的函数关系式； ②当四边形为正方形时，直接写出m的值． 重点考点讲练13：矩形与折叠问题 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 重点考点讲练14：添一条件使四边形是矩形 【母题精讲】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．①对角相等 B．③对边相等 C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补 【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 重点考点讲练15：根据矩形的性质与判定求角度 【母题精讲】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【训练1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 重点考点讲练16：根据矩形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等边三角形的边，各取一点，，使，，相交于点． (1)求证：； (2)如图，平面内存在一点，满足． ①求的度数； ②如图，以所在的直线为轴，过点垂直所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，且．当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【训练1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 重点考点讲练17：根据矩形的性质与判定求面积 【母题精讲】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【训练1】（22-23八年级下·广东惠州·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 重点考点讲练18：根据菱形的性质与判定求角度 【母题精讲】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °． 【训练1】（22-23八年级下·四川广安·期末）平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 重点考点讲练19：根据菱形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求． 【训练1】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 重点考点讲练20：根据菱形的性质与判定求面积 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，是平行四边形的对角线，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于，两点作直线，分别交、于点、，连结、若，，则平行四边形的边上的高为 ． 【训练1】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．    重点考点讲练21：正方形折叠问题 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【训练1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 重点考点讲练22：求正方形重叠部分面积 【母题精讲】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【训练1】（22-23八年级上·吉林延边·期末）如图1，在两个等腰直角三角形和中，，把两个三角形放置在平面直角坐标系上，边在x轴上，点F和点O重合．，点，点，将沿翻折，点E落在点G． (1)点G的坐标为________． (2)将四边形沿x轴方向往右平移，平移距离是x． ①当点G在边上时，________． ②当时，四边形与的重叠部分的面积为_______． ③如图2，当点C在边上时（点C与点E、F不重合），求四边形与的重叠部分的面积．（用含x的式子来表示） (3)在（2）的条件下，若，当四边形与的重叠部分的图形为轴对称图形时，直接写出x的取值范围． 重点考点讲练23：根据正方形的性质与判定求角度 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【训练1】（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 重点考点讲练24：根据正方形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边的距离是3，则 ． 【训练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 重点考点讲练25：根据正方形的性质与判定求面积 【母题精讲】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【训练1】（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 重点考点讲练26：根据正方形的性质与判定证明 【母题精讲】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【训练1】（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 重点考点讲练27：中点四边形 【母题精讲】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重点考点讲练28：(特殊)平行四边形的动点问题 【母题精讲】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【训练1】（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 重点考点讲练29：四边形中的线段最值问题 【母题精讲】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【训练1】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 重点考点讲练30：四边形其他综合问题 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【训练1】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是_____； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，求证：； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 期末考向五：三角形的中位线 重点考点讲练31：与三角形中位线有关的求解问题 【母题精讲】如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ． 【训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 重点考点讲练32：与三角形中位线有关的证明 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【训练1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 重点考点讲练33：三角形中位线的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【训练1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． (2)在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． (3)在图③中的线段上找一点O，使． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 2．（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 3．（2024·广东潮州·一模）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（21-22九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 5．（2022·内蒙古包头·三模）如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    7．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 8．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 10．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 13．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 14．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 15．（2021·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 17．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 18．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 20．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重难点培优讲练（优等生培优版） 第9章 中心对称图形--平行四边形 （思维导图+知识梳理+易错点拨+33大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 4 知识点梳理01：旋转的概念和性质 4 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 4 知识点梳理03：平行四边形 4 知识点梳理04：矩形 5 知识点梳理05：菱形 5 知识点梳理06：正方形 5 易错考点点拨汇总 6 易错知识点梳理01：平行四边形的定义与性质 6 易错知识点梳理02：平行四边形的判定 6 易错知识点梳理03：平行四边形的面积与周长 6 易错知识点梳理04：平行四边形的特殊类型 7 易错知识点梳理05：平行四边形的综合应用 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：图形的旋转 7 重点考点讲练0：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 7 重点考点讲练02：坐标与旋转规律问题 9 重点考点讲练03：线段问题(旋转综合题) 11 重点考点讲练04：面积问题(旋转综合题) 15 重点考点讲练05：角度问题(旋转综合题) 19 重点考点讲练06：其他问题(旋转综合题) 24 期末考向二：中心对称与中心对称图形 28 重点考点讲练07：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 28 重点考点讲练08：求关于原点对称的点的坐标 30 重点考点讲练09：已知两点关于原点对称求参数 33 重点考点讲练10：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 34 期末考向三：平行四边形 37 重点考点讲练11：平行四边形性质和判定的应用 37 期末考向四：矩形、菱形、正方形 42 重点考点讲练12：求矩形在坐标系中的坐标 42 重点考点讲练13：矩形与折叠问题 48 重点考点讲练14：添一条件使四边形是矩形 50 重点考点讲练15：根据矩形的性质与判定求角度 52 重点考点讲练16：根据矩形的性质与判定求线段长 56 重点考点讲练17：根据矩形的性质与判定求面积 61 重点考点讲练18：根据菱形的性质与判定求角度 64 重点考点讲练19：根据菱形的性质与判定求线段长 68 重点考点讲练20：根据菱形的性质与判定求面积 72 重点考点讲练21：正方形折叠问题 74 重点考点讲练22：求正方形重叠部分面积 76 重点考点讲练23：根据正方形的性质与判定求角度 80 重点考点讲练24：根据正方形的性质与判定求线段长 83 重点考点讲练25：根据正方形的性质与判定求面积 90 重点考点讲练26：根据正方形的性质与判定证明 93 重点考点讲练27：中点四边形 96 重点考点讲练28：(特殊)平行四边形的动点问题 99 重点考点讲练29：四边形中的线段最值问题 103 重点考点讲练30：四边形其他综合问题 112 期末考向五：三角形的中位线 116 重点考点讲练31：与三角形中位线有关的求解问题 116 重点考点讲练32：与三角形中位线有关的证明 118 重点考点讲练33：三角形中位线的实际应用 122 优选真题难度分层练 126 中档题—夯实基础能力 126 压轴题—强化解题技能 133 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 知识点梳理03：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理04：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理05：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理06：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形 易错知识点梳理01：平行四边形的定义与性质 定义混淆：学生可能混淆平行四边形的定义，如将两组对边分别平行但不一定相等的四边形误认为是平行四边形。 性质记忆不全：平行四边形的性质较多，包括对角线互相平分、对边平行且相等、对角相等、邻角互补等。学生可能只记得部分性质，导致在解题时遗漏关键信息。 易错知识点梳理02：平行四边形的判定 判定条件混淆：平行四边形的判定条件有多种，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。学生可能混淆这些条件，导致判定错误。 忽视特殊情况：在判定平行四边形时，学生可能忽视特殊情况，如矩形、菱形等，它们既是平行四边形，又具有特殊的性质。 易错知识点梳理03：平行四边形的面积与周长 面积公式应用错误：平行四边形的面积公式为底乘以高，但学生可能误用其他公式，如三角形的面积公式或矩形的面积公式。 周长计算错误：平行四边形的周长为四边之和，但学生可能由于计算错误或忽视题目中的条件（如某两边相等）而导致周长计算错误。 易错知识点梳理04：平行四边形的特殊类型 矩形与菱形的性质混淆：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，但它们具有不同的性质。学生可能混淆这些性质，导致在解题时出错。 特殊类型的判定：矩形和菱形的判定条件与平行四边形有所不同，学生需要明确这些条件，以便在解题时正确判断。 易错知识点梳理05：平行四边形的综合应用 综合运用能力不足：在解决涉及平行四边形的综合问题时，学生可能需要综合运用多个知识点。由于知识点之间的关联性较强，学生可能因综合运用能力不足而出错。 忽视题目中的隐含条件：题目中可能包含一些隐含条件，如平行四边形的对角线互相平分等。学生需要仔细审题，避免忽视这些条件。 期末考向一：图形的旋转 重点考点讲练0：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【母题精讲】（2022·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【答案】（1）①见解析②见解析；（2） 【思路点拨】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握旋转的性质和平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）连接、、，交点即为所求． 【规范解答】解：（1）如图，和为所作； （2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为． 故答案为． 【训练1】（20-21八年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2021次旋转得到△OA2021B2021，则顶点A的对应点A2021的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】根据旋转的规律，即可得出每旋转4次一个循环，进而得到第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同． 【规范解答】解：将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；此时，点A1的坐标为（2，-1）； 再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；此时，点A2的坐标为（-1，-2）； 再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；此时，点A3的坐标为（-2，1）； 再将△OA3B3绕点O顺时针旋转90°得△OA4B4；此时，点A4的坐标为（1，2）； ∴每旋转4次一个循环， ∵2021÷4=505...1， ∴第2020次旋转得到△OA2021B2021， 则顶点A的对应点A2021的坐标与点A1的坐标相同，为（2，-1）； 故答案为：（2，-1）． 重点考点讲练02：坐标与旋转规律问题 【母题精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕O点按顺时针方向旋转．长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段（n为正整数），则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【规范解答】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段； ， ，如此下去，得到线段，， ， 由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的正半轴上， 点的坐标是， 故答案为：． 【训练1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．由题意可得，将绕原点O顺时针旋转，旋转6次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，，⋯，可得，从而求得，点在x轴的负半轴上，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，∵，， ∴，， ∵每一次旋转角是， ∴旋转6次后，正好旋转一周，点在x轴的正半轴上， ∵，点在x轴的负半轴上，点在第三象限内， ∴点在x轴的负半轴上， ∵每次旋转后，，，，⋯， ∴，，，⋯， 依次类推，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 重点考点讲练03：线段问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点顺时针旋转60°或绕点逆时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，4. (3) 【思路点拨】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【规范解答】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 【训练1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为 ．    【答案】 【思路点拨】题提示：过点作交延长线于点，连接，先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【规范解答】过点作交延长线于点，连接，如图，    根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练04：面积问题(旋转综合题) 【母题精讲】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 ． 【答案】1 【思路点拨】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值． 【规范解答】解：作于，如图， ，，， ， ， ， 点是的中点，   ， 将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点， ，即点在以为圆心，2为半径的圆上， 点在线段上时，点到的距离最小， 的面积的最大值为． 故答案为：1． 【训练1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【思路点拨】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【规范解答】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 重点考点讲练05：角度问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【初步感知】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，将等腰三角形纸片与等腰三角形纸片按图示位置摆放，其中，．    求证：，请你完成证明． 【深入探究】 （2）如图2，中，，点在底边上，，，点在点的右侧，连接．求证：． 小明和小红分别给出如下思路： ①小明同学从轴对称变化的角度做了研究：以为对称轴，利用轴对称构造一个与全等的三角形，通过研究角的大小关系解决了问题． ②小红同学从旋转变化的角度做了研究：以点为旋转中心，利用旋转构造一个与全等的三角形，也通过研究角的大小关系解决了问题． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【学以致用】 为了帮助学生更好地感悟类比推理思想，李老师将图2进行修改并提出下面问题，请你解答． （3）如图3，在（2）的条件下，将“点在点的右侧”改为“点在点的左侧”，其他条件不变，点E在线段上，且满足，当，，时，求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【思路点拨】（1）根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可得到答案； （2）①过点作交于点，如图所示，由旋转性质及等腰三角形性质及三角形内角和定理得到两个三角形全等的条件，从而判定，再由平行线的判定定理即可得到答案；②过点作交的延长线于点，如图所示，由旋转性质及等腰三角形性质及三角形内角和定理得到两个三角形全等的条件，从而判定，再由平行线的判定定理即可得到答案； （3）延长，过点作交于点，连接，如图所示，由等腰三角形性质及等边三角形的判定与性质得到和为等边三角形，结合平行线性质，由三角形全等的判定与性质得到、，再由等腰三角形判定与性质即可得到答案． 【规范解答】证明：（1）， ， ， ， ， ∵在中，；在中，； ； （2）①选择小明同学，过点作交于点，如图所示：   ， 由（1）得，，， ，， ， ， ∵在中，；在中，； 又， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ②选择小红同学，过点作交的延长线于点，如图所示：   ， ∴由（1）得，， ， 由（1）得，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）延长，过点作交于点，连接，如图所示：   ， ，，， ∴和为等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【训练1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 重点考点讲练06：其他问题(旋转综合题) 【母题精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【思路点拨】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解． 【规范解答】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵、、三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3），，、、三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【训练1】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【规范解答】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 期末考向二：中心对称与中心对称图形 重点考点讲练07：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【思路点拨】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出即可； （2）由题意得，点与点关于点中心对称，结合中心对称的性质可得，，求出、的值即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 【训练1】（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练08：求关于原点对称的点的坐标 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，如图： (1)写出点的坐标__________； (2)画出点关于原点的对称点； (3)画出点关于直线的对称点； (4)以点为顶点的三角形形状是__________三角形，的面积__________． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析； (4)直角；． 【思路点拨】（）由图可得答案； （）根据中心对称的性质作图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，再利用三角形的面积公式计算的面积即可； 本题考查了作图-轴对称变换、作图-中心对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图可得，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 为直角三角形， ∴的面积为， 故答案为：直角；． 【训练1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查根据点到坐标轴的距离，求点的坐标，关于原点对称的性质．解题的关键是掌握点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，结合点所在象限的符号特征，即可得出点A的坐标，再根据关于原点对称的性质即可得出结果． 【规范解答】解：由图可知，点A位于第二象限， ∵ 轴于点E，轴于点F，且，， ∴， ∴点A的坐标是， 点A关于原点的对称点的坐标是； 故答案为：． 重点考点讲练09：已知两点关于原点对称求参数 【母题精讲】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移，先在直线上任意取一点，然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m值． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 【训练1】（20-21九年级上·重庆渝中·期末）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】9 【思路点拨】根据关于原点的对称点的特征计算即可． 【规范解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：9． 重点考点讲练10：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【母题精讲】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路点拨】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）画出图形，分类讨论利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：①为平行四边形时，则， ∴； ②为平行四边形时，则， ∴， ③为平行四边形时， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P 而， ∴， 综上所述，点Q的坐标为：或或． 【训练1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【规范解答】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 期末考向三：平行四边形 重点考点讲练11：平行四边形性质和判定的应用 【母题精讲】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 【答案】(1)①②③④ (2)，证明见解析 (3)为等腰直角三角形 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的对称性，可证①②③都正确，根据全等图形的判定和性质可证④也正确； （2）取的中点、，连接，，，，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形是平行四边形，从而得出，根据其性质就可以得出结论； （3）取、和的中点、、，连接、、、，和相交于，根据三角形的中位线的性质可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论． 【规范解答】（1）解：∵是等腰三角形，，是以为斜边的等腰直角三角形，， ∴，且， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，连接， 由上述证明可得， ，即对应边相等，对应角相等， ∴整个图形是轴对称图形，故③正确； ，， ， ∴， ， 四边形四点共圆， ∴， 是对称轴， ∴， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． （2）解：， 理由：如图，取、的中点、，连接，，，， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，， ，，． 是的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ，，． ，，， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，取、和的中点、、，连接、、、， ∴，，，， 四边形是平行四边形， ，，， 和是等腰直角三角形， ，，， ，，， 即． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ，即， 为等腰直角三角形． 【训练1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【规范解答】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 期末考向四：矩形、菱形、正方形 重点考点讲练12：求矩形在坐标系中的坐标 【母题精讲】（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【思路点拨】本题主要考查一次函数的性质与菱形的判定与性质，矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得的坐标是解决本题的关键． （1）根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【规范解答】（1）四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， 点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点，将点代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点作轴于点， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 【训练1】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，直线交x轴于点，交y轴于点B，直线经过点B，交x轴于点C．    (1)求直线的函数解析式； (2)点D为坐标平面内一点，当四边形为矩形时，求点D的坐标； (3)如图2，将直线向右平移得到直线，点E是与直线的交点，点P，Q分别在射线上，且轴，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N． ①设四边形的周长为l，设点P的横坐标为m，直接写出l与m的函数关系式； ②当四边形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【思路点拨】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点D的坐标为，根据矩形的性质，即可求解； （3）①先求出点E的坐标为，根据点P的横坐标为m，可得到点P的坐标为，点Q的坐标为，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，即可求解； ②分两种情况：当时，当时，结合正方形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：对于直线， 当时，， ∴点B的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：对于直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点D的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：①∵将直线向右平移得到直线， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴四边形是矩形， 如图，当时，，    ∴； 如图，当时，，    ∴； 综上所述，l与m的函数关系式为； ②∵四边形为正方形， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，m的值为或． 重点考点讲练13：矩形与折叠问题 【母题精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了矩形与折叠性质，全等三角形性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质及勾股定理是解决此题关键． (1)由折叠的性质得，根据全等三角形性质及角平分线概念得，再由矩形性质可得答案； (2)延长交的延长线于点，由矩形性质及折叠性质可得，设，则，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案． 【规范解答】（1）解：由折叠的性质得， ， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ； （2）解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得，， ，，， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 即， ， ，， ， ， ， ． 【训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系． 先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出，再在含角的直角三角形中求出的长度，进而求出的长度，最后根据求出的长度． 【规范解答】四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ，则， 在中，， ， ， ， 又 ， ． 故答案为：6. 重点考点讲练14：添一条件使四边形是矩形 【母题精讲】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．①对角相等 B．③对边相等 C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补 【答案】C 【思路点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：、平行四边形的对角都相等但不一定是矩形，该选项错误； 、矩形的对边都相等但不一定是正方形，该选项错误； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确； 、菱形的邻角都互补但不一定是正方形，该选项错误； 故选：． 【训练1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【思路点拨】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再证明，即可由得出结论； （2）先利用全等三角形与等腰直角三角形的性质证得，，即可得出结论； （3）当四边形是矩形时，则，根据全等三角形的性质知：，即可得出． 【规范解答】（1）证明：∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：当满足时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 重点考点讲练15：根据矩形的性质与判定求角度 【母题精讲】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【训练1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当点在延长线上时，；②当点在延长线上，且在直线上方时，；③当点在延长线上，且在直线下方时，，理由见解析 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得； （3）分三种情况：①点在延长线上，②点在延长线上，且在直线上方，③点在延长线上，且在直线下方，根据平行线的性质和直角三角形的性质求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即． （3）解：①如图3-1，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ②如图3-2，当点在延长线上，且在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ③如图3-3，当点在延长线上，且在直线下方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即．    重点考点讲练16：根据矩形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等边三角形的边，各取一点，，使，，相交于点． (1)求证：； (2)如图，平面内存在一点，满足． ①求的度数； ②如图，以所在的直线为轴，过点垂直所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，且．当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②点坐标为，， 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质得出，，即可求证； （2）①由（1）可得，结合即可得出，由平角的定义可得，由三角形的内角和定理，等腰三角形的性质即可解答； ②当为等腰三角形时，存在三种情况：，，，利用勾股定理和面积法即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）①由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴； ②过点作于点， ∵，， ∴， 由①得：， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 当时， 如图，过点作，于点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， 过点作，于点，，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时， 过点作，于点，，连接交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴为的中垂线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上所述，点坐标为，，． 【训练1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 重点考点讲练17：根据矩形的性质与判定求面积 【母题精讲】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【规范解答】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 【训练1】（22-23八年级下·广东惠州·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【思路点拨】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由矩形的性质得，然后在中，由勾股定理得，求出，然后根据菱形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴． 重点考点讲练18：根据菱形的性质与判定求角度 【母题精讲】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °． 【答案】35 【思路点拨】延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，证明，得出，，根据等腰三角形的判定得出，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为菱形，得出，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，求出，根据三角形外角的性质得出． 【规范解答】解：延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：35． 【训练1】（22-23八年级下·四川广安·期末）平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，见解析 (3)不变， 【思路点拨】（1）根据与x轴、y轴分别交于点B、C，，得到，，设直线的解析式为，把代入求解即可． （2）当时，，根据点M在直线上，不妨设，结合，可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到，结合，得到，根据点N在直线上，得到，后利用两点间距离公式，计算邻边长度，判定形状即可． （3）先证明，是等边三角形，再证明，根据全等的性质得到，设直线与y轴的交点为H，确定，，利用直角三角形的性质，一次函数过点的意义解答即可． 【规范解答】（1）解：∵不论k为何值，直线：都经过x轴上点A， ∴有无数解， ∴， 解得， ∴ ∵与x轴、y轴分别交于点B、C，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入得， 解得； ∴直线的解析式为． （2）解：四边形是菱形．理由如下： 当时，直线， ∵点M在直线上， 不妨设， ∵， ∴可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∵， ∴， ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． （3）解：k的值不变，且．理由如下： ∵，点P由点C向下平移个单位得到， ∴， 连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 连接， ∵四边形是菱形，且． ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴的交点为H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故k的值不变，且． 重点考点讲练19：根据菱形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】（1）由矩形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）由是矩形，是菱形，，设，得到，根据勾股定理可知，，即，解得，即，再求出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：是矩形， ， 又点E在边上，点F在边上，且， ， ∴四边形是平行四边形，， 由折叠可知，， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，，设， ， 由勾股定理可知，， ， 解得：，即， 四边形为菱形， ， ． 【训练1】（21-22八年级下·江苏连云港·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【思路点拨】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 重点考点讲练20：根据菱形的性质与判定求面积 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，是平行四边形的对角线，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于，两点作直线，分别交、于点、，连结、若，，则平行四边形的边上的高为 ． 【答案】 【思路点拨】由作法得垂直平分，则，，再证明为等腰三角形得到，则可判断四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出，然后利用面积法计算的边上的高． 【规范解答】解：如图， 由作法得垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴ ∴， 设▱的边上的高为， ∵， ∴， 即▱的边上的高为． 故答案为． 【训练1】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故答案为：． 重点考点讲练21：正方形折叠问题 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【训练1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【规范解答】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 重点考点讲练22：求正方形重叠部分面积 【母题精讲】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【规范解答】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【训练1】（22-23八年级上·吉林延边·期末）如图1，在两个等腰直角三角形和中，，把两个三角形放置在平面直角坐标系上，边在x轴上，点F和点O重合．，点，点，将沿翻折，点E落在点G． (1)点G的坐标为________． (2)将四边形沿x轴方向往右平移，平移距离是x． ①当点G在边上时，________． ②当时，四边形与的重叠部分的面积为_______． ③如图2，当点C在边上时（点C与点E、F不重合），求四边形与的重叠部分的面积．（用含x的式子来表示） (3)在（2）的条件下，若，当四边形与的重叠部分的图形为轴对称图形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②；③ ； (3)或 【思路点拨】（1）根据折叠可得，即可得到答案； （2）①根据点G在边AC上，可得，，结合，，即可得到，可得，从而得到，即可得到答案； ②当时，如图所示，设交于点M，交于点N，根据平移得到， 即可得到，，，可得，即可得到，从而得到，即可得到答案； ③当点C在线段上时，平移距离是，此时，用x表示出、，从而得到，，即可得到答案； （3）①当从点G在上到点F与点C重合，这时正方形与重叠部分为等腰直角三角形，根据对称性即可得到答案，②当时，重叠部分也是轴对称图形，根据对称性可得即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由翻折可知， ∵，， ∴， ∴； （2）①当点G在上时，如图所示，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离是； ②当时，如图所示，设交于点M，交于点N， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴重叠部分面积为； ③当点C在线段上时，平移距离是， 此时，，， ∵，又， ∴， ∴，， ∴重叠面积为 ； （3）①当从点G在上到点F与点C重合，这时正方形与重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形，则， ②当时，重叠部分也是轴对称图形， ∴， 解得， ∴当或时，重叠部分时轴对称图形. 重点考点讲练23：根据正方形的性质与判定求角度 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质以及正方形的判定： （1）判定和全等即可作答； （2）过点作于，于，根据可得到，通过等量代换得到，此时四边形是正方形，结合，可得到，利用等腰直角三角形的性质即可作答； （3）在上截取，连接，延长交于，先证明和全等，再计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ （2）猜想： 证明：如图2，过点作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， 四边形是正方形 ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接，延长交于， 由（1）、（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 【训练1】（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【思路点拨】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【规范解答】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练24：根据正方形的性质与判定求线段长 【母题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边的距离是3，则 ． 【答案】 【思路点拨】过D作于E，于H，根据角平分线的性质得到，，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形得到，同理，设，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：过D作于E，于H， 平分，平分外角， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 同理， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： 【训练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或或或 【思路点拨】（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标； （2）先求出，根据，得，则有以下两种情况：①当点P在点A的右侧时，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标；②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，，，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案； （3）先求出点，点，则，，依题意有以下6中情况：①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标；⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出所有满足条件的点Q的坐标． 【规范解答】（1）解：对于，当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：；； （2）解：在x轴上存在点P，使得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： 是的一个外角， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，如图2所示： ，，， 是的一个外角， ， ， ， ， 点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：对于，当时，，当时，， 点C的坐标为，点D的坐标为， ，， 当为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，如图3所示： ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，如图4所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，如图5所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，如图6所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，如图7所示： ， 四边形是矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； ⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，如图8所示： 四边形为矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为或或或或或． 重点考点讲练25：根据正方形的性质与判定求面积 【母题精讲】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【规范解答】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 【训练1】（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】(1)② (2)①见解析；②4． 【思路点拨】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【规范解答】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． （2）①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 重点考点讲练26：根据正方形的性质与判定证明 【母题精讲】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【训练1】（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 重点考点讲练27：中点四边形 【母题精讲】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判断方法是正确判断的前提．根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，故①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②不正确； 经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分，故③正确； 对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故④不正确； 则正确的有①③，共2个， 故选：B． 【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路点拨】本题主要考查一次函数、平行四边形的性质与中点公式， 有题意求得点A、B的坐标分别为∶、，结合点C的坐标求得，平行四边形的性质得，即可求得点D； 有题意得，设点，利用面积公式，解得，设直线l的表达式为∶ ，将点代入上解得即可； 设点、点，当为对角线时，由中点坐标公式得∶，求得x，当或为对角线时，同理可得∶或，求得对应的x即可； 【规范解答】（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B， 则点A、B的坐标分别为∶、， ∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即点； （2）解：∵点M是的中点， ∴则点， 则， 设点， 则的面积，解得∶， 则点， 设直线l的表达式为∶ ， 将点的坐标代入上式得∶ ，解得， 则直线l的表达式为∶ ； （3）存在，理由∶ 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即， 则点； 当或为对角线时，同理可得∶或，则， 即点或， 综上，点P的坐标为∶ 或或； 重点考点讲练28：(特殊)平行四边形的动点问题 【母题精讲】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【规范解答】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 【训练1】（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能； (3)或4；理由见解析 【思路点拨】（1）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； （2）根据含有角的直角三角形的性质及菱形的性质解答即可； （3）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的性质即可解答． 本题考查了含有角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，斜边的中线等于斜边的一半，菱形的性质，掌握含有角的直角三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：设点运动的时间是秒（）， ∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， ∴， ∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形；理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为平行四边形， ∴若使为菱形，则需， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形，理由如下： 根据题意，分三种情况讨论： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， 解得； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 重点考点讲练29：四边形中的线段最值问题 【母题精讲】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【思路点拨】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标 ，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【训练1】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①是，理由见解析；② 【思路点拨】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）①如图3，连接，证明，所以，；由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得；易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则；作关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ， ，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ， 由上知四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ， ， ， ， ， ， ，即的最小值为． 故答案为：． 重点考点讲练30：四边形其他综合问题 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，图见解析，矩形的面积为12， 【思路点拨】（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点的坐标即可； （2）首先求得直线的解析式，然后得到直线的解析式，联立后即可求得交点的坐标； （3）分别过点、作于点，于点，过、分别作轴和的垂线，垂足分别为、，利用四边形是平行四边形，得到，从而得到四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，从而求得矩形的面积为12，求得线段和线段后即可求得点的坐标，同理即可求得点的坐标． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形， ， 、， ； （2）解：如图②，设所在的直线的解析式为， 直线经过点、， ， 解得： 所在直线的解析式为， 由于直线过原点， 设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程 解得：， 即的坐标是； （3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形． 分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形，且与平行四边形面积相等， 平行四边形的面积为， 矩形的面积为12，即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，， ，，     ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【训练1】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是_____； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，求证：； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）证明：四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得：，， ，， ∴， ， ． （3）解：如图，连接，． ， ， 即． 在和中，，，， ， ， 又， ． 又， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知， ，， 由勾股定理，得，，， ， ． 期末考向五：三角形的中位线 重点考点讲练31：与三角形中位线有关的求解问题 【母题精讲】如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，与交于点，取中点，连接，推出，则就是的最小值，利用中位线定理推出和的长度，再通过勾股定理运算求解即可． 【规范解答】解：连接，与交于点，取中点，连接，如图所示： ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线， ∴，则就是的最小值， ∵等边的边长为6，， ∴， ∴， 又∵D是边上的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，, ， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 【训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【规范解答】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故选：B． 重点考点讲练32：与三角形中位线有关的证明 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，， 是的中位线， ，． 为的中点，， ，． ，． ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ，． ， ∴， ∵， ∴． 【训练1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【规范解答】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 重点考点讲练33：三角形中位线的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【思路点拨】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【规范解答】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 【训练1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． (2)在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． (3)在图③中的线段上找一点O，使． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、矩形的性质等知识． （1）根据勾股定理及其逆定理正确作图即可； （2）利用矩形的性质和三角形的中位线定理找到线段即可； （3）利用矩形的性质找到O即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，满足要求，斜边的长为； 故答案为：； （2）如图，线段即为所求， （3）如图所示，点O即为所求， 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 2．（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【规范解答】解： ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 3．（2024·广东潮州·一模）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（21-22九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 5．（2022·内蒙古包头·三模）如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，可以得到的度数，从而可求得的度数． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，平分， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    【答案】7 【思路点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【规范解答】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 7．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质画图即可． 【规范解答】解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 8．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【规范解答】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【规范解答】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 10．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【思路点拨】此题主要考查了平行四边形的判定．连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【规范解答】证明：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【规范解答】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为． 故选：． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【思路点拨】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 13．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【规范解答】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 14．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【答案】 3 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【规范解答】解：（1）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 15．（2021·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 根据勾股定理，得， ∴， ∴点与点B之间的距离为， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数的规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意求出，根据题意发现从开始组为一个循环，即可计算答案． 【规范解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， 开始组为一个循环，每次循环增加， 故， ． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 当互相平分时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴t的值为． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即t的值为． 18．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过作，首先证明△是等腰三角形，进而得到，再利用勾股定理计算出的长，进而可得答案． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 、的平分线、分别与相交于点、， ， ； （2）解：如图，过作，交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①B；②4 【思路点拨】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 20．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9.6 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）解：由（1）可知，是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$